弱形式
關注創建者：COMSOL仿真 創建時間：2018-07-19
弱形式的視頻教程
PLAXIS理論與工程沒那么難
有限元雖功能強大，其本質也不過是一個用能量法配合弱形式基于各種實際情況假設近似求解平衡方程的工具。因而需要應用者對于結果做出一定的分析以及優化。借用自己上有限元應用這門課第一節課的結束語來說就是： Finite Element Analysis is a very powerful tool.
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弱形式的實例教程
弱形式是在這個網格的每個單元上進行數值積分計算的。
求解： 定義好弱形式和邊界條件后，像設置普通 COMSOL 模型一樣添加“研究”步驟并進行求解。
驗證： 對于自定義的弱形式，強烈建議通過與解析解（如果存在）、已知的數值基準或 COMSOL 內置的等效物理接口（如果可能）進行比較來驗證你的實現。
總結
通過上述步驟，我們可以清晰地看到弱形式在 COMSOL 仿真中的強大功能和靈活性。它不僅能夠幫助我們解決傳統強形式難以處理的問題，還能為復雜物理場的建模提供更廣闊的自由度。
此外，掌握弱形式的使用還能幫助我們解決更多實際問題，例如：
多物理場耦合：通過弱貢獻節點將不同物理場的方程耦合在一起。
自定義方程：當現有物理接口無法滿足需求時，弱形式提供了一種靈活的解決方案。
非標準邊界條件：利用弱形式可以輕松實現復雜邊界條件的定義。
弱形式，就是你手中的建?！白杂烧Z言”。
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展開 COMSOL中數學模塊PDE常用的有三種類型：系數形式，一般形式和弱形式，其使用難度依次遞增。由于COMSOL在求解物理問題時將方程轉化為PDE弱形式進行求解，因此弱形式（Weak form）是COMSOL中最本質的形式。用戶可以通過COMSOL的弱形式來求解更多更復雜的問題。COMSOL也 是唯一的直接使用弱形式來求解問題的軟件，通過理解弱形式也能更進一步的理解有限元方法（FEM ）以及了解COMSOL的實現方法。
本案例將通過弱形式開發結構力學計算功能，并將結果與軟件自帶的固體力學模塊對比，驗證基于PDE弱形式開發的固體力學計算模塊的正確性。
計算結果對比：
展開 與其他軟件不同的是COMSOL中的各種物理學模塊和數學模塊在求解問題時，都是先將方程式轉化為PDE弱形式再進行求解。因此PDE弱形式作為COMSOL軟件的特有功能，是COMSOL最本質模塊。PDE弱形式對于理解有限元理論，提升仿真能力作用匪淺。
COMSOL數學模塊PDE主要分為三種類型：系數形式（Coefficient form），一般形式（General form），弱形式（Weak form）。其中弱形式（Weak form）是最本質的形式，以下將通過弱形式（Weak form）開發固體力學計算功能，并將結果與軟件自帶的固體力學模塊對比，驗證基于PDE弱形式開發的固體力學計算模塊的正確性。
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弱形式到底是什么？為什么有限元離不開它？
在學習有限元方法（FEM）時，我們總會遇到一個看似抽象又略顯神秘的概念——微分方程的弱形式（Weak Form）。
但教材往往“一上來就講推導”，很多人沒弄明白它到底是什么，就已經陷入了公式的旋渦中。
本篇文章，我們從頭梳理弱形式的本質，力圖回答三個關鍵問題：
什么是“弱形式”？它和我們熟悉的微分方程形式有何不同？
為什么有限元方法必須依賴弱形式才能成立？
弱形式到底怎么推導出來？它的結構、意義和數值實現方式是什么？
什么是“弱形式”？
所謂弱形式，是對微分方程的一種積分等價重寫。
在“強形式”中，微分方程需要在每一個點都被嚴格滿足，同時要求解函數具有較高的光滑性（例如二階連續可導）。但在實際工程問題中，物理條件復雜，解往往不夠光滑，這就給解析方法和數值求解帶來了巨大挑戰。
弱形式的出現，就是降低對解的光滑性（可微性）要求，它是許多強大的數值方法（尤其是有限元法 Finite Element Method, FEM）的理論基礎。有限元方法的本質，就是將一個偏微分方程問題轉化為一個代數系統進行求解。這個轉化過程的核心步驟，正是將強形式變成弱形式。
強形式 vs 弱形式
為了說明“強形式”和“弱形式”的區別，我們從一個最簡單的一維邊值問題出發，這樣更容易理解其背后的邏輯結構：
例子：一維泊松方程
考慮以下邊值問題：
這是一個非?；A的微分方程，描述了例如一根受力桿的穩態變形問題，其中 u(x) 是位移， f(x) 是分布載荷。
什么是“強形式”？
展開 另一項斷裂能為：
因此代入具體表達式可將系統總勢能表達為：
對上述能量進行一階變分可得：
即可得弱形式方程為：
具體外力虛功為：
式中本構方程為：
該弱形式方程是后續推導有限元方程的基礎。同時，通過弱形式方程也可推導得到強形式的控制方程，即位移場和相場的控制方程。對上述弱形式進行分部積分可得：
因次位移場和相場的強形式控制方程為：
以及相應的邊界條件為：
3 有限元離散
為推導有限元離散方程，對位移場和相場控制方程的弱形式進行處理：
對位移場和相場進行插值可得：
m指單元節點的個數。因此相應的梯度場可以插值為：
B矩陣的是由形函數對物理坐標的導數組成的。同理有：
代入到弱形式方程中可得殘值方程；
使用牛頓迭代法求解上述非線性系統。更新格式為:
剛度矩陣為：
為了保證損傷不能愈合，即：
需要做出一些修改，即取歷史上最大的彈性應變能，即：
4 代碼
《斷裂相場法》書中提供了傳統脆性斷裂相場模型的二維UEL代碼。本文將其拓展為三維情況。
UEL需要更新單元的剛度矩陣和右端項，公式在理論部分已詳細給出。
5 測試
5.1 一個單元拉伸破壞
對一個單元施加的邊界條件為，x=0面約束所有位移自由度，即u=0,v=0,w=0;在x=1面進行位移加載，即u=0.1，v=0,w=0。單個單元拉伸破壞時具有解析解。
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其核心思想是通過放松單元間的協調條件，使應變場在單元內滿足連續性，同時通過加權積分弱形式逼近真實應變場。與傳統方法相比，擬協調元法具有以下優勢：
從源頭克服自鎖
通過合理構造假設應變場，擬協調元可直接避免各類自鎖現象。例如，在非線性擬協調固體殼單元中，假設應變場包含高階應變模式，能準確描述彎曲、剪切等復雜變形，無需依賴減縮積分或增強參數，簡化了單元列式。
平面應力脆性斷裂相場AT2模型10個月前
另一項斷裂能為：
因此代入具體表達式可將系統總勢能表達為：
對上述能量進行一階變分可得：
即可得弱形式方程為：
具體外力虛功為：
式中本構方程為：
該弱形式方程是后續推導有限元方程的基礎。同時，通過弱形式方程也可推導得到強形式的控制方程，即位移場和相場的控制方程。
因此，需要將其轉化成弱形式，來降低降低對解的光滑性（可微性）要求。
Fick第二定律的弱形式
弱形式的推導過程，我這里就不展開了，有興趣的小伙伴可以自行嘗試推導一下。
弱形式到底是什么？為什么有限元離不開它？11個月前
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弱形式到底是什么？為什么有限元離不開它？
在學習有限元方法（FEM）時，我們總會遇到一個看似抽象又略顯神秘的概念——微分方程的弱形式（Weak Form）。
但教材往往“一上來就講推導”，很多人沒弄明白它到底是什么，就已經陷入了公式的旋渦中。
本篇文章，我們從頭梳理弱形式的本質，力圖回答三個關鍵問題：
什么是“弱形式”？
COMSOL中數學模塊PDE常用的有三種類型：系數形式，一般形式和弱形式，其使用難度依次遞增。由于COMSOL在求解物理問題時將方程轉化為PDE弱形式進行求解，因此弱形式（Weak form）是COMSOL中最本質的形式。用戶可以通過COMSOL的弱形式來求解更多更復雜的問題。
COMSOL數學模塊PDE常用分為三種類型：系數形式，一般形式，弱形式。如果能很好的使用PDE模塊，能有效提升用戶對于有限元理論的理解，提升CAE工作能力。
另一項斷裂能為：
因此代入具體表達式可將系統總勢能表達為：
對上述能量進行一階變分可得：
即可得弱形式方程為：
具體外力虛功為：
式中本構方程為：
該弱形式方程是后續推導有限元方程的基礎。同時，通過弱形式方程也可推導得到強形式的控制方程，即位移場和相場的控制方程。
從這點上看，二者是等價的，但我們只要求了勢能最低，是一個“宏觀籠統”的概念，理論上并未要求積分域內任意一點均滿足微分方程的邊界條件的形式，所以為弱形式。事實上，任意一個偏微分方程都可以等效轉換為基于最小勢能的泛函極值問題。
換一個通俗易懂的說法，我們假設滿足邊界條件的位移u1、u2、u3…為可能的解，其對應的勢能為П1、П2、П3...
當需要離散的方程被認為是弱形式、積分形式或守恒形式時，通常會在離散單元上進行積分求解。如在考慮輸運現象時，有限體積法可以被表述為表示小體積的離散單元。通量可以通過這些單元進行平衡，同時假設解在它們內部是恒定的。
圖2 網格解示例。請注意，在求解一個完整單元格的方程時，單元格中的數值是恒定的。
本案例圍繞圓柱滾子軸承的彈流潤滑行為，推導了Reynolds雷諾方程弱形式，利用COMSOL弱形式偏微分方程（PDE）構建了彈流潤滑仿真模型。相比多重網格計算方法，該方法計算高效，無需編程，適應工況范圍廣。后續將繼續推出點接觸和橢圓點接觸彈流潤滑仿真模型。
