阻尼矩陣
關注創建者：LionelLee 創建時間：2020-04-18
阻尼矩陣的視頻教程
Matlab自編C3D8、C3D20、C3D10單元計算動荷載問題
概述：matlab自編程序求解C3D8（一階六面體）、C3D20（二階六面體）、C3D10（二階四面體）單元的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣，并采用newmark求解動荷載問題，計算結果與abaqus保持一致。 視頻首先采用abaqus計算懸臂梁受動荷載算例，與此同時修改inp文件，并導出abaqus計算的總體剛剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣。
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ABAQUS復模態分析
如果剛度矩陣和阻尼矩陣是非對稱的，則不能用常規方法將方程解耦，這時必須用復模態解耦，稱這種方法為復模態理論。對于剛度矩陣或阻尼矩陣不對稱性，復特征值分析可用于識別系統的不穩定性。例如：摩擦導致不對稱的剛度矩陣，在摩擦誘導下振動的剎車尖叫。
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橡膠減振浮置板軌道系統振動減震結構的模態分析保姆式教程
這些材料中的阻尼通常使用瑞利阻尼表示，阻尼矩陣表示為： [C]= α[M] + β[K] 其中： [C]是阻尼矩陣 [M]是質量矩陣 [K]是剛度矩陣 α和β是瑞利阻尼系數 瑞利阻尼系數的計算 瑞利阻尼系數可以使用以下方程計算： α = 2ξω?ω?/(ω?+ω?) β = 2ξ/(ω?+ω?) 其中： ξ是阻尼比，對于橡膠材料通常取為0.2 ω?是第i階固有頻率 ω?是第
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阻尼矩陣的實例教程
再假定由材料內摩擦引起的結構阻尼比例于應變速率(前面推導粘性阻尼和結構阻尼等效關系時，假設結構阻尼力與位移成比例，注意區別)，這時的單元阻尼矩陣為：
單元阻尼矩陣與單元剛度矩陣成比例。
比例于單元質量矩陣和單元剛度矩陣的阻尼矩陣對于模態振型具有正交性，此時的阻尼矩陣也稱為振型阻尼。
式(11)和式(12)中的比例系數，在一般情況下是依賴于頻率的，因此在實際分析中，精確地決定阻尼矩陣相當困難。因此，通常將阻尼矩陣簡化為質量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即
這種振型阻尼稱為瑞利阻尼。
midas NFX中瑞利阻尼的定義
圖1 材料定義界面
在midas NFX中，在材料定義窗口，可以輸入質量比例常數α和剛度比例常數β。
②模態阻尼
在線性動力分析當中，可以選擇用模態法進行求解，模態法中常用的阻尼就是模態阻尼，包含臨界阻尼比、等效粘性阻尼以及品質因子。
其中關于臨界阻尼比和等效粘性阻尼，見前述。
下面說明品質因子的概念。
圖2 動力放大系數與阻尼比、頻率比的關系
動態放大系數是指動力荷載引起的響應幅值與動力荷載幅值作為靜荷載所引起的結構靜響應之比。動態放大系數與頻率比、阻尼比有關，表達式為：
當頻率比(荷載頻率與固有頻率之比)趨向于1時，動態放大系數趨向于1/2ξ。也就是：
A稱為品質因子。
midas NFX中模態阻尼的定義
用模態法進行求解時，對系統的動力學方程進行解耦，得到n個單自由度系統的運動方程。
通過模態阻尼定義每個單自由度系統運動方程的阻尼。
展開 在多自由度響應的問題中，認為質量矩陣和剛度矩陣都是正定對稱的；而且認為系統阻尼是比例阻尼，是一種可解耦阻尼；同時結構固有模態（振型）相對于質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣都具有正交性。因此可用模態坐標使方程簡化，這種理論稱為實模態理論。但是如果剛度矩陣和阻尼矩陣是非對稱的，則不能用常規方法將方程解耦，這時必須用復模態解耦，稱這種方法為復模態理論(complex modal theory)。
復特征值理論使用投影法(projection method)來提取系統的復特征值(complex eigenvalues)。有限元模型的特征值問題可以用以下公式來表達：
其中MMN ：質量矩陣，通常是對稱的和半正定的；
CMN：阻尼矩陣；
KMN：剛度矩陣，可以包括預載荷和阻尼的影響，因此有可能是非對稱的；
μ：復特征值；
φN：復特征向量，即振動模態；上標M和N代表自由度。
在ABAQUS/Standard中，復特征值的提取過程使用子空間投影法，而且在復特征值提取過程之前，一般先進行具有對稱剛度矩陣的無阻尼系統的特征值和特征模態的計算。全部的子空間都被缺省地作為基本矢量，ABAQUS/Standard在考慮用戶對子空間的各種規定之后，通常計算出投影空間內所有的有效復模態。用戶指定的需要求解的特征模態數不能超過投影子空間的維數。在復特征值提取過程中，為了能夠計入剛度矩陣或阻尼矩陣非對稱的影響，程序能夠自動使用非對稱矩陣求解和存儲方法。如果用戶強行指定了對稱矩陣的求解技術和存儲方法，矩陣非對稱性的影響將被忽略。
關鍵字如下：
*COMPLEX FREQUENCY
關于ABAQUS復模態介紹.pdf
展開 指定輸出單元矩陣
/SOLU
SOLVE
finish
/OUTPUT, TERM ! 將輸出信息送到output windows中
! 這時用編輯器打開cp.out文件，可以看到按單元寫出的質量、剛度等矩陣
3.
其原理很簡單，即使用ansys的超單元即可解決問題。定義超單元，然后列出超單元的剛度矩陣即可。
面是一個小例題，自可明白。
/prep7
k,1
k,2,3000
l,1,2
et,1,beam3
mp,ex,1,2e5
mp,prxy,1,0.3
r,1,5000,2e7,200
lesize,all,,,10
lmesh,all
finish
!----以上正常建立模型，不必施加約束和荷載
/solu
antype,7 !substructuring分析類型
seopt,matname,1 !設置文件名稱和剛度矩陣類型(剛度，質量，阻尼等)
nsel,all !選擇所有節點
m,all,all !定義所有節點自由度為主自由度
solve !求解
selist,matname,3 !列出整體剛度矩陣
展開 一般物理系統的自由振動方程為
其中，[M]、[C]和[K]分別表示質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。
模態分析本質上就是需要對上述方程進行特征值求解。一般情況下，阻尼對模態分析結果的影響不大，在進行模態分析時會忽略阻尼的影響，所以上述一般物理系統的自由振動方程為
對于方程（1），在Matlab中需要先對方程（1）進行降階，再進行特征值求解；對于方程（2），在Matlab中是可以直接進行特征值求解的。
轉子系統的自由振動方程為（忽略阻尼）
其中，[G]為回轉矩陣，是一個反對稱矩陣，且主對角元素為0。因為轉子臨界轉速分析時要考慮陀螺力矩的影響，所以轉子自由振動方程中包含有回轉矩陣。顯然，方程（3）與方程（1）在形式上類似，使用Matlab進行特征值分析時，需要先降階再求解。
下面給出一個簡單例子，以幫助理解這些情況。定義如下矩陣：
1.考慮無阻尼的情況
考慮質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C0]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為
2.考慮比例阻尼
比例阻尼，即阻尼與系統的質量和/或剛度成比例。考慮質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C1]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為
注意到這組特征值求解得出的模態振型與無阻尼的情況相同，這是因為阻尼與系統的質量和/或剛度成比例。上述兩種情況產生的模態稱為“實模態”。顯然，無阻尼和比例阻尼計算出的模態振型完全相同。
3.考慮非比例阻尼
非比例阻尼不與系統的質量和/或剛度成比例。考慮質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C1]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為
對于這種情況，模態振型不同于前面的兩種情況。首先，模態振型是復數值。
展開 RayLeigh阻尼在Abaqus中常用來模擬響應分析中的阻尼，其一般形式如下：
這種阻尼矩陣稱為比例阻尼矩陣。其中α和β是比例系數, 可通過實驗來確定。把阻尼矩陣寫成上式的形式，還有一個優點就是阻尼陣關于振型的正交性。結構的振型與質量矩陣和剛度矩陣有如下關系:
RayLeigh阻尼系數的確定.pdf
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成功案例丨汽車塑料尾門模態分析優化及對標11個月前
其總成裝配如圖1所示：
圖1 塑料尾門總成圖
三、模態分析
3.1 模態理論
模態計算為自由振動，因此模態計算的有限元控制方程：
式中：[M]-總體質量矩陣，[C]-總體阻尼矩陣，[K]-總體剛度矩陣，在實際的工程應用中，大部分的結構阻尼較小，因此可以忽略上式中的阻尼矩陣（阻尼比超過0.2的結構，必須考慮），則上式可以變為
</p><p>如某線性系統屬于有阻尼的、自由度為N維，那么在物理坐標系下的 微分運動方程可以表示成：</p><p><br></p><p>式中：是方程的質量矩陣；</p><p>為方程中各點的位移響應向量；</p><p>為方程中的阻尼矩陣；</p><p>為方程中各點的速度響應向量；</p><p>為方程中的剛度矩陣；</p><p>多數情況下剛度矩陣和質量矩陣屬于實數對稱矩陣，而阻尼矩陣不是實數對稱矩陣，因此方程屬于耦合方程
，而阻尼矩陣不是實數對稱矩陣，因此方程屬于耦合方程。
根據達朗貝爾（D’Alembert）原理，對一個具有 N 個自由度的線性振動系統，其運動微分方程為：
(3-1)
式中， 為質量矩陣， 為阻尼矩陣，為剛度矩陣，為作用力向量，為位移向量，為速度向量，為加速度向量，t 為時間。
其中機器人輪系具體接觸參數如下表2-5所示：
履帶銷軸與軸套之間的轉動摩擦系數通過其剛度與阻尼矩陣來實現，其參數如下表2-6所示：
三、試驗工況設計及試驗結果
在完成對機器人虛擬樣機的模型建立之后，將對機器人整體地形適應能力進行動力學仿真分析。
概述：采用UEL接口二次開發實現八節點單元，考慮BBAR修正，避免體積自鎖，對標ABAQUS自帶的C3D8單元，計算的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣均與ABAQUS保持一致。并且采用UMAT子程序進行應力和應變數據的可視化，計算的應力應變數據同樣與ABAQUS保持一致，可視化效果同ABAQUS。
動力隱式計算中，這兩者的輸出較為復雜，需要結合HHT時程積分法進行推導，將剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣依據LFLAGS數組的數值進行組合，RHS同樣需要進行推導計算，并以合適的方法將解相關的狀態量儲存在SVARS中，供后面的增量步調用。
該程序適用于單自由度或多自由度計算分析~
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代碼詳解
步驟一：
構建質量矩陣以及剛度矩陣
步驟二：
構建 阻尼矩陣
如果為單自由度計算，則采用常規計算得到阻尼，若為多自由度計算則采用瑞利阻尼進行計算。
針對電池在擠壓過程中，由于該過程為非線性分析，常用LS-DYNA進行求解，其擠壓過程建立經典動力學方程如式（1）所示：
式中：為仿真分析模型中建立的各個節點的加速度矩陣方程；為模型中建立的各個節點的速度矩陣方程；X為擠壓過程中的各個節點的位移矩陣方程；M為電池單體的質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為電池單體的剛度矩陣方程。
一般情況下，單個多自由度振動機械結構的通用動力學方程為：
式中：M為系統的質量矩陣；C為系統的阻尼矩陣；K為系統的剛度矩陣；u為廣義矩陣坐標矢量；F為作用在系統上的廣義外力。
轉子運動過程中要考慮其陀螺效應和旋轉阻尼，因此轉子系統動力學的方程應為：
式中：G為轉子的陀螺矩陣；S為轉子的阻尼矩陣。
由式(1)、式(2)得到的F均為非對稱矩陣[11,12]。
