航空航天領域常用的π/4層壓板（由0°、90°、45°、-45°四種鋪層角度組成的層壓板）設計中，經常會提到均衡性設計約束條件。均衡性就是鋪層序列中如果存在一個+θ角度的鋪層，那么就必須得有一個-θ的鋪層與之匹配，例如45°和-45°就是一對均衡鋪層。

為什么要保持均衡性的約束條件，需要從最基本的復合材料力學原理去解釋。 對于單向層合板，在材料坐標系下的應力應變關系如下，其中Q為彈性矩陣：

或

注意上述應力應變關系中Q16和Q26兩項均為0。

對于一個包含多個鋪層角度的 層壓板，其第k個鋪層，在層合板坐標系下單層的應力應變關系為：

其中， Q'為偏軸彈性矩陣，由 Q通過矩陣變換得到。

其展開形式可以表示為：

其中，

θ為鋪層角度。這里需要注意的是，偏軸彈性矩陣系數Q 11'、Q 22'、Q 66'、Q 12'四項均為 偶函數，+θ和-θ兩個鋪層對應的偏軸彈性系數相同，比如Q 11'(+θ)=Q 11'(-θ)。而Q 16'和Q 26'兩項是 奇函數，+θ和-θ兩個鋪層對應的這兩個偏軸彈性系數剛好 大小相等，符號相反，例如Q 16'(+θ)=-Q 16'(-θ)。

根據經典層合板理論，

先拋開B矩陣不管（以后再單獨說B矩陣的事）。

當一個層壓板中+θ和-θ鋪層數量相等時，即均衡鋪層時，A 16和A 26正負值成對出現，中性面上的正應變ε x0或ε y0在+θ和-θ層引起的剪力N xy大小相等、符號相反，互相抵消。也就是面內的正應變不會引起附加的剪切變形， 不存在拉剪耦合效應。

作用在層壓板上的力

反之，如果一個層壓板中+θ和-θ鋪層數量不相等時，面內正應變引起的剪力無從抵消，層板在發生拉伸/壓縮變形的同時，必然還有附加的剪切變形，即存在 拉剪耦合效應，如下圖所示。同樣滴，當層壓板中面有剪切變形γ xy時，除了引起剪力N xy之外，還會引起軸向力N x、N y，即存在 剪拉耦合效應。

類似地，這類非均衡層壓板，D 16和D 26正負值不是成對出現，當中面有曲率κ x或κ y時，除了會引起彎矩M x、M y之外，還有附加的扭矩M xy，即存在 彎扭耦合效應；當層壓板中面有扭率κ xy時，除了會引起扭矩之外，還會引起附加的彎矩，即層壓板存在 扭彎耦合效應。

作用在層壓板上的力矩

講到這里，相信讀者朋友們應該就明白了， 保持層壓板鋪層的均衡性主要是 避免這類由于非均衡性造成的拉剪、剪拉、彎扭、扭彎耦合效應 ，簡化復合材料層壓板的設計復雜度。

但是在某些特殊結構設計中，也會特意去利用復合材料的這種可設計性將層壓板設計成具有拉剪、剪拉、彎扭、扭彎耦合特點的結構，如飛機機翼的氣動剪裁設計、旋翼葉片的設計等。

 

新春快樂

兔年大吉  

 

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