有限元法的計(jì)算步驟可歸納為網(wǎng)格劃分、單元分析、整體分析。

有限元法的基本做法是用有限個(gè)單元體的集合來代替原有的連續(xù)體。因此首先要對(duì)彈性體進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，再將彈性體劃分為有限個(gè)單元組成的離散體。單元之間通過節(jié)點(diǎn)相連接。由單元、節(jié)點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)連線構(gòu)成的集合稱為網(wǎng)格。

通常把三維實(shí)體劃分成四面體或六面體單元的實(shí)體網(wǎng)格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的面網(wǎng)格，如圖1至圖3所示。

圖1  四面體四節(jié)點(diǎn)單元

圖2  六面體八節(jié)點(diǎn)單元

圖3  四邊形四節(jié)點(diǎn)單元

對(duì)于彈性力學(xué)問題，單元分析就是建立各個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系式。由于將單元的節(jié)點(diǎn)位移作為基本變量，進(jìn)行單元分析時(shí)首先要為單元內(nèi)部的位移確定一個(gè)

近似表達(dá)式，然后計(jì)算單元的應(yīng)變、應(yīng)力，再建立單元中節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。

以平面問題的三角形三節(jié)點(diǎn)單元為例，如圖4所示。單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)I、J、M,每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移u、v和兩個(gè)節(jié)點(diǎn)力U、V。

圖4  三角形三節(jié)點(diǎn)單元

單元所有節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力可以表示為節(jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量(vector)：

單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系用張量(tensor)來表示：

對(duì)由各個(gè)單元組成的整體進(jìn)行分析，建立節(jié)點(diǎn)外載荷與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，以解出節(jié)點(diǎn)位移，這個(gè)過程稱為整體分析。同樣以彈性力學(xué)的平面問題為例，如圖5所示，在邊界節(jié)點(diǎn)i上受到集中力Pⁱ_x、Pⁱ_y,作用。節(jié)點(diǎn)i是三個(gè)單元的結(jié)合點(diǎn)，因此要把這三個(gè)單元在同一節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力匯集在一起建立平衡方程。

圖5  整體分析

i節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力：

i節(jié)點(diǎn)的平衡方程：