概率密度函數的案例
概率密度函數概率分布函數
概率密度函數概率分布函數
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主要知識點如下：
1.概率密度函數（pdf）累計分布函數的cdf, pdf是cdf的求導
2.連續性隨機變量X的期望
3.隨機變量函數的分布及期望方差等，如Y=g(X) 的期望
4.微分積分公式(包括三角和反三角函數等) 如arcsin x求導為
5.三角函數倍角公式
一、
數學模型
孔銷浮動中，在公差仿真分析中幅值方向我們經常設為相切浮動，角度θ設為0到2Π的均勻分布，那么實際問題轉化為如下數學模型：
已知隨機變量θ的概率密度函數(pdf)為:那么隨機變量Y=R*sinθθ∈【0，2Π】，R=5的分布形式如何呢，其方差是多少呢？
二、分布形狀即概率密度曲線的理論計算
分布形狀與概率密度緊密關聯。
展開 DTAS邀您探索單孔銷浮動之奧秘（二），快來圍觀吧！
一、數學模型
本案的實際問題轉化為如下數學模型：
已知隨機變量θ的概率密度函數(pdf)為:
隨機變量為均勻分布，其概率密度函數（pdf）為
那么隨機變量Y=R*sinθ的分布統計參數分別是多少呢？
二、均值、方差及標準差的理論計算
數學上本質是兩個隨機變量的積的分布，是一個二維聯合概率分布。
從上一節我們得知R的期望為 5/2，方差為 ，sinθ的期望為0，方差為1/2。
由于R 相互獨立，
因此標準差的理論值為
模擬仿真計算結果為2.044，仿真精度滿足工程需求。
如果問題變為孔銷直徑各有±1的偏差，且假設直徑公差為60水平，且為相切浮動。此問題中R就變為一個正態分布，同樣的方法我們可推導知標準差的理論值為3.539.
三、工程應用的思考
1. 文中的案例簡單 但為我們其它的公差仿真計算提供一個理論校核的借鑒步驟。即建立數學模型，然后運用數學知識求解新的隨機變量的累積分布函數、概率密度函數、期望方差等，然后與計算結果作對比。 利用同樣的方法我們也可以去推導解釋為什么在三維公差仿真分析中當我們用幅度與角度兩個隨機量做位置度模擬時，幅度通常設置為偏度分布。有興趣的可以進行嘗試推導說明。當然了隨著模型的復雜，數學模型的建立很困難，這時候就需要借助專業軟件。大多數數值模擬仿真有一定的使用條件或假設，具備一定的理論知識對辨別計算結果的合理與否有很大的幫助。
2. 在本案例中我們為了模擬銷在孔當中的浮動，假設了浮動副值在R的范圍內均勻分布，以此來模擬銷在孔中位置的均勻性，但真實情況如此嗎？后續我們將討論如何真正的模擬銷在孔中位置的均勻性，以最大可能的接近實際。
展開 Abaqus DEM進階技術，指定顆粒級配
Abaqus的粒子生成器可以直接指定生成的粒子尺寸分布服從某一概率密度函數（Probability Density Function，以下簡稱PDF），因此可以解決DEM粒度級配的問題。
生成不同尺寸的粒子
Abaqus支持以下6種PDF：
Uniform/Normal/Log-normal
Piecewise linear/Discrete/Truncated
我們在下面的4個surface上，創建4個Particle generator（PG），每個PG分別引用不同的PDF，每一個面上指定生成2萬個顆粒。
4個粒子生成面
粒子尺寸分布信息
粒子生成器運行結果:
PG1正態分布-粒子半徑云圖
PG2對數正態分布-粒子半徑云圖
PG3均勻分布-粒子半徑云圖
PG4分段線性分布-粒子半徑云圖
從生成結果統計來看，顆粒尺寸分布整體上與指定的概率密度函數符合的很好，不過，對于微小顆粒而言（此問題中半徑小于0.001mm的顆粒），生成還是比較困難的，尤其是顆粒尺寸懸殊較大時。
4個粒子生成器+4種概率密度函數→8萬顆粒子
文末有本文案例模型文件USim-pg_pdf.inp的獲取方式。
近期培訓
DEM專題視頻課程
本視頻課程在技術鄰上線快一個月了，雙11期間6折購買課程的小伙伴們可以直接加我（公眾號菜單欄→USim→聯系我）索取本期文章案例模型文件
USim-pg_pdf.inp。
展開 
MATLAB直方圖函數-histogram
h.FaceColor = [0 0.5 0.5];
h.EdgeColor = 'r';
9.確定基本概率分布
生成 5,000 個均值為 5、標準差為 2 的正態分布隨機數。在 Normalization 設為 'pdf' 的情況下繪制直方圖可生成概率密度函數的估計值。
x = 2*randn(5000,1) + 5;
histogram(x,'Normalization','pdf')
在本示例中，已知正態分布數據的基本分布。但是，通過將它與已知的概率密度函數進行對比，可以使用 'pdf' 直方圖確定該數據的基礎概率分布。
均值為 μ、標準差為 σ 以及方差為 σ^2
的正態分布的概率密度函數是：
f(x,μ,σ)=1/(σ*sqrt(2π))*exp[?(x?μ)^2/(2*σ^2)].
對于均值為 5、標準差為 2 的正態分布，疊加一個概率密度函數圖。
hold on
y = -5:0.1:15;
mu = 5;
sigma = 2;
f = exp(-(y-mu).^2./(2*sigma^2))./(sigma*sqrt(2*pi));
plot(y,f,'LineWidth',1.5)
10.保存并加載直方圖對象
使用 savefig 函數保存直方圖。
y = histogram(randn(10));
savefig('histogram.fig');
clear all
close all
使用 openfig 重新將直方圖加載到 MATLAB。openfig 也返回圖窗 h 的句柄。
展開 聯合ABAQUS與Fe-safe的隨機振動疲勞分析（隨機疲勞理論及有限元軟件操作講解） ￥25
2.4 隨機振動疲勞壽命計算
振動耐久理論研究興起于20世紀80年代末，很多學者專家為此做了很多研究，因此振動疲勞壽命的計算方法也比較多，其中Dirlik算法具有廣泛的應用范圍，且計算結果與試驗結果最接近，成為基于功率譜密度計算疲勞失效的首選算法，已被大多數商用疲勞分析軟件采用。
2.4.1 Dirlik 雨流幅值分布模型
Dirlik通過Monte Carlo技術時域模擬，研究并總結出用1個經驗表達式去估計雨流循環幅值的概率密度函數，即應力幅值概率密度函數P(S)的經驗表達式為
m 0，m1，m2，m4 分別為功率譜密度函數的0，1，2，4階慣性矩；
γ 為不規則因子。
2.4.2 累積損傷理論與疲勞壽命計算
根據Miner線性累積損傷理論，結構的材料疲勞損傷為
式中，ni表示應力水平Si下實際應力循環次數，Ni表示應力水平為Si時的結構疲勞壽命。
對于連續狀態，在時間T內和應力范圍（Si，Si+ΔSi）內的應力循環次數為
按照Miner線性累積損傷理論，當損傷值D=1時，結構發生破壞，此時疲勞壽命為
因此，只有計算出應力幅值概率密度函數P(S)，即可預測出結構的隨機振動疲勞壽命。
3. 隨機振動疲勞分析流程
針對結構的隨機振動疲勞的仿真，這里采用ABAQUS與Fe-safe聯合仿真，仿真流程如下圖所示：
圖3 隨機振動疲勞仿真流程
4.
展開 [重要]巖石邊坡工程課程---楔形滑動(Wedge Sliding)分析(C8)
5 隨機生成節理方法
SWedge提供了兩種生成節理的方法: 第一種方法基于節理的傾角和傾向Dip/Dip Direction; 第二種方法基于概率密度函數 Fisher Distribution.
5.1 Dip/Dip Direction
如果實際節理產狀的分布是不對稱的(在立體網上呈橢圓分布）, 那么使用這種方法. 這種方法把傾角和傾向作為一個獨立的隨機變量處理, 各自賦予一個統計分布，在統計抽樣過程中，Dip和Dip Direction的生成值之間不存在相關性。下圖是10,000個樣本使用正態分布,標準差10度產生的節理極點圖. 從圖中可以看出, 極點的分布是不對稱的橢圓形。
當定義一個隨機變量(傾角或傾向)時, 可以使用下面的統計分布:
正態分布 (Normal)
均勻分布(Uniform)
三角形分布(Triangular)
Beta分布(Beta)
指數分布(Exponential)
對數正態分布(Lognormal)
伽馬分布(Gamma)
Fisher分布(Fisher)
統計分布的類型與分布參數（平均值、標準差、最小值和最大值）一起定義了隨機變量的概率密度函數。概率密度函數描述了一個隨機變量對該變量的一組假設的、無限的觀測值可能假定的數值的分布。在大多數情況下，可用的數據非常有限，無法決定使用什么統計分布和標準差。因此，當定義一個隨機變量的概率密度函數時，工程師必須經常依靠 "最佳估計"。
盡管有多種分布函數可以選擇, 但是正態分布是巖土工程統計分析中最常使用的分布方法。因此當不知道一個變量的真實分布時，通常假設為正態分布。
展開 AI高斯混合模型 ￥4.99
AI 中的概率模型處理不確定性
人工智能 （AI） 中的學習是指系統通過經驗、數據或與環境的交互隨著時間的推移提高其任務性能的過程。
5. AI 中的概率模型處理不確定性，進行預測，并對復雜系統進行建模，其中不確定性和可變性起著至關重要的作用。這些模型有助于推理、決策和從數據中學習。
假設有一組數據點需要根據它們的相似性分為幾個部分或集群。在機器學習中，這稱為聚類。有幾種方法可用于聚類：
? K 表示聚類
? 分層聚類
? 高斯混合模型
在本文中，將討論高斯混合模型。
2 正態分布或高斯分布
在現實生活中，許多數據集可以通過高斯分布（單變量或多變量）進行建模。因此，假設這些集群來自不同的高斯分布是非常自然和直觀的。或者換句話說，它試圖將數據集建模為多個高斯分布的混合。這就是這個模型的核心思想。
在一維中，高斯分布的概率密度函數由下式給出
其中 μ和 σ2分別是分布的平均值和方差。對于多元（假設 d 變量）高斯分布，概率密度函數由下式給出
這是一個μd維向量，表示分布的平均值，是 d X d 協方差矩陣。
3 高斯混合模型
假設有 K 個集群（為簡單起見，這里假設集群的數量是已知的，它是 K）。soμ 和 也是每個 k 的估計值。如果只有一個分布，它們就會用最大似然法來估計。但是由于有 K 個這樣的集群，并且概率密度被定義為所有這些 K 分布的密度的線性函數，即
其中 πk是 k的混合系數th分配。為了通過最大對數似然法估計參數，請計算 p(X∣μ,Σ,π)。
現在定義一個隨機變量 γk(X)，使得γk(X)=ρ(k∣X)。
從貝葉斯定理
要使對數似然函數最大，它關于 μ、Σ和 π的導數 p(X∣μ,Σ,π)應為零。
展開 基于隨機振動理論的抗震分析方法研究進展
虛擬激勵法的提出，從根本上克服了經典隨機振動理論在線性分析范圍內求解多自由度體系的困難，其高效、精確的特點已越來越顯示出來，而概率密度演化方法在一般多自由度結構的非線性隨機振動分析中具有獨特性，可獲得結構響應的概率密度函數及其隨時間的演化過程，為工程結構的精細化抗震設計與控制奠定了基礎。高速鐵路橋梁與普通橋梁不一樣，由于要滿足高速列車行車的平順性和乘客的舒適性，所以高速鐵路橋梁對主梁的剛度有更高的要求，同時，西部山區的鐵路橋梁60%都屬于高墩橋梁，這些橋梁已經超出了規范的范圍，需要對它們進行詳細抗震分析，所以這里采用先進的隨機振動方法是必要的。
FLUENT反應流與燃燒模擬高級培訓！！！
培訓大綱：
第一章 FLUENT燃燒模擬簡介
1.1 燃燒模擬的應用
1.2 軟件功能概述
1.3 計算網格
1.4 反應動力學、湍流與化學反應之間的相互作用
1.5 量綱分析
第二章 FLUENT燃燒模型之一
2.1 渦耗散模型
2.2 非預混模型
第三章 FLUENT燃燒模型之二
3.1 火焰面模型
3.2 預混燃燒模型
3.3 部分預混燃燒模型
第四章 FLUENT詳細化學反應和表面反應
4.1 層流有限率模型
4.2 ISAT理論
4.3 EDC模型
4.4 概率密度函數輸運模型
4.5 表面反應模型
4.6 動力學模型
4.7 相關算例介紹
第五章 FLUENT離散相（DPM）反應和噴霧模型
5.1 離散相模型
5.2 噴霧模型
5.3 二次霧化，焦炭反應和噴霧
第六章 FLUENT輻射模型
6.1 DTRM模型
6.2 P1模型
6.3 Rosseland模型
6.4 DO模型
6.5 S2S模型
6.6 日光輻射模型
第七章 FLUENT污染物模型
7.1 NOx模擬
7.2 SOx模擬
7.2 Soot模擬
第八章 FLUENT燃燒模擬技巧
第九章 FLUENT燃燒模擬算例
9.1 煤粉旋流燃燒
9.2 GE LM-1600燃氣渦輪燃燒室
9.3 使用EDC模型考慮詳細化學反應機理模擬氣體燃燒
9.4 使用概率密度函數輸運模型考慮詳細化學反應機理模擬氣體燃燒
9.5 使用zimont完全預混模型模擬燃燒
9.6 液滴燃燒的模擬
9.7 穩態和非穩態火焰面模型模擬燃燒與化學反應流
9.8 利用有限反應速率模型自定義反應過程參數模擬燃燒與化學反應流
9.9 焦炭多步反應過程模擬
9.10 SNCR模型模擬脫硝
9.11 表面多步反應模擬（表面催化反應模擬）
9.12 富氧燃燒爐反應模擬
9.13 氣化爐反應模擬
答疑
展開 干【】貨】CPK、Sigma和PPM的換算關系
過程能力指數Cp或Cpk在產品或制程特性分布為正態且在穩定狀態下時，通過正態分布的概率計算，可以換算為該產品或制程特性的良率或不良率，同時也可以幾個Sigma來對照。
CPK是過程能力，西格瑪水平是管理水平，PPM是管理結果。下文將以產品或制程特性中心沒偏移目標值和中心偏移目標值1.5σ說明。
我們從正態分布講起。
若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ2的正態分布，記為N(μ，σ2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。當μ = 0，σ = 1時的正態分布是標準正態分布。
若隨機變量X，服從一個位置參數為μ、尺度參數為σ的概率分布，其概率密度函數為：
當 μ=0， σ=1時，正態分布就成為標準正態分布。
我們對其積分，也就是求面積，所得值為1。（每個質量人追求的100.00%合格）
接下來，我們談一下什么是西格瑪水平。
西格瑪水平Sigma Level：過程能力的一種衡量指標，將過程分布的平均值、標準偏差與質量特性的目標值、規格線結合起來。西格瑪水平越高，過程滿足質量要求的能力就越強，反之，西格瑪水平越低，過程滿足質量要求的能力就越低。
我們可以簡單的理解為規格線與目標值間的距離最少能容納k個標準偏差σ，當k = 3時，我們稱之為3西格瑪水平，上下規格極限之差為6σ。
接下來，我們討論Cpk和西格瑪水平之間的關系。
展開 
隨機振動的一些概念
各態歷經平穩隨機過程： 對于一個平穩隨機過程，經歷各種狀態統計平均值等于時間平均值，統計自相關函數等于時間自相關函數（數學期望和相關函數的各態歷經性。）
平穩：樣本概率分布與時間無關（與時間間隔有關），即主要針對概率分布而言，并非樣本本身。平穩隨機過程滿足一定條件才會各態歷經，各態歷經一定平穩；
隨機信號強度用均方值描述：隨機變量X(t)的平方的均值，記為，在工程上表示信號的平均功率，其平方根稱有效值。信號的平均功率 = 信號交流分量功率 + 信號直流分量功率。
工程上常把數據信號看成不隨時間變化的靜態分量(即直流分量) 和隨時間變化的動態分量之和。
靜態分量用均值表述。用E(x)表示。高斯白噪聲信號均值為0，只有交流分量。
動態分量部分用方差表述。方差是x（t）偏離均值的平方的均值，它反映離開均值的波動情況，交流信號的平均功率。
有時候分母也換成n-1,這取決于數據是樣本數據還是整體數據。
概率密度函數、概率分布函數、自相關函數、相關系數后續再寫。
展開 基于nCodeDesignlife的電池箱疲勞壽命研究
摘要：針對電池箱對振動疲勞耐久性能的要求，結合國標中隨機振動的加速度功率譜密度函數和材料的S-N曲線，采用Miner線性累積損傷理論和Dirlik疲勞壽命計算方法，對電池箱進行隨機振動條件下的疲勞壽命分析。
關鍵詞：電池箱；疲勞壽命;隨機振動；nCodeDesignlife
路面不平度產生的隨機振動是造成電動汽車零部件發生疲勞破壞的主要因素[1]。電池箱對電池組起防護和保障安全的作用，其疲勞耐久性能對于保障車輛及乘員安全至關重要。
電池箱的疲勞壽命分析主要有時域和頻域方法。時域法采用經典的雨流循環計數統計載荷信息，容易丟失載荷數據，計算量大，工程應用不是很廣泛;頻域法從概率統計的角度統計載荷信息，采用功率譜密度（PSD）描述隨機振動載荷在各個頻率成分上的統計特性[2]，廣泛應用于航天、海工、汽車等領域。目前電池箱的疲勞壽命研究[3-5]大多致力于時域振動和定頻振動，隨機振動的疲勞壽命研究較少。本文基于頻率響應分析研究電池箱隨機振動的疲勞壽命，為電池箱的疲勞壽命分析提供一種高效的方法。
1 隨機振動疲勞壽命分析方法
本文參照電池箱振動測試的國標選取加速度功率譜密度，避免建立整車模型和提取加速度載荷譜的復雜過程。
1.1 加速度功率譜密度
隨機振動無法用確定的函數關系式表示，只能通過概率統計的方法表示。在頻域內，采用功率譜密度函數表示隨機振動在各個頻率的統計特性[6]。功率譜密度函數Sx(ω)為自相關函數R(τ)的傅里葉變換公式為：
GB/T 31467.3-2015[7]中規定電池箱隨機振動的加速度功率譜密度如圖1所示。
圖1 加速度功率譜密度
1.2 疲勞壽命計算方法
Dirlik計算方法是疲勞仿真軟件nCodeDesignlife所采用的方法。
展開 基于 ANSYS 的壓力容器可靠性分析
從這一點來看，可靠性壓力容器設計中安全系數可以通過 ANSYS 有限元軟件中的函數在計算機中進行直觀化的展現，可以更為真實地反映出壓力容器的最真實狀態。
第二，壓力容器可靠性設計中對于強度的考慮隨時間的增長而減弱，導致可靠性的表達具有時間的限制。因此我們完全可以依據可靠性的設計來預測壓力容器的使用壽命。具體來講，壓力容器在經過了多少小時后，其失效的概率是多少。
第三，壓力容器的可靠性設計與其周圍的環境條件具有非常大的關系。比如環境介質、溫度的變化、沖擊振動等因素都對于壓力容器的可靠性設計起著非常重要的影響。其中對于分析壓力容器的可靠性，往往可以通過對其應力值與強度值之間的關系進行分析與實現。比如：其強度值大于應力值，表示該壓力容器具有可靠性的特點，它是在進行正常的工作。
而強度值與應力值都是連續變化的變量，我們可以通過有關的分析將其繪制在同一坐標中進行分析。而它們主要呈現出三種情況。第一，強度值與應力值概率密度函數曲線不重疊、所有的強度值都大于最大的應力值。第二，強度值概率在坐標軸中左移、強度值與應力值概率曲線有一部分發生了重疊，導致一部分的強度值小于應力值中的較高取值。第三，強度值概率在坐標軸中與以往比較繼續左移，使得強度值與應力值的坐標曲線完全不重疊，導致所有的應力分布值都大于最大的強度值。對于以上的理論進行仔細的研究，有利于我們依據這些理論建立起有效基于 ANSYS的壓力容器可靠性分析的模型，并且對于模型中的數據與信息進行驗證和求解。
2 模型的建立
ANSYS 作為一種大型通用的有限元分析軟件需要與現代的網絡計算機技術進行融合性的應用。因此，我們對于基于 ANSYS 的壓力容器可靠性進行分析，就可以采用構建出網絡模型的方式來進行。比如：我們構建出一個帶接管的內壓容器對其進行有效的分析，如圖1。
展開 fluent入門一般問題（三）
這些就可以通過patch來實現，patch可以對流場分區進行初始化，還可以通過編寫簡單的函數來對特定區域初始化。
以上是我對這個問題的理解，歡迎大家批評指正。
27 什么叫PDF方法？FLUENT中模擬煤粉燃燒的方法有哪些？
概率密度函數輸運輸運方程方法(PDF方法)是近年來逐步建立起來的描述湍流兩相流動的新模型方法。所謂的概率密度函數(Probability Density Function,簡稱PDF)方法是基于湍流場隨機性和概率統計描述，將流場的速度、溫度和組分濃度等特征量作為隨機變量，研究其概率密度函數在相空間的傳遞行為的研究方法。PDF模型介于統觀模擬和細觀模擬之間，是從隨機運動的分子動力論和兩相湍流的基本守恒定律出發，探討兩相湍流的規律，因此可作為發展雙流體模型框架內兩相湍流模型的理論基礎。它實質上是溝通E-L模型和E-E模型的橋梁，可以用顆粒運動的拉氏分析通過統計理論，即PDF方程的積分建立封閉的E-E兩相湍流模型。
非預混湍流燃燒過程的正確模擬要求同時模擬混合和化學反應過程。FLUENT 提供了四種反應模擬方法：即有限率反應法、混合分數PDF 法、不平衡（火焰微元）法和預混燃燒法。火焰微元法是混合分數PDF 方法的一種特例。該方法是基于不平衡反應的，混合分數PDF 法不能模擬的不平衡現象如火焰的懸舉和熄滅，NOx 的形成等都可用該方法模擬。但由于該方法還未完善，在FLUENT 只能適用于絕熱模型。
對許多燃燒系統，輻射式主要的能量傳輸方式，因此在模擬燃燒系統時，對輻射能量的傳輸的模擬也是非常重要的。在FLUENT 中，對于模擬該過程的模型也是非常全面的。包括DTRM、P-1、Rosseland、DO 輻射模型，還有用WSGG 模型來模擬吸收系數。
在查資料時看到的，可能回答不詳細！
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