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溫度場(chǎng)通過(guò)初始溫度以及塑性產(chǎn)熱計(jì)算，同時(shí)忽視局部的熱傳導(dǎo)，準(zhǔn)靜態(tài)加載速率下的泰勒-昆尼系數(shù)η為0.0，1000 s加載速率下為0.95?1及以上(塑性功轉(zhuǎn)化為熱的比例)通過(guò)經(jīng)典的熱激活模型，將溫度效應(yīng)引入流動(dòng)方程，并考慮溫度對(duì)剛度的退化位錯(cuò)密度模型演化遵循經(jīng)典的KM模型，同時(shí)考慮位錯(cuò)之間的相互作用，即考慮了位錯(cuò)的產(chǎn)生和湮滅，以及湮滅半徑與溫度的關(guān)系。

類(lèi)型二：應(yīng)變率修正的單晶唯象本構(gòu)方程（類(lèi)似于JC的修改形式，考慮溫度和應(yīng)變率）類(lèi)型三：考慮熱激活和位錯(cuò)密度的物理本構(gòu)模型作者詳細(xì)探討了三種模型的差異性和預(yù)測(cè)能力，并對(duì)物理模型的參數(shù)給出了大概的區(qū)間以及參數(shù)的影響，對(duì)于使用位錯(cuò)密度模型提供了很好的范例三類(lèi)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如下所示：模型一的預(yù)測(cè)結(jié)果模型二的預(yù)測(cè)結(jié)果

位錯(cuò)密度模型基于Hongtao Ding的論文；

dg表示該滑移系統(tǒng)距離最臨近晶界的距離，對(duì)于FCC-Cu，ks根據(jù)位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬獲得約為5，其余參數(shù)如下作者的案例模型：相同位錯(cuò)密度不同晶粒尺寸以及相同晶粒尺寸不同位錯(cuò)密度的流動(dòng)應(yīng)力結(jié)果如下：相同位錯(cuò)密度不同晶粒尺寸的累計(jì)滑移云圖為：相同位錯(cuò)密度不同晶粒尺寸的位錯(cuò)密度分布云圖：相同位錯(cuò)密度不同晶粒尺寸的等效應(yīng)力分布云圖：流動(dòng)應(yīng)力和晶粒尺寸關(guān)系云圖

Ma和Roters引入的基于位錯(cuò)密度的本構(gòu)模型（Ma和Roter，2004；Ma、Roters和Raabe，2006a，b）使用移動(dòng)位錯(cuò)ρmα，沿著滑移系統(tǒng)α滑動(dòng)，以適應(yīng)部分外部塑性變形，在基于位錯(cuò)的模型中，Orowan方程通常代替唯象的冪律流動(dòng)方程其中ρm是統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度，b是伯格斯矢量，v是可移動(dòng)位錯(cuò)密度平均速度，統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度表示為初始統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度和變形過(guò)程中統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度增量之和

作者的理論框架：基于亞彈性的運(yùn)動(dòng)學(xué)框架其中流動(dòng)模型為經(jīng)典的冪律流動(dòng)模型硬化模型基于taylor位錯(cuò)理論模型與傳統(tǒng)Km位錯(cuò)密度不同的是，為了更全面理解位錯(cuò)產(chǎn)生和湮滅的演化特征，作者使用了Zikry等人提出的位錯(cuò)模型概念，將總位錯(cuò)密度進(jìn)一步細(xì)分為固定位錯(cuò)密度和可移動(dòng)位錯(cuò)密度，其演化遵循其中G_sour表示由于位錯(cuò)導(dǎo)致的移動(dòng)位錯(cuò)密度增加的系數(shù)，g_minter

位錯(cuò)密度包括統(tǒng)計(jì)存儲(chǔ)位錯(cuò)的密度ρS和幾何必要位錯(cuò)的密度ρG之和：其中ρG與有效塑性應(yīng)變梯度的關(guān)系表示為r為nye位錯(cuò)張量，對(duì)于FCC材料通常為1.9，拉伸流動(dòng)應(yīng)力與剪切應(yīng)力關(guān)系表示為M為taylor因子，對(duì)于FCC材料通常為3.06因此流動(dòng)應(yīng)力可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度和幾何必須位錯(cuò)密度進(jìn)行表征，其中幾何必須位錯(cuò)密度使用有效塑性應(yīng)變梯度進(jìn)行代替

Ma和Roters引入的基于位錯(cuò)密度的本構(gòu)模型（Ma和Roter，2004；Ma、Roters和Raabe，2006a，b）使用移動(dòng)位錯(cuò)ρmα，沿著滑移系統(tǒng)α滑動(dòng)，以適應(yīng)部分外部塑性變形，在基于位錯(cuò)的模型中，Orowan方程通常代替唯象的冪律流動(dòng)方程其中ρm是統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度，b是伯格斯矢量，v是可移動(dòng)位錯(cuò)密度平均速度，統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度表示為初始統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度和變形過(guò)程中統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度增量之和

同時(shí)新版本引入了重結(jié)晶和更通用的位錯(cuò)密度的本構(gòu)框架（如鎂，鈦，鋯，鋅），其中Nye-Kroner model：這是一種描述晶體中位錯(cuò)密度變化的本構(gòu)模型，通過(guò)計(jì)算位錯(cuò)密度的變化和流動(dòng)，來(lái)預(yù)測(cè)材料的宏觀(guān)塑性變形行為。Dynamic recovery model：這是一種描述動(dòng)態(tài)回復(fù)過(guò)程的本構(gòu)模型，通過(guò)考慮位錯(cuò)密度、晶粒尺寸和應(yīng)變速率等因素，來(lái)預(yù)測(cè)材料的塑性變形行為。

傳統(tǒng)積分方案計(jì)算多晶模型案例：包含200個(gè)晶粒的鋁合金（參數(shù)使用文章提供的參數(shù)）拉伸變形10%的結(jié)果：應(yīng)力分布總位錯(cuò)密度分布：刃位錯(cuò)密度分布：螺位錯(cuò)密度分布：

(2)位錯(cuò)密度模型（SCCE-D）：二，研究FCC-Cu和BCC-Fe兩種材料，基于特定方向擬合兩組本構(gòu)方程得到最適合的材料參數(shù)，并應(yīng)用于不同取向單晶變形行為預(yù)測(cè),發(fā)現(xiàn)基于位錯(cuò)密度的模型預(yù)測(cè)結(jié)果更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合圖（Cu）：預(yù)測(cè)圖：擬合圖（Fe）預(yù)測(cè)圖三，作者使用RVE比較了基于單晶擬合獲得的參數(shù)在多晶預(yù)測(cè)結(jié)果的情況

下圖為變形過(guò)程中Prismatic <a>和Pyramidal <c+a>滑移產(chǎn)生的位錯(cuò)密度以及總的位錯(cuò)密度變化，可以看到Pyramidal <c+a>滑移產(chǎn)生的位錯(cuò)密度與總的位錯(cuò)密度基本相當(dāng)，也側(cè)面反應(yīng)出該滑移激活對(duì)于整個(gè)塑性變形的貢獻(xiàn)極大，此外，在變形初期由于孿生的誘發(fā)，導(dǎo)致初期的位錯(cuò)密度增殖速率較慢。

通過(guò)對(duì)比是否考慮晶界障礙項(xiàng)，可以觀(guān)察晶界附近滑移活動(dòng)、位錯(cuò)密度分布以及應(yīng)變局部化特征的變化。初始RVE模型如下：一段固定一段沿著X方向施加位移載荷變形結(jié)束后的應(yīng)力分布：等效塑性應(yīng)變分布：晶界通透系數(shù)（滑移系1）晶界障礙強(qiáng)度（滑移系1）總的位錯(cuò)密度分布：

文章doi：10.1016/j.ijplas.2019.09.006推薦理由：作者基于經(jīng)典的K-M硬化的位錯(cuò)密度模型，考慮晶界處更高的位錯(cuò)塞積，提出了考慮晶界效應(yīng)的位錯(cuò)密度模型，探討滑移轉(zhuǎn)移對(duì)Al雙晶拉伸變形機(jī)制的影響。

通過(guò)位錯(cuò)密度的演化來(lái)表現(xiàn)材料的硬化，即：對(duì)于大多數(shù)（FCC）金屬，材料的剪切流動(dòng)應(yīng)力與拉伸流動(dòng)應(yīng)力比值為1：3.06。總位錯(cuò)密度分為兩類(lèi)（幾何必須位錯(cuò)密度和統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度）：應(yīng)變梯度與幾何必須位錯(cuò)密度之間存在線(xiàn)性關(guān)系，其斜率為burger矢量的大小。

可以看出Cu多晶塑性變形過(guò)程中受晶體取向、晶粒形狀及晶粒間交互作用等因素影響，各晶粒內(nèi)位錯(cuò)密度分布不均勻，位錯(cuò)密度主要集中在晶界處。孿晶也首先在晶界處形成，隨著應(yīng)變?cè)黾樱Яｉg交互作用逐漸增強(qiáng)，在晶粒間交互作用下不利于孿生取向的晶粒也逐漸形成孿晶。

數(shù)值案例如下：建立一個(gè)包含20個(gè)晶粒8000個(gè)單元的RVE模型，如下所示給定對(duì)應(yīng)的初始形核臨界位錯(cuò)密度和初始的形核率計(jì)算公式以及晶界遷移率公式，通過(guò)施加周期性邊界PBC沿著X方向壓縮45%（使用鎳基高溫合金的材料參數(shù)）。

整體應(yīng)力分布情況：位錯(cuò)密度部分模型應(yīng)力分布情況：唯象部分模型應(yīng)力分布情況：整體應(yīng)變分布情況：位錯(cuò)密度部分模型應(yīng)變應(yīng)力分布情況：唯象部分模型應(yīng)變分布情況：基于位錯(cuò)本構(gòu)模型的位錯(cuò)密度分布：基于唯象本構(gòu)模型的累計(jì)剪切應(yīng)變分布情況：同時(shí)比較了只使用同一種模型的情況，應(yīng)力分布與該情況類(lèi)似。