（原創(chuàng)，歡迎轉(zhuǎn)載，轉(zhuǎn)載請(qǐng)說(shuō)明出處）

1 概述

本系列文章研究成熟的有限元理論基礎(chǔ)及在商用有限元軟件的實(shí)現(xiàn)方式，通過(guò)

（1）   基礎(chǔ)理論

（2）   商軟操作

（3）   自編程序

三者結(jié)合的方式將復(fù)雜繁瑣的結(jié)構(gòu)有限元理論通過(guò)簡(jiǎn)單直觀的方式展現(xiàn)出來(lái)，同時(shí)深層次的學(xué)習(xí)有限元理論和商業(yè)軟件的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)原理。

有限元的理論發(fā)展了幾十年已經(jīng)相當(dāng)成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，商用CAE軟件在傳統(tǒng)的理論基礎(chǔ)上會(huì)做相應(yīng)的修正以解決工程中遇到的不同問(wèn)題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個(gè)主流商用軟件手冊(cè)中都會(huì)注明各個(gè)單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒(méi)有具體的實(shí)現(xiàn)公式。商用軟件對(duì)外就是一個(gè)黑盒子，除了開發(fā)人員，使用人員只能在黑盒子外猜測(cè)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式。

                                            

一方面我們查閱各個(gè)主流商用軟件的理論手冊(cè)并通過(guò)進(jìn)行大量的資料查閱猜測(cè)內(nèi)部修正方法，另一方面我們自己編程實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)有限元求解器，通過(guò)自研求解器和商軟的結(jié)果比較來(lái)驗(yàn)證我們的猜測(cè)，如同管中窺豹一般來(lái)研究的修正方法，從而猜測(cè)商用有限元軟件的內(nèi)部計(jì)算方法。我們關(guān)注CAE中的結(jié)構(gòu)有限元，所以主要選擇了商用結(jié)構(gòu)有限元軟件中文檔相對(duì)較完備的Abaqus來(lái)研究?jī)?nèi)部實(shí)現(xiàn)方式，同時(shí)對(duì)某些問(wèn)題也會(huì)涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問(wèn)題在數(shù)學(xué)上其實(shí)并不嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)由于水平有限可能有許多的理論錯(cuò)誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機(jī)會(huì)。

通用結(jié)構(gòu)有限元軟件iSolver介紹視頻：

        

                                          http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第37篇：Abaqus、iSolver與Nastran梁?jiǎn)卧町悾?）-理論基礎(chǔ)==

從NASA在1964年推出Nastran算起，結(jié)構(gòu)CAE軟件已經(jīng)發(fā)展了將近60年，雖然在60年內(nèi)商用結(jié)構(gòu)軟件層出不窮，但最流行的通用結(jié)構(gòu)CAE軟件現(xiàn)在依然只有Nastran、Ansys和Abaqus三款軟件，iSolver以前的結(jié)果精度完全對(duì)標(biāo)Abaqus，線性和材料非線性與Abaqus計(jì)算結(jié)果對(duì)比精度已經(jīng)沒(méi)有誤差，但在推廣過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在線性問(wèn)題上，客戶只相信Nastran的結(jié)果，因?yàn)楹芏喙こ痰男：艘?guī)范和經(jīng)驗(yàn)方法都以Nastran的結(jié)果為基準(zhǔn)，如果換成其它軟件，那么那些經(jīng)驗(yàn)系數(shù)和校核公式都可能會(huì)修改，而這些修改還需要做大量的工程驗(yàn)證，這是客戶承受不了的代價(jià)。客戶改不了的習(xí)慣只能是自主軟件改，我們的自主軟件只是一個(gè)后來(lái)者，想要推廣只能按客戶要求修改精度，因此，iSolver開始兼容Abaqus和Nastran的精度，計(jì)算出的結(jié)果既可以對(duì)標(biāo)Abaqus，修改設(shè)置后又可以對(duì)標(biāo)Nastran，因此需要對(duì)Abaqus和Nastran的各方面的算法差異進(jìn)行深入研究。如果是線性問(wèn)題，那么Nastran和Abaqus的精度誤差主要體現(xiàn)在單元算法、邊界處理、MPC約束關(guān)系等，在2017年第二篇：S4殼單元質(zhì)量矩陣研究文章中我們就曾經(jīng)分析過(guò)Abaqus的S4殼單元和Nastran的Quad4殼單元質(zhì)量矩陣的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式和差異，在這里主要研究Abaqus、iSolver與Nastran梁?jiǎn)卧町悾捎谶@三款軟件的梁?jiǎn)卧牟町愝^多，我們分幾篇文章來(lái)說(shuō)明，本篇是Abaqus、iSolver和Nastran梁差異（1）-理論基礎(chǔ)。

                                             

1.1 梁?jiǎn)卧A(chǔ)理論

1.1.1 有限元中梁?jiǎn)卧炯僭O(shè)

在有限元中，梁?jiǎn)卧袀€(gè)基本假設(shè)，就是原來(lái)的截面（譬如下面的紅色表示的截面）受彎曲力后依然是平面。

那這個(gè)假設(shè)和實(shí)際符合嗎？

如果是在純彎矩情況下，由試驗(yàn)得到彎曲時(shí)依然保持平面，符合實(shí)際：

如果一個(gè)橡皮條做成的懸臂梁，那么原來(lái)在鉛直線上畫的直線受力后將會(huì)變成如下圖所示的m1n1的曲線。

很明顯，上面的彎曲下原來(lái)的平面mn已經(jīng)變?yōu)榱饲鎚1n1了。如果是這樣，不就和梁彎曲后依然為平面的假設(shè)矛盾了嗎？

這個(gè)就得分清平面假設(shè)的目的了，這個(gè)假設(shè)的目的是得到彎曲時(shí)正應(yīng)力的分析情況，即

正應(yīng)力隨y方向的變化為：

很多工程試驗(yàn)表明，只要按上面公式求解，就能得到和實(shí)際工程問(wèn)題符合的位移/應(yīng)力等結(jié)果，因此問(wèn)題不在于截面彎曲后是否還是平面，而在于彎曲后是否還能用上面的公式。

上面懸臂梁受力的例子，截面是已經(jīng)不再是平面了，如下圖：

但此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)所有橫截面的翹曲都一樣，導(dǎo)致m1p1=mp，即縱向纖維上產(chǎn)生的伸長(zhǎng)或縮短不受剪力影響，那么由純彎曲導(dǎo)出的正應(yīng)力公式依然成立。

1.1.2 梁?jiǎn)卧碚摲诸?/h3>

在彎曲時(shí)，梁的下端面變短被壓縮了，上端面變長(zhǎng)被拉長(zhǎng)了，那么中間必然有個(gè)長(zhǎng)度不變的平面，就稱為中性面。受力前截面和中性面是垂直的，那么彎曲后的截面和中性面就有兩種可能：

（1）   如果是細(xì)長(zhǎng)梁，那么可以認(rèn)為依然垂直，此時(shí)就稱為Euler梁。

（2）   如果是厚梁，那么不再垂直，此時(shí)就稱為Timoshenko梁。顯然Timoshenko梁覆蓋了Euler梁的功能，在細(xì)長(zhǎng)梁的情況應(yīng)該就和Euler梁完全一致。

分類是極其簡(jiǎn)單的，但也許有人會(huì)認(rèn)為Euler梁就等價(jià)于三次梁，即用三次形函數(shù)來(lái)表示位移，而Timoshenko梁是一次梁，即用一次線性函數(shù)來(lái)表示位移，個(gè)人理解不是這樣的。

（1）   首先是梁包括軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)、橫向彎曲、剪切行為等，有限元中對(duì)不同行為都是用不同次數(shù)的形函數(shù)的，上面所說(shuō)的一次和三次僅僅是橫向彎曲時(shí)采用幾次多項(xiàng)式的問(wèn)題。

（2）   無(wú)論是Euler還是Timoshenko梁，形函數(shù)不一定非要用一次和三次，你完全可以用三次形函數(shù)來(lái)表示Euler梁，或者用五次形函數(shù)來(lái)表示Timoshenko梁，甚至壓根不是用多項(xiàng)式直接來(lái)做剛度陣中的形函數(shù)，譬如很多人算變截面梁的剛度陣時(shí)采用的是基于力的形函數(shù)，先計(jì)算柔度矩陣，再計(jì)算剛度矩陣。

計(jì)算橫向剪切應(yīng)變時(shí)：

Euler梁和Timoshenko梁區(qū)分的唯一標(biāo)識(shí)是有限元中是否考慮橫向剪切效應(yīng)。如采用Euler梁，那么顯然

使得橫向剪切應(yīng)變

也就沒(méi)有剪切效應(yīng)。而Timoshenko計(jì)算出來(lái)的橫向剪切效應(yīng)就不能忽略了。

1.2 Abaqus的梁?jiǎn)卧?/h2>

Abaqus最常用的梁?jiǎn)卧愋蜑锽33和B31，分別對(duì)應(yīng)Euler和Timoshenko梁。在Mesh模塊的ElementType（就是有個(gè)SAR圖標(biāo)的按鈕）中設(shè)置，如下。

不過(guò)Abaqus界面上的看的有點(diǎn)讓人糊涂，shear-flexible是Timoshenko梁，Cubic formulation是Euler梁，要么統(tǒng)一用是否可以剪切，譬如shear-flexible和no shear-flexible，要么統(tǒng)一用彎曲形函數(shù)的多項(xiàng)式次數(shù)，譬如linear formulation和cubic formulation，也可能是我沒(méi)明白Abaqus的用意，要有大神了解的話也說(shuō)一下。

 

1.3 Nastran的梁?jiǎn)卧?/h2>

1.3.1 Nastran梁?jiǎn)卧脑O(shè)置

Nastran的梁?jiǎn)卧饕蠧BAR和CBEAM兩種。

（1）在Patran界面上，在Property模塊下設(shè)置梁?jiǎn)卧獙傩裕J(rèn)情況下Option為General Section/Standard Formulation：

輸出到Nastran的Bdf中，可發(fā)現(xiàn)單元類型為CBAR：

（2）在Patran界面上，在Property模塊下梁?jiǎn)卧獙傩設(shè)ption改為General Section（CBEAM）/Standard Formulation：

輸出到Nastran的Bdf中，可發(fā)現(xiàn)單元類型為CBEAM：

我以前想當(dāng)然的認(rèn)為CBAR和CBEAM分別就是Euler梁和Timoshenko梁，后來(lái)深入了解后，發(fā)現(xiàn)根本不是這回事。CBAR和CBEAM即是 Timoshenko梁，也是Euler梁。

•  部分Nastran理論說(shuō)明介紹，默認(rèn)情況下CBAR沒(méi)有設(shè)置K1，K2，得到的是Euler-Bonourli梁，而CBEAM如果設(shè)置了K1，K2，是Timoshenko梁，但我們實(shí)測(cè)發(fā)現(xiàn)其實(shí)他們都默認(rèn)設(shè)置了剪切效應(yīng)。

在Patran梁截面設(shè)置上，有兩個(gè)的參數(shù)Shear Stiff.Y和Shear Stiff.Z，這兩個(gè)就是通常認(rèn)為的橫向剪切效應(yīng)因子K1，K2。對(duì)于矩形它的默認(rèn)值就是5/6。

  

• Abaqus也有K1、K2，但值和Nastran不一樣，譬如矩形Abaqus取的是0.85， 5/6=0.8333是有嚴(yán)格的理論支撐的，正常來(lái)說(shuō)這才是正確解，Abaqus為何取0.85不是很理解。如果你編的自主軟件結(jié)果想要對(duì)標(biāo)哪個(gè)商業(yè)軟件，就只能按這個(gè)商軟的參數(shù)修正，當(dāng)然像iSolver精度要對(duì)標(biāo)Nastran和Abaqus兩款軟件，后臺(tái)就得判斷取不同的K1、K2。

• Patran界面上可以查看幾何參數(shù)組成的截面最后計(jì)算時(shí)的面積、形心位置、彎曲慣性矩、扭轉(zhuǎn)慣性矩具體結(jié)果，實(shí)測(cè)發(fā)現(xiàn)Nastran和Patran計(jì)算出來(lái)的面積、形心位置、彎曲慣性矩、扭轉(zhuǎn)慣性矩并不完全一致。

CBAR和CBEAM如果設(shè)置了K1，K2，那么考慮了剪切，為Timoshenko梁，如果沒(méi)有設(shè)置K1，K2，得到的是Euler-Bonourli梁，Patran中默認(rèn)情況下設(shè)置了K1、K2，所以默認(rèn)情況下都是Timoshenko梁。同時(shí)，無(wú)論是哪種梁?jiǎn)卧琋astran的結(jié)果在細(xì)長(zhǎng)梁下都會(huì)和Euler梁非常接近。

1.3.2 Nastran的梁?jiǎn)卧獏^(qū)別

既然CBAR和CBEAM都是Timoshenko梁，那他們的區(qū)別是什么呢？我們的理解，最大的區(qū)別是CBAR只能支持剪心和形心相同的情況，CBEAM支持剪心和形心不相同的情況。

• 還有其它的區(qū)別是CBAR只能常截面梁，CBEAM能處理變截面梁等，但這不是最主要的區(qū)別。

對(duì)剪心和形心相同的情況，那么用哪種單元都沒(méi)問(wèn)題。但對(duì)不在同一點(diǎn)的情況，如果采用CBAR就可能導(dǎo)致結(jié)果精度有誤差，譬如下面的四種圖形，顯然前三種剪心和形心明顯不同，對(duì)扭轉(zhuǎn)、彎矩、不同方向的集中力等復(fù)雜加載，此時(shí)如果采用CBAR就會(huì)導(dǎo)致沒(méi)有剪心和形心不同心導(dǎo)致的耦合效應(yīng)，結(jié)果不一定正確。

Patran在幫助文檔中已經(jīng)明確說(shuō)明了該問(wèn)題，同時(shí)對(duì)L型材，產(chǎn)生的梁?jiǎn)卧愋投甲詣?dòng)設(shè)為了CBEAM，但對(duì)T型材還是可以采用CBAR，這也導(dǎo)致很多采用CBAR來(lái)模擬T型材的結(jié)果和實(shí)際有較大偏差。

1.4 iSolver的梁?jiǎn)卧?/h2>

iSolver也包括Timoshenko和Euler兩種梁?jiǎn)卧＝缑嫔显O(shè)置就完全按照是否包括剪切效應(yīng)來(lái)決定后臺(tái)采用Timoshenko還是Euler梁。

其中：

（1）如勾選Include transverse shear，那么是Timoshenko梁，梁?jiǎn)卧耆凑誂baqus的理論實(shí)現(xiàn)，有興趣可看有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列6：General梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚨奈恼隆?/p>

（2）如不勾選Include transverse shear，對(duì)Euler梁，一開始我們也準(zhǔn)備按Abaqus實(shí)現(xiàn)，但后來(lái)深入研究后發(fā)現(xiàn)Abaqus的B33雖然是Euler梁，它的后臺(tái)算法和普通的3次梁還是做了較大的修正，它的剛度陣是14X14，比普通的12X12多了兩個(gè)內(nèi)部自由度，不清楚為何這么做，沒(méi)找到它對(duì)應(yīng)的理論，同時(shí)，我們對(duì)比發(fā)現(xiàn)當(dāng)梁數(shù)目不多時(shí)，Abaqus的B33精度并不很好，如下面用戶采用Abaqus/Nastran/Ansys/Midas/iSolver五款CAE軟件計(jì)算的球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的自振頻率的例子，當(dāng)兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間采用一個(gè)歐拉梁?jiǎn)卧獣r(shí)，可發(fā)現(xiàn)Ansys、Nastran、iSolver、Midas四者都很接近，均為10.0x，差異僅為0.5%內(nèi)，但Abaqus的B33卻得到9.4386，和前四者都差6%左右，因此iSolver的Euler梁沒(méi)有按照Abaqus的精度來(lái)實(shí)現(xiàn)，而是按照Nastran的算法實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致iSolver的Euler梁和Nastran精度完全一致。

• 上述案例的各個(gè)軟件的模型文件可在網(wǎng)頁(yè)上下載，http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1849299有興趣可下載核實(shí)。

1.5 視頻講解和操作驗(yàn)證演示

如果覺(jué)得上面的文字太復(fù)雜，也可以看一下視頻的簡(jiǎn)要講解和軟件演示，里面包括Abaqus、iSolver和Nastran三個(gè)軟件梁?jiǎn)卧脑O(shè)置的操作演示：

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884 20理論系列文章37-梁?jiǎn)卧町?1)-理論基礎(chǔ)

1.6 總結(jié)

本文詳細(xì)介紹了梁?jiǎn)卧幕A(chǔ)理論和分類原則，并解釋了Abaqus、Nastran和iSolver三款軟件中的梁?jiǎn)卧O(shè)置方法，最后證明iSolver的Timoshenko梁結(jié)果和Abaqus完全一致，而Euler梁和Nastran完全一致。

==以往的系列文章==

 ========第一階段========

第一篇：S4殼單元?jiǎng)偠染仃囇芯?/strong>。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859

第二篇：S4殼單元質(zhì)量矩陣研究。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905

第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865

第四篇：非線性問(wèn)題的求解。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/360565

第五篇：單元正確性驗(yàn)證。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/373743

第六篇：General梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/strong>。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/403932

第七篇：C3D8六面體單元的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/430177

第八篇：UMAT用戶子程序開發(fā)步驟。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/432848

第九篇：編寫線性UMAT Step By Step。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/440874

第十篇：耦合約束（Coupling constraints）的研究。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/531029

========第二階段========

第十一篇：自主CAE開發(fā)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)第一階段總結(jié)。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/532475

第十二篇：幾何梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/strong>。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/534362

第十三篇：顯式和隱式的區(qū)別。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/537154

第十四篇：殼的應(yīng)力方向。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1189260

第十五篇：殼的剪切應(yīng)力。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1191641

第十六篇：Part、Instance與Assembly。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1195061

第十七篇：幾何非線性的物理含義。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1198459

第十八篇：幾何非線性的應(yīng)變。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1201375

第十九篇：Abaqus幾何非線性的設(shè)置和后臺(tái)。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1203064

第二十篇：UEL用戶子程序開發(fā)步驟。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1204261

========第三階段========

第二十一篇：自主CAE開發(fā)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)第二階段總結(jié)。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1204970

第二十二篇：幾何非線性的剛度矩陣求解。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1254435

第二十三篇：編寫簡(jiǎn)單面內(nèi)拉伸問(wèn)題UEL Step By  Step

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1256835

第二十四篇：顯式求解Step By Step。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1261165

第二十五篇：顯式分析的穩(wěn)定時(shí)間增量。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1263601

第二十六篇：編寫線性VUMAT Step By Step。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1266640

第二十七篇：Abaqus內(nèi)部計(jì)算和顯示的應(yīng)變。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1273788

第二十八篇：幾何非線性的T.L.和U.L.描述方法

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1282956

第二十九篇：幾何非線性的T.L.和U.L.轉(zhuǎn)換關(guān)系

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1286065

第三十篇：諧響應(yīng)分析原理

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1290151

========第四階段========

第三十一篇：自主CAE開發(fā)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)第三階段總結(jié)

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1294824

第三十二篇：諧響應(yīng)分析算法

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1299983

第三十三篇：線性瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1302074

第三十四篇：非線性瞬態(tài)分析

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1787283

第三十五篇：接觸求解算法

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1792869

 第三十六篇：DLOAD用戶子程序開發(fā)步驟

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1826803