1.引言

曲軸是發(fā)動機中最重要的部件。它承受連桿傳來的力，并將其轉(zhuǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)矩通過曲軸輸出并驅(qū)動發(fā)動機上其他附件工作。曲軸受到旋轉(zhuǎn)質(zhì)量的離心力、周期變化的氣體慣性力和往復慣性力的共同作用，使曲軸承受彎曲扭轉(zhuǎn)載荷的作用。因此要求曲軸有足夠的強度和剛度，軸頸表面需耐磨、工作均勻、平衡性好。

目前，有限元在求解結(jié)構(gòu)問題中被廣泛應用。有限元法是求解偏微分方程的一種數(shù)值計算方法，主要在固體力學中應用，此外還在電磁場、熱和聲中有所應用；有限差分法和有限體積法等數(shù)值計算方法也可解決此類問題，主要在流體力學中應用。

PERA SIM Mechanical作為PERA SIM的核心產(chǎn)品之一，是功能強大、模塊整合的機械仿真分析工具。PERA SIM Mechanical提供了全面的結(jié)構(gòu)靜力、動力、線性、非線性及熱分析等功能，滿足各行業(yè)的結(jié)構(gòu)分析需求。此外，它還與PERA SIM Fluid、PERA SIM LEmag、PERA SIM AcousticBEM等共同組成了強大的多學科仿真體系

點擊下方視頻，查看精彩案例演示

2.結(jié)構(gòu)有限元分析中的靜力分析

2.1. 最小勢能原理和變分法

從微分方程的角度看，要求求解變量在邊界上處處嚴格滿足邊界條件，因此方程非常難解，即微分方程描述的是強形式，即要求求解域內(nèi)的任意一點均滿足微分方程的形式和邊界條件。

若從能量的觀點出發(fā)，結(jié)合最小勢能原理，即真實結(jié)構(gòu)的狀態(tài)總是保持勢能最低的，由此可以得到勢能關于位移和應變的泛函，即積分形式，用變分法求解勢能泛函極值也可得到和微分方程一樣的形式。

從這點上看，二者是等價的，但我們只要求了勢能最低，是一個“宏觀籠統(tǒng)”的概念，理論上并未要求積分域內(nèi)任意一點均滿足微分方程的邊界條件的形式，所以為弱形式。事實上，任意一個偏微分方程都可以等效轉(zhuǎn)換為基于最小勢能的泛函極值問題。

換一個通俗易懂的說法，我們假設滿足邊界條件的位移u1、u2、u3…為可能的解，其對應的勢能為П1、П2、П3...；在所有可能的位移中，只有使勢能П最小的那個位移u，才是真實的解。

尋找最小勢能對應的位移的過程就需要引入變分法，即求泛函極值問題的方法；關于變分原理可以參考相應的書籍，本文不在此詳細討論；需要指出的是，變分法就是在無窮多的可能位移解中找到真實的那一個位移解的過程，標準就是只有真實位移解才能使勢能最小。

雖然偏微分方程描述和泛函極值描述二者是等價的，但是基于變分法的泛函極值問題并未給我們指出如何得到解的具體形式。

好在我們只需要得一個近似的數(shù)值解。

既然我們無法得到位移關于坐標的具體函數(shù)形式，那我們可以假設位移為某些已知函數(shù)形式的線性組合，如u(x)=a0+a1x+a2x2，函數(shù)的可能空間變得小了很多；求解位移u(x)的過程就轉(zhuǎn)換為求解待定系數(shù)a0、a1、a2的過程，即求解關于待定系數(shù)的線性代數(shù)方程組。

2.2. 基本理論

對于外形復雜的結(jié)構(gòu)，我們將其離散，生成有限個小塊，這些小塊被稱為“單元”，這就是“有限單元法”的由來。

上文中假定的位移模式通常采用多項式的形式，并且單元內(nèi)任意一點的位移通過節(jié)點的位移表示為

變換矩陣N被稱為“形函數(shù)”。盡管看起來有點奇怪，但是在數(shù)學上節(jié)點位移量相當于待定的系數(shù)：通過線性方程組求解這些待定系數(shù)，即求解了每個節(jié)點的位移。

結(jié)合單元的形函數(shù)和本構(gòu)關系，可以得到“單元剛度”；將離散單元按總體節(jié)點編號規(guī)則組裝起來，就可得到整體方程

其中K為整體剛度矩陣，F(xiàn)為載荷。

由于K是一個奇異陣，靜力分析中需要添加足夠的位移邊界方程才能有唯一解，具體解出剛度矩陣奇異性的方法有：主對角線元素置“0”法、主對角線元素置“1”法和置大數(shù)法。

位移求解完畢后，應力應變就可以通過位移的結(jié)果快速得到了。

2.3. 分析流程

前面講了有限元的大致原理和路線，再來整理一下有限元分析的流程：

選擇分析單元類型，應根據(jù)具體的模型和關注點合理選擇單元形狀；確定形函數(shù)，一般有線性和二次；

設置材料參數(shù)以及截面等參數(shù)，對應廣義的本構(gòu)關系；

離散，劃分單元，形成單元剛度矩陣，也可以直接建立有限元模型；

添加邊界條件和載荷，得到整體靜力學或動力學的完整方程；

求解方程，選擇適當?shù)乃惴ê蛯那蠼饪刂七x項參數(shù)，得到節(jié)點位移解；

后處理，得到節(jié)點或單元的應力、應變、位移、和約束反力等結(jié)果并通過云圖或曲線形式可視化

3.有限元模型的建立

3.1 PERA SIM Mechanical模塊

打開PERA SIM Space工作臺，進入軟件啟動界面，模型類型支持結(jié)構(gòu)、電磁、聲學等三大物理場，選擇聲學頻響分析，進入聲學物理場分析場景，目前支持3維結(jié)構(gòu)有限元計算：

3.2 曲軸模型導入

PERA SIM前處理器，提供了豐富的數(shù)據(jù)接口，支持IGES、STEP等幾何模型數(shù)據(jù)的導入；以及ANSYS（cdb、inp、dat）、ABAQUS（inp）、NASTRAN（bdf）等軟件網(wǎng)格模型數(shù)據(jù)的導入；同時，可以完成簡單的草圖繪制、幾何模型處理、添加聲場面幾何等功能。

本文利用結(jié)構(gòu)有限元模塊，求解曲軸模型在受到壓力和拉力作用下的變形情況，曲軸模型導入如下圖所示：

為了得到載荷施加面，需要對模型進行布爾運算，操作如下。

平移dy=67.5mm

平移dz=17mm，xy平面切分幾何體

平移dz=-34mm，xy平面切分幾何體

平移dz=17mm，z向回到初始位置

中間圓柱，旋轉(zhuǎn)-60度，xz平面切分

中間圓柱，旋轉(zhuǎn)120度，xz平面切分

中間圓柱，旋轉(zhuǎn)-60度，Rz回到初始位置

平移dy=-67.5mm，y向回到初始位置

3.3 網(wǎng)格模塊

PERA SIM提供了豐富的網(wǎng)格劃分算法，支持對1D、2D、3D模型的網(wǎng)格劃分，可以通過全局網(wǎng)格控制、局部網(wǎng)格控制等功能實現(xiàn)幾何模型的高質(zhì)量劃分。全局網(wǎng)格，尺寸3mm，最小0.5mm，最大15mm。

網(wǎng)格劃分成功，分析網(wǎng)格模型如下圖所示：

3.4 材料設置

曲軸材料為鋼材料，在材料設置界面中定義鋼材料屬性。

3.5分析設置

進入“邊界”模塊，在曲軸的一端創(chuàng)建兩個約束點，坐標為（0，-42.5，-62）和（0，-42.5，62），支撐節(jié)點與網(wǎng)格創(chuàng)建剛體連接。

另一端定義為固定約束，如圖所示。

定義慣性旋轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)速240rad/s。如圖所示。

曲軸上圓柱面定義壓力工況，壓力為132258.4N，均勻分布，如下圖所示。

進入“任務”模塊，完成。求解設置如下圖所示：

4.計算結(jié)果分析

PERA SIM后處理可以查看曲軸靜力學分析結(jié)果和模態(tài)分析結(jié)果，下表為與某主流軟件結(jié)果對比展示：

從對比結(jié)果圖中可以看出，兩個軟件計算出的最大位移出均出現(xiàn)再曲軸頂部，最大位移值分別為0.370mm和0.354mm，兩者偏差為4.4%；固有頻率對比偏差如下表所示。

從對比結(jié)果中可以看出，兩個軟件計算結(jié)果偏差不大，一般控制在5%左右，有一定的可替代性。

5.結(jié)論

本文基于安世亞太自主結(jié)構(gòu)有限元軟件PERA SIM Mechanical，計算曲軸的靜力學分析和模態(tài)分析，實現(xiàn)了網(wǎng)格劃分、邊界條件設置、快速求解到結(jié)果后處理的完整分析流程。同時，在相同的邊界和求解參數(shù)的條件下，與國外商用軟件某主流軟件計算結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)PERA SIM的變形和固有頻率大小基本保持一致，能保證較高的計算精度。

作者：安世亞太結(jié)構(gòu)工程師 白增程