有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列34：非線性瞬態分析

SnowWave02

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1 概述

本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過

（1）基礎理論

（2）商軟操作

（3）自編程序

三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。

有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。

有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列34：非線性瞬態分析的圖2

一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。

通用結構有限元軟件iSolver介紹視頻：

有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列34：非線性瞬態分析的圖4

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第34篇：非線性瞬態動力學==

在系列文章第三十三篇時，我們講了線性瞬態動力學的原理，瞬態分析有線性和非線性之分，如果系統有材料、大變形、邊界等非線性效應，那么就是非線性瞬態分析，而瞬態分析往往都有物體的大轉動大變形問題，也會涉及材料的損傷破壞、物體的撞擊接觸等，譬如沖擊爆炸就是典型的強非線性瞬態動力學的過程，所以在實際工程中的瞬態分析都是以非線性為主。本章我們介紹一下非線性瞬態動力學的求解公式，并以上次線性瞬態動力學中的單擺例子來說明非線性瞬態動力學在有限元軟件中的內部實現原理。

1.1 非線性瞬態動力學理論

1.1.1 非線性瞬態動力學方程

瞬態動力學的運動方程包括了質量陣M相關的慣性力項和阻尼陣C相關的阻尼力項，如下：

一般質量矩陣與時間和位移無關，而K和C如果和位移和時間相關，那么就是非線性瞬態問題。為簡單起見，我們不考慮阻尼項。得到如下表達式：

和線性瞬態動力學類似，在理論上當前時刻的加速度就應該只和當前時刻的位移相關了，但計算的數值解把時刻分成了多個，方程如下：

其中

可以取當前時間步的初始時刻的剛度，那么就是修正的牛頓迭代方法，如果取結束時刻的剛度，就是完全牛頓迭代方法。

而加速度一定是要通過起碼兩個時刻才能計算出來的，取前時刻還是后時刻的位移來決定加速度就有隱式和顯式之分，任何一種分析理論上都可以得到正確解，只不過顯式不用求剛度，隱式需要求解剛度陣，而通過剛度的解釋可以更容易理解Abaqus內部的實現原理，在本章中，我們選用隱式非線性瞬態分析。在隱式方法中，將時間離散，加速度表示為位移的表達式后，得到下方的公式

這個就是標準的newton增量迭代法的公式，其中K和F在靜力學的增量迭代法中表示切線剛度陣和內力，只不過這邊需要加上M項：

其中A依然是只與時間增量步相關的量，對不同的隱式算法A的值不同，譬如對最簡單的Newmark方法中的梯形隱式算法，加速度在增量步內線性變化，譬如下方紅線是在輸入的載荷轉換為加速度的值，但計算中沒法處理連續的曲線，所以Abaqus或者iSolver中實際上只會認為增量步內加速度時線性變化的：

此時得到的修正剛度為：

而F與上一迭代的位移、速度、加速度相關，可以表示為：

顯然當時間增量步固定時，此時的K也是隨增量步和迭代步變化的值，顯然該方程在每個時間步長內都只能通過迭代。因為有迭代，所以F也無法約去右側純的應力導致的內力項。

1.1.2 穩定時間步

最后我們再討論一下穩定時間步的問題，在系列文章13：顯式和隱式的區別和25：顯式分析的穩定時間增量中，我們都討論過，CAE求解方法一般有兩種，分別為顯式（Explicit）和隱式（Implicit）。顯式分析時間步長不穩定的，就是增量步長也不能過大，一般不超過模型最小自由振蕩周期的1/10，否則容易導致計算結果發散。

那么隱式就一定是時間步長穩定的嗎？如果是穩定的，那為何大家用Abaqus的Standard隱式求解器的時候處理后屈曲、材料軟化或者沖擊爆炸這種問題經常會碰到很難收斂的問題呢？

大家使用軟件的經驗只能說明隱式算法也不一定穩定的。Abaqus的Standard求解器都是把有限元的問題最終轉化為增量迭代法求解數值問題的，時間步長是否穩定就看增量迭代法求解的過程。

（1）對于線性瞬態動力學，無需迭代，一次迭代就能求出問題解，且是正確解，自然是穩定的。

（2）對于非線性瞬態動力學，需要多次迭代完成，只要迭代求解曲線問題的算法，就可能存在無法收斂的問題，譬如坍塌問題，也就是力一開始隨著位移上升，在某個極值點時力隨著位移下降，曲線有下面類似的馬鞍點。譬如下面的A點，在接近接近極值點A時，此時斜率非常小設為，如果第一個t=0時刻的K是K0的話，此時斜率可以認為a*K0，a非常小。