（原創，歡迎轉載，轉載請說明出處）

1 概述

本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過

（1）   基礎理論

（2）   商軟操作

（3）   自編程序

三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。

有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。

                                            

一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。

通用結構有限元軟件iSolver介紹視頻：

        

                                          http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第39篇：Abaqus、iSolver與Nastran梁單元差異（3）-剪力和彎矩==

從NASA在1964年推出Nastran算起，結構CAE軟件已經發展了將近60年，雖然在60年內商用結構軟件層出不窮，但最流行的通用結構CAE軟件現在依然只有Nastran、Ansys和Abaqus三款軟件，iSolver以前的結果精度完全對標Abaqus，線性和材料非線性與Abaqus計算結果對比精度已經沒有誤差，但在推廣過程中，發現在線性問題上，客戶只相信Nastran的結果，因為很多工程的校核規范和經驗方法都以Nastran的結果為基準，如果換成其它軟件，那么那些經驗系數和校核公式都可能會修改，而這些修改還需要做大量的工程驗證，這是客戶承受不了的代價。客戶改不了的習慣只能是自主軟件改，我們的自主軟件只是一個后來者，想要推廣只能按客戶要求修改精度，因此，iSolver開始兼容Abaqus和Nastran的精度，計算出的結果既可以對標Abaqus，修改設置后又可以對標Nastran，因此需要對Abaqus和Nastran的各方面的算法差異進行深入研究。如果是線性問題，那么Nastran和Abaqus的精度誤差主要體現在單元算法、邊界處理、MPC約束關系等，在2017年第二篇：S4殼單元質量矩陣研究文章中我們就曾經分析過Abaqus的S4殼單元和Nastran的Quad4殼單元質量矩陣的內部實現方式和差異，在這里主要研究Abaqus、iSolver與Nastran梁單元差異，由于這三款軟件的梁單元的差異較多，我們分幾篇文章來說明，本篇是Abaqus、iSolver和Nastran梁差異（3）-剪力和彎矩。

                                 

     

           

1.1 剪力和彎矩

只有理解了Abaqus、iSolver和Nastran的梁單元的截面方向后，才能更好的理解和截面方向相關的物理量，剪力和彎矩的計算就是其中一個重要的應用。

梁的剪力和彎矩都是針對梁內部而言的，對有限元來說具體點就是積分點上的值。如果是一根梁的簡單加載問題，剪力必然與外力相等，而彎矩由力矩平衡就可得到，也就是說剪力和彎矩的大小很容易求出來，難的是剪力和彎矩的方向的確定。

1.2 材料力學中規定的方向

剪力和彎矩正方向怎么規定的，剪力和彎矩表示的是梁的特定一點的值，這個點的取法有兩種，譬如下面例子（圖a），可以取梁的左端（圖b），也可以取右端（圖c），那么另外一半對該點的剪力和彎矩的符號恰好相反：

所以在材料力學的理論中，剪力和彎矩的定義是取梁的這個點附近的一小段，如下：

取梁的一段，剪力如果導致梁順時針旋轉，那么為正，彎矩如果導致梁上部受壓，那么為正。

1.3 有限元計算角度考慮的方向

材料力學的定義是2D平面的，有限元是三維空間的，到底把哪兩個軸是xy并不一定，更主要的，有限元計算剪力彎矩還是以應力的積分求解的，壓根與上面材料力學的正方向規定無關，所以有限元不能直接套用上面的方式。

1.3.1 算例

取一個梁單元，長240，截面為10X5，沿x方向，材料為楊氏模量E= 1500000，泊松比=0.3。

取iSolver的局部坐標系和全局坐標系重合（由上篇文章梁截面方向可得只要設置n1=0,1,0即可）：

右端固支，左端加力（Ex1-20220602.fdb）：

取中間一小段AB, 那么A點受到左側的剪力往下，B點受到右端剪力往上：

導致梁逆時針扭轉,按材料力學定義是負值，但iSolver的剪力SF3得到的是正：

為了和傳統大家想象中的懸臂梁一致，將上述例子的邊界設在左端，力設在右端。

從有限元內部計算SF和SM的角度上來說，很簡單，就是相應應力組成的剪力和彎矩的方向。

• 注意，應力和外力的方向沒有一定的正負關系，所以無法直接通過外力來求應力的正負

1.3.2 軸向力

我們先看軸向力的定義，從軸向力的定義中找出一些簡單的規律：

1.3.3 剪力

剪力也有類似關系，由下面公式給出：

在懸臂梁例子中，左端加約束，右端加力，此時的實際情況如下：

在實際例子中，剪應變是不同的，剪力由每個點的剪應變積分得到，剪應力與材料點所在截面的y方向坐標y1是二次關系。用圖形化表示為下圖右側，隨截面厚度方向是拋物線，中面最大，上下表面為0：

 

但在有限元中，真正用于計算的剪切應變認為在橫截面內保持不變，所以，剪力的方向也可以通過剪應變的符號來判斷。至于為何計算的剪應變和實際的有差異具體的說明可參考本系列文章中的下面這篇：

https://jishulink.com/content/post/1191641 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列15： 殼的剪切應力

有限元中Timoshenko梁的剪切應變中定義如下：

簡單起見，去掉扭轉導致的剪切應變得到，即為剪切角：

• Euler剪力不是這樣的定義，因為按照Euler梁定義，顯然Euler梁的剪切角=0，但Euler梁依然有剪力。

• 表示垂直x軸，沿y方向的剪應變。

有限元理論假設原來的截面彎曲后依然為平面，既然有限元要和實際情況近似，那么，懸臂梁受向下載荷時橫截面應該處于初始截面和中性面法向中間，即下圖：

1.3.4 彎矩

查看本例子下方的軸向應力，發現是負：

查看彎矩Mz也為負，和理論一致。

1.4 剪力、彎矩方向與坐標系無關的規律總結

1.4.1 對懸臂梁的節點2處y方向加載情況

對y方向加載：

（1）   對剪力：

y-的F，如上，得到的剪力SF為負

y+的F，顯然，得到的梁截面的v為正，為正，使得剪力SF為正

規律：對y方向加載有限元中剪力方向必然和加載方向相同。

• 同時，順便也可以看一下剪切應變的方向，剪切角的大小和終止時中面法向-截面夾角是一致的，y-加載剪切應變既然是負值，那么剪切應變可以取為終止時從截面開始到中面法向的有向扭轉角度。顯然這個扭轉角度和彎矩方向一致，也是t與加載方向F叉乘得到。

 

（2）對彎矩

為了簡單的總結懸臂梁的彎矩方向，需以梁方向和加載方向為參考來得到彎矩方向。由上可知，

對y-加載，彎矩是繞-z軸旋轉。而-z軸也就是Mz方向可由梁方向t與加載方向F按右手正交坐標系規則叉乘得到。梁方向t由節點1指向節點2。如下圖所示。

 對y加載，y下半部的為正，彎矩為正，彎矩是繞z軸旋轉。

規律：對y方向加載，彎矩方向：

                                                     

1.4.2 對懸臂梁的節點2處z方向加載情況

(1)類似，對z方向剪力：

                                                       

其中：

顯然前面一項

的絕對值>的絕對值，所以只要看前面一項的正負就行，因為一段固支w=0，所以只要看加載端的位移，即Fz與加載端位移同號。

 對z-加載，相同討論可知w在末端為負，可知和剪力都為負值，那么

剪切角為負，那么沿y-方向旋轉

 z+加載，w在末端為正，剪力為正，與外力相同。

 

(2)對彎矩：

1.4.3 對懸臂梁的節點1處加載情況

1.4.4 一張圖表示規律總結

總結上述各種情況，一圖表示如下：

1.5 三個有限元軟件的剪力彎矩方向

1.5.1 局部坐標系和全局坐標系不重合的情況

在有限元軟件中，梁在空間3維很多情況處于不同的角度不同的位置，也就是局部坐標系和全局坐標系不重合時，Abaqus、iSolver、Nastran這三個軟件顯示的都是局部坐標系下的值，但每個軟件的處理還有細節上的差異。

•  其實還可以反過來，對一個陌生的軟件，查看輸出的剪力和彎矩的結果，去猜測軟件內部采用的局部坐標方向。

1.5.2 Abaqus/iSolver剪力和彎矩方向定義

上述剪力和彎矩討論的的后處理截圖中，大家有沒有發現y方向剪力顯示的是SF3，而不是SF2，彎矩Mz顯示是SM2，而不是SM3，為什么？

這就和每個軟件的剪力和彎矩的結果顯示不同了。在Abaqus/iSolver中，剪力為SF和彎矩為SM，定義如下：

• 由上面Abaqus說明可知，在Abaqus中B33無法輸出SF2、SF3，可能和它的算法有關，但iSolver中解決了這個問題。

•  Abaqus的B33不能輸出SF2等，可能還是與它的底層算法有關，如果誰研究清楚了，歡迎聯系我們。

也就是說：

1.  SF2是截面局部坐標系的第二個方向，也就是局部z方向

2.  SF3是截面局部坐標系的第1個方向，也就是局部y方向

3.  彎矩SM1是截面局部坐標系的第1個方向

4.  SM2是截面局部坐標系的第二個方向

同時，可以發現SF和SM顯示哪個值是在截面局部坐標系下，也就是SF/SM僅與載荷與局部坐標系的關系有關， SF/SM無需變化到全局坐標系下。

1.5.3 Nastran剪力和彎矩方向

Nastran的官方說明如下：

由上篇文章可知，Nastran和Abaqus的界面上局部坐標系的y、z方向完全一致。所以，對三維空間同樣的幾何模型和加載方向可得：

譬如懸臂梁y方向加力，例子：Beam-OneMesh-T-ChangeCenter-B33。

局部坐標系如下：

在y方向加力，即在局部坐標系的z方向加力：

Nastran計算得到的剪力為z方向剪力：

Nastran得到的彎矩為y方向的彎矩：

 

1.6 總結

想要查看Abaqus、iSolver、Nastran三款軟件的剪力和彎矩方向，總共分三步：

第一步：確定加載位置

查加載是在梁節點1還是2？

第二步：確定符號

根據下圖找到SF/SM的方向

忽視全局坐標系，查看該SF/SM方向在局部坐標系的正負，此時已經決定了SF/SM的符號。

第三步：確定顯示量

對Abaqus或者iSolver軟件，根據下面說明選擇是SF2還是SF3，SM1還是SM2？

對Nastran，根據下面說明選擇SF是y還是z，SM是y還是z？注意Nastran的y、z局部坐標系方向和Abaqus完全一致。

1.7 視頻講解和操作驗證演示

如果覺得上面的文字太復雜，也可以看一下視頻的簡要講解和軟件演示，地址如下：

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884 20理論系列文章39-梁單元差異(3)-剪力和彎矩

==以往的系列文章==

 ========第一階段========

第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859

第二篇：S4殼單元質量矩陣研究。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905

第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865

第四篇：非線性問題的求解。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/360565

第五篇：單元正確性驗證。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/373743

第六篇：General梁單元的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/403932

第七篇：C3D8六面體單元的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/430177

第八篇：UMAT用戶子程序開發步驟。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/432848

第九篇：編寫線性UMAT Step By Step。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/440874

第十篇：耦合約束（Coupling constraints）的研究。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/531029

========第二階段========

第十一篇：自主CAE開發實戰經驗第一階段總結。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/532475

第十二篇：幾何梁單元的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/534362

第十三篇：顯式和隱式的區別。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/537154

第十四篇：殼的應力方向。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1189260

第十五篇：殼的剪切應力。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1191641

第十六篇：Part、Instance與Assembly。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1195061

第十七篇：幾何非線性的物理含義。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1198459

第十八篇：幾何非線性的應變。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1201375

第十九篇：Abaqus幾何非線性的設置和后臺。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1203064

第二十篇：UEL用戶子程序開發步驟。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1204261

========第三階段========

第二十一篇：自主CAE開發實戰經驗第二階段總結。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1204970

第二十二篇：幾何非線性的剛度矩陣求解。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1254435

第二十三篇：編寫簡單面內拉伸問題UEL Step By  Step

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1256835

第二十四篇：顯式求解Step By Step。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1261165

第二十五篇：顯式分析的穩定時間增量。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1263601

第二十六篇：編寫線性VUMAT Step By Step。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1266640

第二十七篇：Abaqus內部計算和顯示的應變。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1273788

第二十八篇：幾何非線性的T.L.和U.L.描述方法

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1282956

第二十九篇：幾何非線性的T.L.和U.L.轉換關系

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1286065

第三十篇：諧響應分析原理

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1290151

========第四階段========

第三十一篇：自主CAE開發實戰經驗第三階段總結

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1294824

第三十二篇：諧響應分析算法

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1299983

第三十三篇：線性瞬態動力學

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1302074

第三十四篇：非線性瞬態分析

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1787283

第三十五篇：接觸求解算法

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1792869

 第三十六篇：DLOAD用戶子程序開發步驟

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1826803

 第三十七篇：梁單元差異（1）-理論基礎

https://jishulink.com/content/post/1872208

 第三十八篇：梁單元差異（2）-梁截面方向

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1874628