凸優化
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-04
凸優化的視頻教程
基于OptiSturct的線性靜力學分析和尺寸優化
基于OptiStruct的凸輪軸尺寸優化 本課程適用于零基礎或者有點基礎的人員，主要是對凸輪軸進行尺寸優化，通過本視頻的講解，可以掌握線性多載荷、多工況靜力學分析，尺寸優化分析。 第0章 引言 開場白介紹，主要是講解一下本視頻學習的好處。
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凸優化的實例教程
在橡膠-金屬組件的開發過程中，利用優化方法結合非線性分析可以在保證產品性能的前提下充分利用材料性能，并減少開發周期。拓撲優化和形狀優化技術現在已經成功地應用在開發過程中的線性問題上，但還很少見到成功用于非線性問題上。
凸輪軸減震器項目結合Tosca和ABAQUS兩個軟件，在非線性分析過程中考慮拓撲優化和非參數形狀優化。在這個例子中，客戶的主要目標是在承受扭轉應力的凸輪軸減震器的橡膠片上個裝配孔，以便于安裝。沒有裝配孔的凸輪軸減震器滿足剛度和壽命要求，現在用其作為參考部件，希望有裝配孔的新部件的剛度和壽命保持和參考部件一致。
利用給定的設計空間，采用拓撲和形狀優化，在一個較短時間內得到了一個優化設計方案，計算表明本方案不僅和參考部件有相同的剛度，且其最大應力和應變都沒有超過參考部件，因此有更高的壽命。在拓撲優化和形狀優化中可以考慮材料非線性以及幾何非線性，可以充分利用材料性能。在優化結束的同時就得到了新部件的設計方案且已經通過壽命檢測試驗。
作為先期研究，凸輪軸減震器的設計被證明是非常成功的，這些方法會在將來的開發過程中得到推廣，也可能成為一種標準設計方法。
用Abaqus和Tosca對凸輪軸減震器進行優化設計.pdf
展開 01/簡介
隨著集成電路制程推進至90nm及以下節點，光學鄰近效應校正（OPC）、光源掩模聯合優化（SMO）等計算光刻技術已成為保障光刻成像精度的核心支撐。其中，壓縮感知（CS）技術憑借稀疏性約束降維的核心優勢，在光源優化（SO）中實現了高效的參數尋優，大幅降低了計算復雜度。
然而，當優化對象轉向掩模時，線性CS理論的局限性愈發凸顯——掩模圖形的像素級調控與光刻成像之間存在顯著的非線性映射關系，這種非線性源于掩模三維衍射、光致抗蝕劑化學反應等多物理效應疊加，導致線性模型難以精準刻畫優化目標與掩模參數的關聯，直接影響OPC的校正精度與SMO的協同優化效能。
為破解這一瓶頸，非線性壓縮感知（NCS）理論應運而生，其通過非線性映射構建信號與觀測的關聯，能夠適配掩模優化場景中的復雜非線性特性。與線性CS相比，非線性CS理論的核心突破在于重構模型對非線性關系的精準表征，而迭代公式則為非凸優化問題提供了高效的求解路徑，二者共同構成了掩模優化場景下計算光刻技術的理論核心。
本文聚焦非線性壓縮感知理論的工程化應用需求，從掩模-成像的非線性機理出發，系統解析非線性CS重構模型的構建邏輯，深入推導關鍵迭代公式的演化過程，為OPC、SMO等技術的精度提升提供理論支撐。
02/仿真非線性CS重構模型
在先進光刻的非線性優化場景中，非線性CS重構算法（IHTs、Newton-IHTs、L-BFGS）是破解復雜運算難題的核心工具——它們既能精準適配非線性光刻的優化需求，更能通過梯度、Hessian矩陣的協同作用加速收斂，在保障優化精度的同時，大幅提升計算效率。
展開 如果 Hessian 矩陣在集合 A 上的所有點都是半正定的，則該函數在集合 A 上是凸的。
Hessian 矩陣用于各種優化計算算法
有效解決工程問題需要優化，而工程中的大多數優化問題都是非凸的。為了解決非凸優化問題，使用 DC 函數。此類非凸問題的優化統稱為DC優化，此類問題的理論稱為DC規劃。
DC 編程中使用的大多數算法都利用 Hessian 矩陣的優勢及其凸性確定功能來迭代到更好的解決方案。在本文中，我們將討論 Hessian 矩陣的基礎知識，這對于使用計算算法優化解決問題非常重要。
海森矩陣
Hessian 矩陣廣泛應用于工程問題的解決。它們用于優化代表系統的功能。Hessian 矩陣是一類處理二階導數的數學結構。考慮一個由 n 個變量組成的函數 f。給出該函數的二階偏導數的矩陣形成給定函數的 Hessian 矩陣。函數f的Hessian矩陣可以用下面的方程表示：
Hessian 矩陣的階數
從上面給出的 Hessian 矩陣可以得出結論，它始終是一個方陣，其維度等于函數變量的數量。對于“n”變量函數，Hessian 矩陣的階數為 n*n。
Hessian 矩陣的對稱性
下面給出了 2 個變量的函數的 Hessian 矩陣。
在上面的 Hessian 矩陣中，您可以看到元素 fxy 重復兩次，分別作為第一行第二個元素和第二行第一個元素。根據Schwarz定理或Clairaut定理，偏微分中微分的階數并不重要，因此即使函數關于x和y以不同的階數微分，元素也是相同的。
條件 Hij=Hji 適用于任意階的所有 Hessian 矩陣，其中 i 和 j 分別表示行號和列號。每當方陣中的元素滿足條件 Hij=Hji 時，它就形成對稱矩陣。
展開 在計算時，我們使用凸優化方法，計算速度快且保證收斂。</p><p><br></p><p>CCD將陣列傳聲器平均分為兩組，從兩個組中提取出具有最大互相干性的信號子空間，這樣非相關氣流噪聲和擾動信號就會被有效去除。CCD使用一個迭代提取算法，每次迭代都會重新分組，計算速度快，且適當調整非主對角線元素以克服DD方法的一些缺陷。CCD方法比DD方法能夠更好地去除CSM主對角線噪聲，并且CCD能夠<strong>自動調整參數</strong>，無需用戶自己設置參數。</p><p><br></p><p class="ql-align-center"><img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/OZOcVSxAOZXPn3LEV8PcXOS9gdqfB6icTX0TbicCcWSdh4ZDRsR2aYmuyiahfMWKiaUfJRmKEibdZNNeAmelIa33VyA/640?wx_fmt=png&from=appmsg"></p><p><br></p><p><strong>測試案例</strong></p><p>使用108通道半輪形陣列，風洞內風速為140km/h。下圖是5-6kHz氣動噪聲源的聲強分布圖，NNLS+DR能夠<strong>有效抑制噪聲</strong>，但是會低估聲源并且移除微弱聲源，例如外后視鏡和前燈的后邊緣的噪聲源幾乎消失了，雖然這些聲源很微弱，但是非常重要。CLEAN-SC+CCD能夠去除絕大部分的噪聲，且保留了幾乎所有的<strong>重要噪聲源</strong>。</p><p><br></p><p>更多信息詳見J?rgen Hald; Denoising of cross-spectral matrices using canonical coherence. J. Acoust. Soc.
展開 我們已經看到凸優化、核方法、支持向量機和Boosting算法等都有各自輝煌的時期。再加上一些人工設計的特征，那在機器學習領域，我們就有了很多的方法，很多不同的思想流派，然而，對于一個新人來說，對特征和算法的選擇依然一頭霧水，沒有清晰的指導原則。但，值得慶幸的是，這一切即將改變……
3. 深度學習：一統江湖的架構
快進到今天，我們看到的是一個奪人眼球的技術—深度學習。而在深度學習的模型中，受寵愛最多的就是被用在大規模圖像識別任務中的卷積神經網絡（Convolutional Neural Nets，CNN），簡稱ConvNets。
圖4 ConvNet框架（圖來源于 Torch的教程 ）
深度學習強調的是你使用的模型（例如深度卷積多層神經網絡），模型中的參數通過從數據中學習獲得。然而，深度學習也帶來了一些其他需要考慮的問題。因為你面對的是一個高維的模型（即龐大的網絡），所以你需要大量的數據（大數據）和強大的運算能力（圖形處理器，GPU）才能優化這個模型。卷積被廣泛用于深度學習（尤其是計算機視覺應用中），而且它的架構往往都是非淺層的。
如果你要學習Deep Learning，那就得先復習下一些線性代數的基本知識，當然了，也得有編程基礎。我強烈推薦Andrej Karpathy的博文：“ 神經網絡的黑客指南 ”。另外，作為學習的開端，可以選擇一個不用卷積操作的應用問題，然后自己實現基于CPU的反向傳播算法。
對于深度學習，還存在很多沒有解決的問題。既沒有完整的關于深度學習有效性的理論，也沒有任何一本能超越機器學習實戰經驗的指南或者書。另外，深度學習不是萬能的，它有足夠的理由能日益流行，但始終無法接管整個世界。不過，只要你不斷增加你的機器學習技能，你的飯碗無憂。但也不要對深度框架過于崇拜，不要害怕對這些框架進行裁剪和調整，以得到和你的學習算法能協同工作的軟件框架。
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與線性CS相比，非線性CS理論的核心突破在于重構模型對非線性關系的精準表征，而迭代公式則為非凸優化問題提供了高效的求解路徑，二者共同構成了掩模優化場景下計算光刻技術的理論核心。
本文聚焦非線性壓縮感知理論的工程化應用需求，從掩模-成像的非線性機理出發，系統解析非線性CS重構模型的構建邏輯，深入推導關鍵迭代公式的演化過程，為OPC、SMO等技術的精度提升提供理論支撐。
在計算時，我們使用凸優化方法，計算速度快且保證收斂。</p><p><br></p><p>CCD將陣列傳聲器平均分為兩組，從兩個組中提取出具有最大互相干性的信號子空間，這樣非相關氣流噪聲和擾動信號就會被有效去除。CCD使用一個迭代提取算法，每次迭代都會重新分組，計算速度快，且適當調整非主對角線元素以克服DD方法的一些缺陷。
Hessian 矩陣用于各種優化計算算法
有效解決工程問題需要優化，而工程中的大多數優化問題都是非凸的。為了解決非凸優化問題，使用 DC 函數。此類非凸問題的優化統稱為DC優化，此類問題的理論稱為DC規劃。
DC 編程中使用的大多數算法都利用 Hessian 矩陣的優勢及其凸性確定功能來迭代到更好的解決方案。
改善局部極值可以
從
兩方面考慮
,
一方面，可以優化拓撲算法
，
尋求更
適
用
于非凸優化問題的
全局優化方
法，
規避一些局部最優解，以輸出
全局最優解
。另一方面，可采用完善迭代初始值與多起點優化加以改進，選取更多組的初始變量，則更有可能找到全局最優解，從而獲得更好的優化效果。
如上公式是一個非線性非凸優化問題，例如，使用原始對偶內點法可以解決該類問題。
從問題的解決方案 (x2:n, v2:n) 中，利用插值可以獲得原始點在 x^t 處可實現的速度。
D. 目標識別
我們假設每個非自車 i 尋求達到有限數量的可能目標之一 Gi ∈ Gi ，使用從我們定義的宏觀行動中構建對應的運動規劃。
這類算法在約束適應性上相比于解析方法具有明顯的優勢，其中基于凸優化的直接法已被應用于火星著陸和Falcon-9火箭的助推器著陸。但是對于存在非凸約束優化問題的在線求解，受限于理論上的收斂性難題尚未實現工程應用。
本文將可到達性分析與凸優化相結合，以確定任意交通場景中動態感知駕駛走廊內的可駕駛危險情況安全軌跡。
王祝等[9]將無人機避障非凸問題轉化成一系列近似凸優化子問題，利用凸優化法進行求解，得到兼具時效性與最優性的解脫路徑。
(2)混合整數線性/非線性規劃(Mixed Integer Linear/Nonlinear Programming, MILP/MINLP)
混合整數線性規劃方法是用整數約束無人機的控制指令(速度、航向)，進而通過線性規劃的方法對最優航路進行計算。
與之相對的是，行為決策層的輸出卻必須是確定性的結果，具體來說，這些輸出通常包括：
綜合決策（主車的綜合決策行為，如換道意圖和借道意圖）
個體決策（主車對單個障礙物做出的決策，如繞行和減速避讓）
用嚴格一些的語言來說，下游運動規劃層需要生成具體的行駛軌跡，在數學上這是一個非凸優化問題，難以直接求解，因此行為決策需要將運動規劃的解空間進行限定
而在如何決定我們應該在哪個凸空間的方案上優化前進，哪個凸空間更有潛力且優化起來更有效率？這就是專家的價值。
