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損傷基于經典的JC損傷，并等效的對應力進行退化拉伸模型網格劃分（每個單元表示一個單獨取向的晶粒，即初始的取向不同）局部斷裂時溫度場分布（初始293K，假設taylor-Q系數為0.95）局部斷裂時局部位錯密度分布（僅考慮統計儲存位錯密度）局部斷裂時損傷分布局部斷裂時等效塑性應變分布局部斷裂時mises等效應力分布

位錯密度模型基于Hongtao Ding的論文；

類型二：應變率修正的單晶唯象本構方程（類似于JC的修改形式，考慮溫度和應變率）類型三：考慮熱激活和位錯密度的物理本構模型作者詳細探討了三種模型的差異性和預測能力，并對物理模型的參數給出了大概的區間以及參數的影響，對于使用位錯密度模型提供了很好的范例三類模型的預測結果如下所示：模型一的預測結果模型二的預測結果

Ma和Roters引入的基于位錯密度的本構模型（Ma和Roter，2004；Ma、Roters和Raabe，2006a，b）使用移動位錯ρmα，沿著滑移系統α滑動，以適應部分外部塑性變形，在基于位錯的模型中，Orowan方程通常代替唯象的冪律流動方程其中ρm是統計儲存位錯密度，b是伯格斯矢量，v是可移動位錯密度平均速度，統計儲存位錯密度表示為初始統計位錯密度和變形過程中統計位錯密度增量之和

基于作者的思路，可以對之前提到的位錯密度模型進行簡單修改，即可得到作者使用的模型，即考慮晶界效應的位錯密度本構模型。與前述案例一致這里展示一下簡單的實現效果。

對于金屬中位錯密度的常見值，基于泰勒位錯模型的SGP理論的物理有效性下限約為100nm。

Ma和Roters引入的基于位錯密度的本構模型（Ma和Roter，2004；Ma、Roters和Raabe，2006a，b）使用移動位錯ρmα，沿著滑移系統α滑動，以適應部分外部塑性變形，在基于位錯的模型中，Orowan方程通常代替唯象的冪律流動方程其中ρm是統計儲存位錯密度，b是伯格斯矢量，v是可移動位錯密度平均速度，統計儲存位錯密度表示為初始統計位錯密度和變形過程中統計位錯密度增量之和

通過位錯密度的演化來表現材料的硬化，即：對于大多數（FCC）金屬，材料的剪切流動應力與拉伸流動應力比值為1：3.06。總位錯密度分為兩類（幾何必須位錯密度和統計位錯密度）：應變梯度與幾何必須位錯密度之間存在線性關系，其斜率為burger矢量的大小。

作者的模型概念圖：積分流程圖：從結果來看，作者的模型能夠再現單個位錯塞積問題中的位錯密度分布；在二維和三維規則晶粒陣列中，也能預測出與實驗同量級的 Hall–Petch 斜率。對于粗晶鐵多晶拉伸響應，這個兩尺度模型比傳統 CP-FEM 或 Taylor 類模型給出了更好的預測。

作者的理論框架：基于亞彈性的運動學框架其中流動模型為經典的冪律流動模型硬化模型基于taylor位錯理論模型與傳統Km位錯密度不同的是，為了更全面理解位錯產生和湮滅的演化特征，作者使用了Zikry等人提出的位錯模型概念，將總位錯密度進一步細分為固定位錯密度和可移動位錯密度，其演化遵循其中G_sour表示由于位錯導致的移動位錯密度增加的系數，g_minter

同時新版本引入了重結晶和更通用的位錯密度的本構框架（如鎂，鈦，鋯，鋅），其中Nye-Kroner model：這是一種描述晶體中位錯密度變化的本構模型，通過計算位錯密度的變化和流動，來預測材料的宏觀塑性變形行為。Dynamic recovery model：這是一種描述動態回復過程的本構模型，通過考慮位錯密度、晶粒尺寸和應變速率等因素，來預測材料的塑性變形行為。

整體應力分布情況：位錯密度部分模型應力分布情況：唯象部分模型應力分布情況：整體應變分布情況：位錯密度部分模型應變應力分布情況：唯象部分模型應變分布情況：基于位錯本構模型的位錯密度分布：基于唯象本構模型的累計剪切應變分布情況：同時比較了只使用同一種模型的情況，應力分布與該情況類似。

(2)位錯密度模型（SCCE-D）：二，研究FCC-Cu和BCC-Fe兩種材料，基于特定方向擬合兩組本構方程得到最適合的材料參數，并應用于不同取向單晶變形行為預測,發現基于位錯密度的模型預測結果更接近于實驗結果擬合圖（Cu）：預測圖：擬合圖（Fe）預測圖三，作者使用RVE比較了基于單晶擬合獲得的參數在多晶預測結果的情況

類型二：應變率修正的單晶唯象本構方程（類似于JC的修改形式，考慮溫度和應變率）類型三：考慮熱激活和位錯密度的物理本構模型作者詳細探討了三種模型的差異性和預測能力，并對物理模型的參數給出了大概的區間以及參數的影響，對于使用位錯密度模型提供了很好的范例三類模型的預測結果如下所示：模型一的預測結果模型二的預測結果模型三的預測結果

傳統積分方案計算多晶模型案例：包含200個晶粒的鋁合金（參數使用文章提供的參數）拉伸變形10%的結果：應力分布總位錯密度分布：刃位錯密度分布：螺位錯密度分布：

文章doi：10.1016/j.ijplas.2019.09.006推薦理由：作者基于經典的K-M硬化的位錯密度模型，考慮晶界處更高的位錯塞積，提出了考慮晶界效應的位錯密度模型，探討滑移轉移對Al雙晶拉伸變形機制的影響。

本期將繼續介紹粘塑性自洽模型在金屬變形過程的應用。如下，采用的是鋯Zr合金作為研究材料，變形工藝為室溫壓縮至應變為1.0，模型采用VPSC8.0進行計算，分別獲得了變形后的極圖、滑移激活以及位錯密度等數據。

為了能夠精確描述孿晶激活演化及其與位錯交互作用對宏觀塑性行為的影響，來自于天津理工大學的郭祥如和申俊杰兩人基于晶體塑性理論建立描述孿晶形核、增殖和長大的位錯密度基晶體塑性本構模型，揭示了不同晶體取向Cu單晶拉伸變形過程中位錯滑移、孿生激活及其交互作用下的宏觀塑性行為演化規律，進一步分析了Cu多晶拉伸變形過程中晶粒間交互作用對孿生軟化、應變硬化等宏觀塑性行為的影響。

數值案例如下：建立一個包含20個晶粒8000個單元的RVE模型，如下所示給定對應的初始形核臨界位錯密度和初始的形核率計算公式以及晶界遷移率公式，通過施加周期性邊界PBC沿著X方向壓縮45%（使用鎳基高溫合金的材料參數）。