弱形式的案例
COMSOL實例解析：弱形式在仿真建模中的實際應用
弱形式是在這個網格的每個單元上進行數值積分計算的。
求解： 定義好弱形式和邊界條件后，像設置普通 COMSOL 模型一樣添加“研究”步驟并進行求解。
驗證： 對于自定義的弱形式，強烈建議通過與解析解（如果存在）、已知的數值基準或 COMSOL 內置的等效物理接口（如果可能）進行比較來驗證你的實現。
總結
通過上述步驟，我們可以清晰地看到弱形式在 COMSOL 仿真中的強大功能和靈活性。它不僅能夠幫助我們解決傳統強形式難以處理的問題，還能為復雜物理場的建模提供更廣闊的自由度。
此外，掌握弱形式的使用還能幫助我們解決更多實際問題，例如：
多物理場耦合：通過弱貢獻節點將不同物理場的方程耦合在一起。
自定義方程：當現有物理接口無法滿足需求時，弱形式提供了一種靈活的解決方案。
非標準邊界條件：利用弱形式可以輕松實現復雜邊界條件的定義。
弱形式，就是你手中的建模“自由語言”。
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展開 基于弱形式（Weak form）的固體力學計算模型 ￥30
COMSOL中數學模塊PDE常用的有三種類型：系數形式，一般形式和弱形式，其使用難度依次遞增。由于COMSOL在求解物理問題時將方程轉化為PDE弱形式進行求解，因此弱形式（Weak form）是COMSOL中最本質的形式。用戶可以通過COMSOL的弱形式來求解更多更復雜的問題。COMSOL也 是唯一的直接使用弱形式來求解問題的軟件，通過理解弱形式也能更進一步的理解有限元方法（FEM ）以及了解COMSOL的實現方法。
本案例將通過弱形式開發結構力學計算功能，并將結果與軟件自帶的固體力學模塊對比，驗證基于PDE弱形式開發的固體力學計算模塊的正確性。
計算結果對比：
展開 基于弱形式（Weak form）的固體力學計算模型 ￥100
與其他軟件不同的是COMSOL中的各種物理學模塊和數學模塊在求解問題時，都是先將方程式轉化為PDE弱形式再進行求解。因此PDE弱形式作為COMSOL軟件的特有功能，是COMSOL最本質模塊。PDE弱形式對于理解有限元理論，提升仿真能力作用匪淺。
COMSOL數學模塊PDE主要分為三種類型：系數形式（Coefficient form），一般形式（General form），弱形式（Weak form）。其中弱形式（Weak form）是最本質的形式，以下將通過弱形式（Weak form）開發固體力學計算功能，并將結果與軟件自帶的固體力學模塊對比，驗證基于PDE弱形式開發的固體力學計算模塊的正確性。
展開 弱形式到底是什么？為什么有限元離不開它？
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弱形式到底是什么？為什么有限元離不開它？
在學習有限元方法（FEM）時，我們總會遇到一個看似抽象又略顯神秘的概念——微分方程的弱形式（Weak Form）。
但教材往往“一上來就講推導”，很多人沒弄明白它到底是什么，就已經陷入了公式的旋渦中。
本篇文章，我們從頭梳理弱形式的本質，力圖回答三個關鍵問題：
什么是“弱形式”？它和我們熟悉的微分方程形式有何不同？
為什么有限元方法必須依賴弱形式才能成立？
弱形式到底怎么推導出來？它的結構、意義和數值實現方式是什么？
什么是“弱形式”？
所謂弱形式，是對微分方程的一種積分等價重寫。
在“強形式”中，微分方程需要在每一個點都被嚴格滿足，同時要求解函數具有較高的光滑性（例如二階連續可導）。但在實際工程問題中，物理條件復雜，解往往不夠光滑，這就給解析方法和數值求解帶來了巨大挑戰。
弱形式的出現，就是降低對解的光滑性（可微性）要求，它是許多強大的數值方法（尤其是有限元法 Finite Element Method, FEM）的理論基礎。有限元方法的本質，就是將一個偏微分方程問題轉化為一個代數系統進行求解。這個轉化過程的核心步驟，正是將強形式變成弱形式。
強形式 vs 弱形式
為了說明“強形式”和“弱形式”的區別，我們從一個最簡單的一維邊值問題出發，這樣更容易理解其背后的邏輯結構：
例子：一維泊松方程
考慮以下邊值問題：
這是一個非常基礎的微分方程，描述了例如一根受力桿的穩態變形問題，其中 u(x) 是位移， f(x) 是分布載荷。
什么是“強形式”？
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傳統脆性斷裂相場模型的三維UEL理論及代碼 ￥120
另一項斷裂能為：
因此代入具體表達式可將系統總勢能表達為：
對上述能量進行一階變分可得：
即可得弱形式方程為：
具體外力虛功為：
式中本構方程為：
該弱形式方程是后續推導有限元方程的基礎。同時，通過弱形式方程也可推導得到強形式的控制方程，即位移場和相場的控制方程。對上述弱形式進行分部積分可得：
因次位移場和相場的強形式控制方程為：
以及相應的邊界條件為：
3 有限元離散
為推導有限元離散方程，對位移場和相場控制方程的弱形式進行處理：
對位移場和相場進行插值可得：
m指單元節點的個數。因此相應的梯度場可以插值為：
B矩陣的是由形函數對物理坐標的導數組成的。同理有：
代入到弱形式方程中可得殘值方程；
使用牛頓迭代法求解上述非線性系統。更新格式為:
剛度矩陣為：
為了保證損傷不能愈合，即：
需要做出一些修改，即取歷史上最大的彈性應變能，即：
4 代碼
《斷裂相場法》書中提供了傳統脆性斷裂相場模型的二維UEL代碼。本文將其拓展為三維情況。
UEL需要更新單元的剛度矩陣和右端項，公式在理論部分已詳細給出。
5 測試
5.1 一個單元拉伸破壞
對一個單元施加的邊界條件為，x=0面約束所有位移自由度，即u=0,v=0,w=0;在x=1面進行位移加載，即u=0.1，v=0,w=0。單個單元拉伸破壞時具有解析解。
展開 平面應力脆性斷裂相場AT2模型 ￥120
另一項斷裂能為：
因此代入具體表達式可將系統總勢能表達為：
對上述能量進行一階變分可得：
即可得弱形式方程為：
具體外力虛功為：
式中本構方程為：
該弱形式方程是后續推導有限元方程的基礎。同時，通過弱形式方程也可推導得到強形式的控制方程，即位移場和相場的控制方程。對上述弱形式進行分部積分可得：
因次位移場和相場的強形式控制方程為：
以及相應的邊界條件為：
3 有限元離散
為推導有限元離散方程，對位移場和相場控制方程的弱形式進行處理：
對位移場和相場進行插值可得：
m指單元節點的個數。因此相應的梯度場可以插值為：
B矩陣的是由形函數對物理坐標的導數組成的。同理有：
代入到弱形式方程中可得殘值方程；
使用牛頓迭代法求解上述非線性系統。更新格式為:
剛度矩陣為：
為了保證損傷不能愈合，即：
需要做出一些修改，即取歷史上最大的彈性應變能，即：
4 代碼
代碼在附件中的src文件夾下，包含有函數支持文件AT2_plane_stress_uel_pack.f90和主函數AT2_plane_stress_uel_main.f90，可運行run_obj.bat生成相應的obj文件，即AT2_plane_stress_uel_main-std.obj。
UEL需要更新單元剛度矩陣和單元殘值，具體公式在上述理論部分已詳細給出。
展開 強式與弱式
眾所周知， 一般的偏微分方程是系統方程的強形式，能獲得強形式系統方程的精確解當然是很理想，然而，對于大多數的實際工程問題，我們都很難獲得其強形式解。因此，基于強形式的數值方法被逐漸發展起來用于獲取系統的近似解。有限差分法（FDM）是一種非常典型的基于強式的方法，它將一個函數在局部域上表達為有限差分的形式（Taylor 級數），用于求解強勢系統方程以用來獲得其近似解。但是FDM需要規則的網格劃分，只能用來求解具有規則幾何形狀和邊界條件的簡單問題。此外，需假設的近似未知函數需要足夠的連續性，也就是要求它與偏微分方程具有同階的可導性。為了減弱對近似函數的連續性要求，基于數學或物理原理積分方程的弱勢被引入到系統方程中。以弱形式表示的場變量的近似函數對于連續性的要求與強形式差別顯著，對以一個2k 階微分控制方程，強形式需要變量場2k階連續，而弱形式一般僅需要k階連續。
在實際操作中，一般采用變分原理和加權殘值法構造弱形式。加權殘值法根據權函數的不同包括有配點法，子域法，最小二乘法，力矩法，Galerkin 法等，我會在以后的時間逐漸討論，并通過這些討論來引出一系列的目前比較流行的數值計算方法。
展開 第16屆全國非線性有限元高級講習班2021年7月29日-31日
經中國數字仿真聯盟研究，決定2021年7月29日- 31日在北京市繼續舉辦“第 16 屆全國非線性有限元高級講習班”，歡迎廣大有限元愛好者踴躍報名，現將有關事項通知如下：
主要教學內容
1.非線性有限元理論和計算
三場變分原理（弱形式）；一種格式：拉格朗日格式，簡稱 L 格式，包括完全的 L 格式(TL)和更新的 L 格式（UL），以及任意的拉格朗日-歐拉格式（ALE）；兩種解法：隱式和顯式求解器，隱式－Newton-Raphson 迭代，顯式－中心差分；三種非線性：材料、幾何和接觸，例如材料非線性包括彈塑性、超彈性和粘彈性；幾何非線性包括大應變、大位移、大轉動問題和弧長法解決屈曲問題；接觸非線性包括拉格朗日乘子法和罰函數方法。
單元 1：引言：有限元發展歷史，標記方法，網格表述和偏微分方程分類。
單元 2：連續介質力學基礎：變形和運動，應力－應變的度量，守恒方程，框架不變性。
單元 3：更新和完全拉格朗日有限元：控制方程，弱形式與強形式，有限元離散，編制程序，旋轉公式。
單元 4：材料本構模型：一維彈性，非線性彈性，如次彈性和超彈性。一維塑性，多軸塑性，粘彈性，經驗本構模型，如 J-C 方程等。
單元 5：應力更新算法，結合 Jaumann 率、Green-Naghdi 率、Truesdell率處理大轉動問題。
單元 6：求解方法：平衡解答和隱式時間積分（N-R 求解等），顯示時間積分（中心差分等）。穩定性，平滑性，數值穩定性，材料穩定性。屈曲和后屈曲，弧長法。
單元 7：單元性能：分片試驗，Hu-Washizu 三場變分原理，弱形式。單元穩定性：體積自鎖，剪切自鎖，減縮積分，不完全積分平面單元，沙漏模式。
單元 8：梁、殼和連續體單元。基于連續體的梁，基于連續體的殼，膜單元的性能，假設應變單元，一點積分板殼單元。
展開 使用 COMSOL 實現多物理場拓撲優化的優勢
例如，如圖 2 所示，圖 1 中位移場的域積分項擴展為直觀的弱形式（見公式 (A)），我們可以通過弱形式偏微分方程 接口，使用 COMSOL 可解釋的語法輕松實現該公式，即
-((test(ux)-test(vy))*G*(ux-vy)+(test(uy)+test(vx))*G*(uy+vx))
+(test(ux)*p+test(vy)*p)+rho*omega^2*(test(u)*u+test(v)*rho*v.
有關在 COMSOL API 中實現弱形式的更多詳細信息，請查閱參考文獻 2 和 3。此外，我們還可以通過查看圖 3 中顯示的代碼來獲得一些靈感，這些代碼指示了拓撲優化框架的基本步驟。例如，圖 2 中的方程(A)、方程(B)和方程(C)可以使用圖 3 所示的模型對象和方法來實現。
圖2. 使用混合的 公式的聲-結構相互作用問題弱形式方程，和用于拓撲優化問題所需的一些基本任務。有限元系統方程包括設計變量和狀態變量，例如方程 (E)；目標函數和約束，例如方程（F）; 和設計靈敏度分析，例如公式(G)。
圖3. 為拓撲優化過程所需任務選擇的 COMSOL API 和 MATLAB? 代碼。COMSOL API 語法可以輕松方便地處理所需的任務，無需多行復雜的代碼。
設計變量的材料插值和參數化
拓撲優化最終會在設計域中找到一種材料和另一種材料(或空隙)的最佳分布，用于優化目標函數。在 ASI 問題的優化過程中，通過密度
、體積模量
和剪切模量
取與空氣和固體材料對應的兩個極值之間的值，以得到優化的設計。這些值由具有設計變量場
的材料插值函數引入，如圖 2 中的方程(B)所示。
展開 有限長線接觸彈流潤滑仿真分析 ￥50
本案例圍繞圓柱滾子軸承的彈流潤滑行為，推導了Reynolds雷諾方程弱形式，利用COMSOL弱形式偏微分方程（PDE）構建了彈流潤滑仿真模型。相比多重網格計算方法，該方法計算高效，無需編程，適應工況范圍廣。后續將繼續推出點接觸和橢圓點接觸彈流潤滑仿真模型。
三相流、水平集模擬激光燒蝕 ￥3000
本模型，主要考慮了金屬固，液，氣三種相態的變化，固液相變采用相變傳熱理論、液氣相變采用水平集來跟蹤，其中包含了表面張力和馬蘭戈尼力的弱形式的公式，可以加深對弱形式的理解。
模型主要采用了流體傳熱、層流、水平集模塊，多物理場為：水平集和非等溫流動
圖 1 加載激光后的燒蝕效果以及溫度分布
圖2 加載激光過程中的反沖氣體的流速以及流向分布
圖3 相變過程中的壓力分布
圖4 燒蝕最后，利用水平集值表示的形貌變化
展開 
【8月1-3日 北京】清華博導：莊茁、柳占立主講！全國非線性有限元高級講習班
經中國力學學會計算力學專業委員會、中國力學學會產學研工作委員會、中國數字仿真聯盟研究，決定今年8月1—3日繼續舉辦“第15屆全國非線性有限元高級講習班”，歡迎廣大有限元愛好者踴躍報名，現將有關事項通知如下：
一、組織機構
主辦單位：中國力學學會計算力學專業委員會
中國力學學會產學研工作委員會
中國數字仿真聯盟
會務服務：北京諾維特機械科學技術發展中心
二、主要教學內容
1.非線性有限元理論和計算
三場變分原理（弱形式）；一種格式：拉格朗日格式，簡稱L格式，包括完全的L格式(TL)和更新的L格式（UL），以及任意的拉格朗日-歐拉格式（ALE）；兩種解法：隱式和顯式求解器，隱式－Newton-Raphson迭代，顯式－中心差分；三種非線性：材料、幾何和接觸，例如材料非線性包括彈塑性、超彈性和粘彈性；幾何非線性包括大應變、大位移、大轉動問題和弧長法解決屈曲問題；接觸非線性包括拉格朗日乘子法和罰函數方法。
單元1：引言：有限元發展歷史，標記方法，網格表述和偏微分方程分類。
單元2：連續介質力學基礎：變形和運動，應力－應變的度量，守恒方程，框架不變性。
單元3：更新和完全拉格朗日有限元：控制方程，弱形式與強形式，有限元離散，編制程序，旋轉公式。
單元4：材料本構模型：一維彈性，非線性彈性，如次彈性和超彈性。一維塑性，多軸塑性，粘彈性，經驗本構模型，如J-C方程等。
單元5：應力更新算法，結合Jaumann率、Green-Naghdi率、Truesdell率處理大轉動問題。
單元6：求解方法：平衡解答和隱式時間積分（N-R求解等），顯示時間積分（中心差分等）。穩定性，平滑性，數值穩定性，材料穩定性。屈曲和后屈曲，弧長法。
展開 到底什么是有限單元法？ 附有限單元法王勖成文檔下載
那么弱形式的終形態就變為：
當然，除了弱形式，還有強形式(Strong form)。由于弱形式用的比較多，這里就主要介紹弱形式。
到這里，如果帶入我們之前的最早例子里面的參數c = EA，f = P，那么方程的左邊就是應變能，右邊就是外力做功。可以假設每一個單元都是一個小彈簧，結合回顧初中學胡克定律時候的內容，是不是感覺一切都聯系起來了。
再將近似解帶入我們之前假設的基函數的形式：
這種寫法看著還是有點迷惑，但是作為僅僅是一篇科普文，那我換一種更加直接了當的說法：
上式中
是跟
相關，
是常數，那么我們的近似解就可以分離為一組常數（節點位移）乘以
的形式，這里的
就是傳說中的型函數（Shape function）。
如果把
提出來，左右兩邊同時約去，再把求和號拿出來，最后的形式就可以表達為：
這樣就把問題轉移到求
上，注意一下，
是跟材料截面相關的常數，
是我們的未知量。重寫成一種更為熟知的形式就是：
這樣是不是親切多了（手動狗頭）。
在此再說一下型函數，型函數是我們根據已知推未知的一種方式，假設已知我們節點值，但是節點中間的值我們并不知道，因為我們已經將我們的問題離散化了，也就是把一個整體劃分成很多小的單元(mesh)。
你可以理解成，已知兩個人身高，第三個人的身高介于兩人之間，你就可以根據Shape function大差不差的猜一下第三個人的身高。這聽上去很有道理，如果你已知某個人身高介于姚明易建聯之間，求出來的誤差可能在幾厘米，但是如果告訴你某個人身高介于姚明和郭敬明之間，你是不是想弄死我，因為我說了一句廢話，而且可能誤差也非常大，手動狗頭。
展開 FEA的核心思想-仿真時間步-隱式算法顯示算法
我們會發現數值方法的核心是 空間內的一組基來近似 空間內的復雜形式。簡單說就是利用 一組簡單的表達式來近似任何復雜的形式。拉格朗日插值不就是采用非常簡單的基函數來形成的。數值積分我們都是劃歸到了對多項式的積分上。
理解了數值方法的核心再理解有限元就簡單多了，有限元求解的對象是偏微分方程。考慮偏微分方程，最終的解的定義域是在一個區域內的，這個區域內的解析表達式是非常困難的。這時候理所當然大家就會考慮怎么求解這個問題呢？肯定是在這個區域內找一些簡單函數去近似擬合，比如利用多項式 利用周期函數等等。。。。但是在這樣求解的過程中又會發現，我們在整個區域內近似是非常困難的，對于很多問題還是不是那么容易求解，試想一個形狀非常不規則的區域？？？這時候，科學家就會萌生了能否我把整個區域的問題劃分成一系列的簡單區域，簡單區域上問題求解是非常簡單的，最終的結果把所有區域結合起來不就可以了嗎？ 這時候科學家又會聯系到，結構力學中的桿件結構，因為在桿件結構中已經有了這樣的方法。所以經過一系列的推導就有了這樣分片求解問題的方法 即有限元方法。
有限元并沒有什么復雜的，也不要被什么最小勢能，變分原理嚇住，因為這些都是在逐步完善有限元方法過程中理論的完善，最小勢能，變分原理是為了建立有限元的弱形式，或許你會問 弱形式是什么呢？ 舉個例子，如果我們分析的微分方程式二階的，也就是方程中含有關于自變量的二階導數，那么我們建立的近似函數是不是也要具有二階呢？答案是肯定的，事實證明，階段太高是非常不利于問題求解的，那么就會思考可不可有一種等效的形式，但是階次又是比較低的？當然有了，這就是弱形式，試想如果可以用一次函數去近似是不是非常簡單呢？不得不說這是有限元方法得以這么盛行的非常重要的理論基礎。
時間步理解
做非線性分析的都知道時間步的問題，這里來談談一些注意和基本概念。
展開 學習有限元需了解的知識點
3、 一根單位長度重量為q的懸掛直桿，上端固定，下端受垂直向下的外力P，試
1） 建立其受拉伸的微分方程及邊界條件；
2） 構造其泛函形式；
3） 基于有限元基本思想和泛函求極值構造其有限元的計算格式（即最小勢能原理）。
4、 以簡單實例為對象，分別按虛功原理和變分原理導出有限元法的基本格式（單元剛度矩陣）。
5、 什么是節點力和節點載荷？兩者有何區別？
答：節點力：單元與單元之間通過節點相互作用
節點載荷：作用于節點上的外載
6、 單元剛度矩陣和整體剛度矩陣各有何特點？其中每個矩陣元素的物理意義是什么（按自由度和節點解釋）？
答：單元剛度矩陣：對稱性、奇異性、主對角線恒為正
整體剛度矩陣：對稱性、奇異性、主對角線恒為正、稀疏性、帶狀性。
Kij，表示j節點產生單位位移、其他節點位移為零時作用i節點的力，節點力等于節點位移與單元剛度元素乘積之和。
7、 單元的形函數具有什么特點？有哪些性質？
答：形函數的特點：Ni為x，y的坐標函數，與位移函數有相同的階次。形函數Ni在i節點的值為1，而在其他節點上的值為0；
單元內任一點的形函數之和恒等于1；
形函數的值在0~1間變化。
8、 描述彈性體的基本變量是什么？基本方程有哪些組成？
答：基本變量：外力、應力、應變、位移
基本方程：平衡方程、幾何方程、物理方程、幾何條件
9、 何謂應力、應變、位移的概念？應力與強度是什么關系？
答：應力：lim△Q/△A=S △A→0
應變：物體形狀的改變
位移：彈性體內質點位置的變化
10、 問題的微分方程提法、等效積分提法和泛函變分提法之間有何關系？何謂“強形式”？何謂“弱形式”，兩者有何區別？建立弱形式的關鍵步驟是什么？
答：強弱的區分在于是否完全滿足物理模型的條件。
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