概率密度函數
關注創建者：匿名 創建時間：2022-02-14
概率密度函數的視頻教程
abaqus粒子生成器應用案例
abaqus通過編輯inp文件使用particle generater可以實現很多功能，比如噴丸強化和水射流沖擊，本套案例課共包含5節，第一節為固定射流噴丸強化，第二節為移動射流噴丸強化，第三節為旋轉工具噴丸強化，第四節為噴丸切割，第五節為不同概率密度函數講解和應用。
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粒子濾波PF及MATLAB程序詳解視頻和輔助及正則粒子濾波RPF實時跟蹤
第三章 ?粒子濾波理論與方法推理分析 7、PF7_蒙特卡洛模擬算法的概基本思路及優缺點分析（20分鐘） 8、PF8_濾波算法記號及貝葉斯遞推估計方法介紹（38分鐘） 9、PF9_貝葉斯重要性采樣及其目的（20分鐘） 10、PF10_序貫重要性采樣及優缺點和前期思路追蹤（42分鐘） 11、PF11_重要性概率密度函數選擇及其優缺點分析（21分鐘） 12、PF12_重采樣或再采樣的必要性及其流程
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概率密度函數的實例教程
概率密度函數概率分布函數
主要知識點如下：
1.概率密度函數（pdf）累計分布函數的cdf, pdf是cdf的求導
2.連續性隨機變量X的期望
3.隨機變量函數的分布及期望方差等，如Y=g(X) 的期望
4.微分積分公式(包括三角和反三角函數等) 如arcsin x求導為
5.三角函數倍角公式
一、
數學模型
孔銷浮動中，在公差仿真分析中幅值方向我們經常設為相切浮動，角度θ設為0到2Π的均勻分布，那么實際問題轉化為如下數學模型：
已知隨機變量θ的概率密度函數(pdf)為:那么隨機變量Y=R*sinθθ∈【0，2Π】，R=5的分布形式如何呢，其方差是多少呢？
二、分布形狀即概率密度曲線的理論計算
分布形狀與概率密度緊密關聯。
展開 一、數學模型
本案的實際問題轉化為如下數學模型：
已知隨機變量θ的概率密度函數(pdf)為:
隨機變量為均勻分布，其概率密度函數（pdf）為
那么隨機變量Y=R*sinθ的分布統計參數分別是多少呢？
二、均值、方差及標準差的理論計算
數學上本質是兩個隨機變量的積的分布，是一個二維聯合概率分布。
從上一節我們得知R的期望為 5/2，方差為 ，sinθ的期望為0，方差為1/2。
由于R 相互獨立，
因此標準差的理論值為
模擬仿真計算結果為2.044，仿真精度滿足工程需求。
如果問題變為孔銷直徑各有±1的偏差，且假設直徑公差為60水平，且為相切浮動。此問題中R就變為一個正態分布，同樣的方法我們可推導知標準差的理論值為3.539.
三、工程應用的思考
1. 文中的案例簡單 但為我們其它的公差仿真計算提供一個理論校核的借鑒步驟。即建立數學模型，然后運用數學知識求解新的隨機變量的累積分布函數、概率密度函數、期望方差等，然后與計算結果作對比。 利用同樣的方法我們也可以去推導解釋為什么在三維公差仿真分析中當我們用幅度與角度兩個隨機量做位置度模擬時，幅度通常設置為偏度分布。有興趣的可以進行嘗試推導說明。當然了隨著模型的復雜，數學模型的建立很困難，這時候就需要借助專業軟件。大多數數值模擬仿真有一定的使用條件或假設，具備一定的理論知識對辨別計算結果的合理與否有很大的幫助。
2. 在本案例中我們為了模擬銷在孔當中的浮動，假設了浮動副值在R的范圍內均勻分布，以此來模擬銷在孔中位置的均勻性，但真實情況如此嗎？后續我們將討論如何真正的模擬銷在孔中位置的均勻性，以最大可能的接近實際。
展開 Abaqus的粒子生成器可以直接指定生成的粒子尺寸分布服從某一概率密度函數（Probability Density Function，以下簡稱PDF），因此可以解決DEM粒度級配的問題。
生成不同尺寸的粒子
Abaqus支持以下6種PDF：
Uniform/Normal/Log-normal
Piecewise linear/Discrete/Truncated
我們在下面的4個surface上，創建4個Particle generator（PG），每個PG分別引用不同的PDF，每一個面上指定生成2萬個顆粒。
4個粒子生成面
粒子尺寸分布信息
粒子生成器運行結果:
PG1正態分布-粒子半徑云圖
PG2對數正態分布-粒子半徑云圖
PG3均勻分布-粒子半徑云圖
PG4分段線性分布-粒子半徑云圖
從生成結果統計來看，顆粒尺寸分布整體上與指定的概率密度函數符合的很好，不過，對于微小顆粒而言（此問題中半徑小于0.001mm的顆粒），生成還是比較困難的，尤其是顆粒尺寸懸殊較大時。
4個粒子生成器+4種概率密度函數→8萬顆粒子
文末有本文案例模型文件USim-pg_pdf.inp的獲取方式。
近期培訓
DEM專題視頻課程
本視頻課程在技術鄰上線快一個月了，雙11期間6折購買課程的小伙伴們可以直接加我（公眾號菜單欄→USim→聯系我）索取本期文章案例模型文件
USim-pg_pdf.inp。
展開 h.FaceColor = [0 0.5 0.5];
h.EdgeColor = 'r';
9.確定基本概率分布
生成 5,000 個均值為 5、標準差為 2 的正態分布隨機數。在 Normalization 設為 'pdf' 的情況下繪制直方圖可生成概率密度函數的估計值。
x = 2*randn(5000,1) + 5;
histogram(x,'Normalization','pdf')
在本示例中，已知正態分布數據的基本分布。但是，通過將它與已知的概率密度函數進行對比，可以使用 'pdf' 直方圖確定該數據的基礎概率分布。
均值為 μ、標準差為 σ 以及方差為 σ^2
的正態分布的概率密度函數是：
f(x,μ,σ)=1/(σ*sqrt(2π))*exp[?(x?μ)^2/(2*σ^2)].
對于均值為 5、標準差為 2 的正態分布，疊加一個概率密度函數圖。
hold on
y = -5:0.1:15;
mu = 5;
sigma = 2;
f = exp(-(y-mu).^2./(2*sigma^2))./(sigma*sqrt(2*pi));
plot(y,f,'LineWidth',1.5)
10.保存并加載直方圖對象
使用 savefig 函數保存直方圖。
y = histogram(randn(10));
savefig('histogram.fig');
clear all
close all
使用 openfig 重新將直方圖加載到 MATLAB。openfig 也返回圖窗 h 的句柄。
展開 
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概率密度函數的最新內容
如果噪聲用概率密度函數（PSD）來描述，PIN或者APD將采用基于高斯近似的準分析模型來計算噪聲的作用。如果噪聲是與信號混合在一起，那么使用適當的PFD來描述光電子統計時，這個模型可以增加數字化噪聲。電濾波器件的內部庫包括實際的、頻率相關的參數。在這個庫中，用戶可以考慮不同濾波器形式來設計接收器。
在一維中，高斯分布的概率密度函數由下式給出
其中 μ和 σ2分別是分布的平均值和方差。對于多元（假設 d 變量）高斯分布，概率密度函數由下式給出
這是一個μd維向量，表示分布的平均值，是 d X d 協方差矩陣。
3 高斯混合模型
假設有 K 個集群（為簡單起見，這里假設集群的數量是已知的，它是 K）。soμ 和 也是每個 k 的估計值。
例如，輸運概率密度函數(TPDF)方法、代表性交互火焰面(RIF)、火焰面/進度變量(FPV)模型、火焰面生成流形(FGM) 和建表火焰面模型(TFM)。
在這些湍流燃燒模型中，基于火焰面思想的模型具有計算效率高的特點，因此可以使用詳細的化學反應動力學。火焰面方法的基本思想是，多維湍流火焰可以看作是嵌入在湍流流場中的被拉伸的一維層流火焰(稱為火焰面)的集合。
</p><div contenteditable="false" width="100%"><hr>
</div><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p>8.概率密度函數（Probability Density Function），累計密度函數（累計分布函數，<span style
將代表性點下的賦得概率和確定性響應信息代入
Li-Chen 方程
，采用概率密度演化方法數值求解獲得關鍵響應量和隨機源變量的聯合概率密度函數，進而積分獲得關鍵響應量的概率分布。
研究框架的整體分析流程如下圖所示：
數值結果
應力比隨應變的概率密度演化特征：
(a. 概率密度云圖; b. 概率密度曲面; c. 均值和2倍標準差; d.
失效概率的表達式為：
式中：x為變量空間；Pf為失效概率；gj(x)為失效狀態；fx(x)為概率密度函數。
在以上徑向基神經網絡的優化過程中，若設計變量即T1、T2和T3發生不規律的擾動時，確定性優化的結果可能與實際計算的結果相差較大，從而達不到理想的功效。
對于具有不確定性的CAE仿真，其輸入參數（變量）需要以下三個方面的信息：
? 均值（名義值）
? 變化范圍 (容差)
? 概率分布形式（概率密度函數PDF）
圖1 CAE隨機仿真
輸出是響應
隨機方法，如隨機場方法、傳輸概率密度函數方法或線性渦流模型，可用于包括湍流-化學相互作用。也有自適應方法，在空間領域的不同區域采用不同的化學模型和/或不同的湍流化學模型。在模擬過程中，可以使用人工神經網絡(ANN)、原位自適應制表(ISAT)等方法在線存儲和訪問化學計算結果。此外，可以采用將化學規模減少到數百或數十個反應和數十或個位數的物種(分別為骨架和還原機制)的方法。
對于具有不確定性的CAE仿真，其輸入參數（變量）需要以下三個方面的信息：
均值（名義值）
變化范圍（容差）
概率分布形式（概率密度函數PDF）
輸出是響應（計算結果）的分布規律以及響應和輸入變量之間的關聯關系。
高保真、高效燃燒數值仿真技術的需求，對燃燒室內強旋流、三維、非定常兩相多物理場耦合的物理過程建模和數值方法提出了新的挑戰，主要表現為以下幾個方面：(1)針對先進發動機寬壓力、強湍流的燃燒模擬，基于概率密度函數燃燒模型的高效、通用的自適應湍流燃燒模型是當前國際上一個研究的熱點；(2)由于大渦模擬介于雷諾平均和直接數值模擬之間，能夠對燃燒場中大尺度流動結構進行準確求解，是精度較高、又經濟可行的一種湍流燃燒模擬方法
