彈性矩陣
關注創建者：匿名 創建時間：2022-04-12
彈性矩陣的實例教程
各向同性，橫觀各向同性，正交各向異性三種線彈性umat程序
1 各向同性
各向同性線彈性材料的彈性矩陣為：
式中拉梅常數的表達式為：
因此在編寫各向同性材料的umat時，需要兩個材料參數，在這里我們使用楊氏模量E和泊松比v。
2 橫觀各向同性
橫觀各向同性線彈性材料的彈性矩陣為：
并有關系式：
可見其彈性矩陣需要5個獨立的參數，為下列5個工程常數：
下標a代表軸向，下標t代表橫向。
3 正交各向異性
正交各向異性線彈性材料的彈性矩陣為：
并有關系式：
因此對于正交各向異性材料，其彈性矩陣需要9個工程常數來確定：
4 程序
使用Fortran90編寫umat程序。由于Abaqus默認的umat子程序為Fortran77，因此為了使用f90程序，使用命令：
abaqus make library=xxx.f90
該命令可以生成相應的后綴為obj的文件，之后使用該文件即可。使用上述方法可以避免使用Fortran77進行umat的編寫。
展開 單元壓電耦合場的廣義本構方程表示如下：
即為：廣義應力=廣義彈性矩陣·廣義應變。其中廣義力中D為電位移，廣義應變中E為電場強度。
在廣義彈性矩陣中，C矩陣為力學場的彈性矩陣，e矩陣為壓電常數矩陣，右下角為介電常數矩陣。亦可展開如下表示（某種材料的參數，如果是特殊材料e矩陣中非0常數會更多或者更少，由材料本身決定）。
本構關系的張量表達式為：
其中，廣義應變的有限元格式可表示為：
其中，電場強度E為負的電勢梯度：
則廣義應變列陣記為：
那么，單元的剛度矩陣可以表示為：
其中Kuu為C3D8原本的剛度矩陣，Kuv與Kvu為壓電耦合剛度矩陣，Kvv為電場的廣義剛度矩陣。
ABAQUS中的C3D8和C3D8E都是做了一些剛度修正的，比如C3D8為了防止單元自鎖，采用了B-Bar方法，得出的剛度矩陣是介于C3D8和C3D8R之間的值，同樣的C3D8E也有一些類似的修正，以下我將提供一個不包含修正的版本，對ABAQUS剛度修正方法感興趣的朋友可以去拿去跟ABAQUS CAE對比。
展開 對于單向層合板，在材料坐標系下的應力應變關系如下，其中Q為彈性矩陣：
或
注意上述應力應變關系中Q16和Q26兩項均為0。
對于一個包含多個鋪層角度的 層壓板，其第k個鋪層，在層合板坐標系下單層的應力應變關系為：
其中， Q'為偏軸彈性矩陣，由 Q通過矩陣變換得到。
其展開形式可以表示為：
其中，
θ為鋪層角度。這里需要注意的是，偏軸彈性矩陣系數Q 11'、Q 22'、Q 66'、Q 12'四項均為 偶函數，+θ和-θ兩個鋪層對應的偏軸彈性系數相同，比如Q 11'(+θ)=Q 11'(-θ)。而Q 16'和Q 26'兩項是 奇函數，+θ和-θ兩個鋪層對應的這兩個偏軸彈性系數剛好 大小相等，符號相反，例如Q 16'(+θ)=-Q 16'(-θ)。
根據經典層合板理論，
先拋開B矩陣不管（以后再單獨說B矩陣的事）。
當一個層壓板中+θ和-θ鋪層數量相等時，即均衡鋪層時，A 16和A 26正負值成對出現，中性面上的正應變ε x0或ε y0在+θ和-θ層引起的剪力N xy大小相等、符號相反，互相抵消。也就是面內的正應變不會引起附加的剪切變形， 不存在拉剪耦合效應。
作用在層壓板上的力
反之，如果一個層壓板中+θ和-θ鋪層數量不相等時，面內正應變引起的剪力無從抵消，層板在發生拉伸/壓縮變形的同時，必然還有附加的剪切變形，即存在 拉剪耦合效應，如下圖所示。同樣滴，當層壓板中面有剪切變形γ xy時，除了引起剪力N xy之外，還會引起軸向力N x、N y，即存在 剪拉耦合效應。
展開 平衡方程
彈性體V域內任一點沿坐標軸x,y,z方向平衡方程
其中 ， ， 為單位體積的體積力在x,y,z方向的分量
平衡方程矩陣形式
其中
是體積向量，
應力列陣（應力向量）
應力分量正負號規定
如果某一個面的外法線方向與坐標軸的正方向一致，這個面上的應力分量就以沿坐標軸正方向為正，與坐標軸反方向為負；相反如果某一個面的外法向方向與坐標軸的負方向一致，這個面上的應力分量就以沿坐標軸負方向為正，與坐標軸同向為負。應力分量及正方向如圖1
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彈性矩陣的最新內容
并不簡單的彈塑性本構子程序6個月前
子程序結構
子程序的基本結構如下：
1.初始化準備工作
程序首先進行初始化準備工作，讀入材料的彈性參數、強度參數、硬化參數以及應變率相關參數，然后構建彈性剛度矩陣，為后續計算奠定基礎。
2.進入材料點循環
接下來進入材料點循環，對每個積分點逐一進行計算。
彈性矩陣
real(8) :: E,nu
real(8) :: De(6,6)
! 計算全應變
strain_n1 = strain_n0 + strain_inc
!
</p><p>根據彈性力學方程，單元內應變與應力的關系則為：</p><p><br></p><p>式中，為單元內任一點應力；</p><p>為彈性矩陣；</p><p>根據虛位移原理，節點位移與其節點力的關系為：</p><p><br></p><p>式中，為單元中的節點力；</p><p>為單元中的剛度矩陣。
</p><p>根據彈性力學方程，單元內應變與應力的關系則為：</p><p><br></p><p>式中，為單元內任一點應力；</p><p>為彈性矩陣；</p><p>根據虛位移原理，節點位移與其節點力的關系為：</p><p><br></p><p>式中，為單元中的節點力；</p><p>為單元中的剛度矩陣。
</p><p>根據彈性力學方程，單元內應變與應力的關系則為：</p><p><br></p><p>式中，為單元內任一點應力；</p><p>為彈性矩陣；</p><p>根據虛位移原理，節點位移與其節點力的關系為：</p><p><br></p><p>式中，為單元中的節點力；</p><p>為單元中的剛度矩陣。
</p><p>根據彈性力學方程，單元內應變與應力的關系則為：</p><p class="ql-align-center"><br></p><p>式中，為單元內任一點應力；</p><p>為彈性矩陣；</p><p>根據虛位移原理，節點位移與其節點力的關系為：</p><p class="ql-align-center"><br></p><p>式中，為單元中的節點力；</p><p>為單元中的剛度矩陣。
</p><p>根據彈性力學方程，單元內應變與應力的關系則為：</p><p><br></p><p>式中，為單元內任一點應力；</p><p>為彈性矩陣；</p><p>根據虛位移原理，節點位移與其節點力的關系為：</p><p><br></p><p>式中，為單元中的節點力；</p><p>為單元中的剛度矩陣。
此時，彈性柔度系數矩陣可寫成公式如下。
(3-3)
式中為MFC的等效彈性模量，單位MPa，是MFC的泊松比。由于忽略了MFC厚度方向上的作用力，因此在剪切方向的壓電應變常數應為0，即d15=d24=0。公式(3-3)中的壓電應變常數矩陣就可以進一步簡化為下式(3-4)。
通過修正彈性本構矩陣，使厚向應力沿厚度方向均勻分布，可以緩解這種情況。
剪切鎖死
剪切鎖死通常發生在8節點實體單元和雙線性Mindlin板單元中。這種鎖死通常在計算板受純彎曲效應的問題中發生，此時面外剪切應力為零。然而，由于面外位移的采用線性插值，當單元受純彎曲變形時，橫向剪切應變不能在單元的所有節點處都消失，導致單元過剛。
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</div><p><em>D0 el</em>為<span style="background-color: yellow;">初始彈性矩陣
