凸優化的案例
用Abaqus和Tosca對凸輪軸減震器進行優化設計
在橡膠-金屬組件的開發過程中，利用優化方法結合非線性分析可以在保證產品性能的前提下充分利用材料性能，并減少開發周期。拓撲優化和形狀優化技術現在已經成功地應用在開發過程中的線性問題上，但還很少見到成功用于非線性問題上。
凸輪軸減震器項目結合Tosca和ABAQUS兩個軟件，在非線性分析過程中考慮拓撲優化和非參數形狀優化。在這個例子中，客戶的主要目標是在承受扭轉應力的凸輪軸減震器的橡膠片上個裝配孔，以便于安裝。沒有裝配孔的凸輪軸減震器滿足剛度和壽命要求，現在用其作為參考部件，希望有裝配孔的新部件的剛度和壽命保持和參考部件一致。
利用給定的設計空間，采用拓撲和形狀優化，在一個較短時間內得到了一個優化設計方案，計算表明本方案不僅和參考部件有相同的剛度，且其最大應力和應變都沒有超過參考部件，因此有更高的壽命。在拓撲優化和形狀優化中可以考慮材料非線性以及幾何非線性，可以充分利用材料性能。在優化結束的同時就得到了新部件的設計方案且已經通過壽命檢測試驗。
作為先期研究，凸輪軸減震器的設計被證明是非常成功的，這些方法會在將來的開發過程中得到推廣，也可能成為一種標準設計方法。
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展開 光刻技術第18期 | 非線性壓縮感知理論
01/簡介
隨著集成電路制程推進至90nm及以下節點，光學鄰近效應校正（OPC）、光源掩模聯合優化（SMO）等計算光刻技術已成為保障光刻成像精度的核心支撐。其中，壓縮感知（CS）技術憑借稀疏性約束降維的核心優勢，在光源優化（SO）中實現了高效的參數尋優，大幅降低了計算復雜度。
然而，當優化對象轉向掩模時，線性CS理論的局限性愈發凸顯——掩模圖形的像素級調控與光刻成像之間存在顯著的非線性映射關系，這種非線性源于掩模三維衍射、光致抗蝕劑化學反應等多物理效應疊加，導致線性模型難以精準刻畫優化目標與掩模參數的關聯，直接影響OPC的校正精度與SMO的協同優化效能。
為破解這一瓶頸，非線性壓縮感知（NCS）理論應運而生，其通過非線性映射構建信號與觀測的關聯，能夠適配掩模優化場景中的復雜非線性特性。與線性CS相比，非線性CS理論的核心突破在于重構模型對非線性關系的精準表征，而迭代公式則為非凸優化問題提供了高效的求解路徑，二者共同構成了掩模優化場景下計算光刻技術的理論核心。
本文聚焦非線性壓縮感知理論的工程化應用需求，從掩模-成像的非線性機理出發，系統解析非線性CS重構模型的構建邏輯，深入推導關鍵迭代公式的演化過程，為OPC、SMO等技術的精度提升提供理論支撐。
02/仿真非線性CS重構模型
在先進光刻的非線性優化場景中，非線性CS重構算法（IHTs、Newton-IHTs、L-BFGS）是破解復雜運算難題的核心工具——它們既能精準適配非線性光刻的優化需求，更能通過梯度、Hessian矩陣的協同作用加速收斂，在保障優化精度的同時，大幅提升計算效率。
展開 關于 Hessian 矩陣、凸性和優化
如果 Hessian 矩陣在集合 A 上的所有點都是半正定的，則該函數在集合 A 上是凸的。
Hessian 矩陣用于各種優化計算算法
有效解決工程問題需要優化，而工程中的大多數優化問題都是非凸的。為了解決非凸優化問題，使用 DC 函數。此類非凸問題的優化統稱為DC優化，此類問題的理論稱為DC規劃。
DC 編程中使用的大多數算法都利用 Hessian 矩陣的優勢及其凸性確定功能來迭代到更好的解決方案。在本文中，我們將討論 Hessian 矩陣的基礎知識，這對于使用計算算法優化解決問題非常重要。
海森矩陣
Hessian 矩陣廣泛應用于工程問題的解決。它們用于優化代表系統的功能。Hessian 矩陣是一類處理二階導數的數學結構。考慮一個由 n 個變量組成的函數 f。給出該函數的二階偏導數的矩陣形成給定函數的 Hessian 矩陣。函數f的Hessian矩陣可以用下面的方程表示：
Hessian 矩陣的階數
從上面給出的 Hessian 矩陣可以得出結論，它始終是一個方陣，其維度等于函數變量的數量。對于“n”變量函數，Hessian 矩陣的階數為 n*n。
Hessian 矩陣的對稱性
下面給出了 2 個變量的函數的 Hessian 矩陣。
在上面的 Hessian 矩陣中，您可以看到元素 fxy 重復兩次，分別作為第一行第二個元素和第二行第一個元素。根據Schwarz定理或Clairaut定理，偏微分中微分的階數并不重要，因此即使函數關于x和y以不同的階數微分，元素也是相同的。
條件 Hij=Hji 適用于任意階的所有 Hessian 矩陣，其中 i 和 j 分別表示行號和列號。每當方陣中的元素滿足條件 Hij=Hji 時，它就形成對稱矩陣。
展開 技術評論 | 風洞內傳聲器陣列互譜矩陣的去噪
在計算時，我們使用凸優化方法，計算速度快且保證收斂。</p><p><br></p><p>CCD將陣列傳聲器平均分為兩組，從兩個組中提取出具有最大互相干性的信號子空間，這樣非相關氣流噪聲和擾動信號就會被有效去除。CCD使用一個迭代提取算法，每次迭代都會重新分組，計算速度快，且適當調整非主對角線元素以克服DD方法的一些缺陷。CCD方法比DD方法能夠更好地去除CSM主對角線噪聲，并且CCD能夠<strong>自動調整參數</strong>，無需用戶自己設置參數。</p><p><br></p><p class="ql-align-center"><img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/OZOcVSxAOZXPn3LEV8PcXOS9gdqfB6icTX0TbicCcWSdh4ZDRsR2aYmuyiahfMWKiaUfJRmKEibdZNNeAmelIa33VyA/640?wx_fmt=png&from=appmsg"></p><p><br></p><p><strong>測試案例</strong></p><p>使用108通道半輪形陣列，風洞內風速為140km/h。下圖是5-6kHz氣動噪聲源的聲強分布圖，NNLS+DR能夠<strong>有效抑制噪聲</strong>，但是會低估聲源并且移除微弱聲源，例如外后視鏡和前燈的后邊緣的噪聲源幾乎消失了，雖然這些聲源很微弱，但是非常重要。CLEAN-SC+CCD能夠去除絕大部分的噪聲，且保留了幾乎所有的<strong>重要噪聲源</strong>。</p><p><br></p><p>更多信息詳見J?rgen Hald; Denoising of cross-spectral matrices using canonical coherence. J. Acoust. Soc.
展開 
三個相關概念：深度學習Vs機器學習Vs模式識別
我們已經看到凸優化、核方法、支持向量機和Boosting算法等都有各自輝煌的時期。再加上一些人工設計的特征，那在機器學習領域，我們就有了很多的方法，很多不同的思想流派，然而，對于一個新人來說，對特征和算法的選擇依然一頭霧水，沒有清晰的指導原則。但，值得慶幸的是，這一切即將改變……
3. 深度學習：一統江湖的架構
快進到今天，我們看到的是一個奪人眼球的技術—深度學習。而在深度學習的模型中，受寵愛最多的就是被用在大規模圖像識別任務中的卷積神經網絡（Convolutional Neural Nets，CNN），簡稱ConvNets。
圖4 ConvNet框架（圖來源于 Torch的教程 ）
深度學習強調的是你使用的模型（例如深度卷積多層神經網絡），模型中的參數通過從數據中學習獲得。然而，深度學習也帶來了一些其他需要考慮的問題。因為你面對的是一個高維的模型（即龐大的網絡），所以你需要大量的數據（大數據）和強大的運算能力（圖形處理器，GPU）才能優化這個模型。卷積被廣泛用于深度學習（尤其是計算機視覺應用中），而且它的架構往往都是非淺層的。
如果你要學習Deep Learning，那就得先復習下一些線性代數的基本知識，當然了，也得有編程基礎。我強烈推薦Andrej Karpathy的博文：“ 神經網絡的黑客指南 ”。另外，作為學習的開端，可以選擇一個不用卷積操作的應用問題，然后自己實現基于CPU的反向傳播算法。
對于深度學習，還存在很多沒有解決的問題。既沒有完整的關于深度學習有效性的理論，也沒有任何一本能超越機器學習實戰經驗的指南或者書。另外，深度學習不是萬能的，它有足夠的理由能日益流行，但始終無法接管整個世界。不過，只要你不斷增加你的機器學習技能，你的飯碗無憂。但也不要對深度框架過于崇拜，不要害怕對這些框架進行裁剪和調整，以得到和你的學習算法能協同工作的軟件框架。
展開 淺談自動駕駛中的行為風險識別
與之相對的是，行為決策層的輸出卻必須是確定性的結果，具體來說，這些輸出通常包括：
綜合決策（主車的綜合決策行為，如換道意圖和借道意圖）
個體決策（主車對單個障礙物做出的決策，如繞行和減速避讓）
用嚴格一些的語言來說，下游運動規劃層需要生成具體的行駛軌跡，在數學上這是一個非凸優化問題，難以直接求解，因此行為決策需要將運動規劃的解空間進行限定，保證運動規劃模塊的求解高效性和穩定性。
為什么需要行為風險識別？
在處理這些輸入不確定性，并輸出確定性決策的過程中。我們需要考慮的目標是多樣化的，不僅僅包括安全性，還要考慮交通規則、決策穩定性，車輛模型，甚至還要求無人車的行為需要符合人類駕駛習慣（環境中存在大量與人類參與者的交互）。
我們需要將這些多目標轉換為機器容易理解和處理的方式，具體手段包括：
約束目標：將碰撞避免、交通規則等目標轉換為不可以違反的邊界條件。
優化目標：對一些軟性的目標（通行效率、舒適性等）設置不同權重的損失懲罰函數。
由于輸入信息的不確定性，我們的機器大腦在實際中常常面臨“兩難”的局面。例如下圖這樣十分常見的一種場景，選擇減速跟車還是換道超車。前者會影響通行效率，而后者則可能帶來更高的風險（旁邊車道來車）。
圖2. 常見的一種行為決策場景：減速or變道
而實際的場景更為復雜多變，并且一定會出現長尾場景，每一種行為決策的選擇都不可能完全避免未來的風險，決策輸出的多目標求解過程無法保證每次都得到最低風險的結果。
展開 基于 OptiStruct 的白車身拓撲優化研究
圖 1 白車身有限元模型 圖 2 白車身拓撲模型
3 拓撲優化
3.1 優化目標與約束
本研究的優化的目標為各個工況下白車身的柔度最小化，設計變量為單元密度，約束分別是體積 分數、單元最小尺寸約束、對稱約束和拔模約束。其中，體積分數是指當前迭代步設計空間體積與初 始設計空間體積的比值，而對稱約束是指相對于車身 XZ 平面，車身結構左右對稱，車身地板、頂棚、 B 柱和防火墻部件的單元添加拔模約束。
白車身拓撲優化工況包括剛度工況和碰撞工況。其中，剛度工況包括彎曲剛度工況和扭轉剛度工 況，碰撞安全工況包括正面碰撞工況、后面碰撞工況和側面碰撞工況。碰撞工況對車身的影響都是大 變形、非線性的，還有接觸力存在。目前拓撲優化與有限元方法相結合的方法并不成熟，尤其針對白 車身拓撲優化問題，因此必須將這類非線性工況等效為線性工況。本研究在 HyperMesh 前處理工具 中建立上述拓撲優化工況，并采用 OptiStruct 求解器進行拓撲優化，最后用 HyperView 后處理工具進 行拓撲優化結果分析。
一般來說，不同的載荷工況將得到不同的結構拓撲。傳統的多目標優化問題采用線性加權和法， 將多目標問題轉化為單目標問題求解，但對于非凸優化問題來說，該方法不能確保得到所有的 Pareto 最優解。本研究多目標拓撲優化采用的方法是折衷規劃法(Compromise Programming Approach)[3]。 多工況拓撲優化的數學方程如下所示：
3.2 各個工況優化結果分析
(1)彎曲剛度工況
彎曲剛度工況優化結果如圖 3 所示。柔度經過 34 迭代，最終優化的最小柔度為 13.9N?mm，迭 代過程如圖 4 所示。
展開 無人機避障算法綜述
當前避障技術主要分為三類：基于優化、勢場和機器學習的避障方法。
2.1 基于優化的避障方法
基于優化的避障方法思想源于最優控制[6]，是根據已建立的無人機時域數學模型或頻域數學模型，選擇一個容許的控制律，使無人機按照約束的條件運行，并使某一性能指標達到最優的過程。其特點在于從整個沖突態勢的演繹全局來考慮問題，可用各類數值計算與現代優化方法求解規避障礙的路徑。
2.1.1 數學優化算法
針對已建立的無人機避障模型，可利用各類數學優化算法將最優控制問題轉化為便于求解的模型，從而生成解脫路徑。
(1)非線性優化方法
性能指標或約束條件中包含非線性函數的問題稱為非線性優化問題，當前用于無人機避障的非線性優化方法有梯度下降法、二次規劃法、凸優化法等。陳偉鋒等[7]將避障問題轉化為最優控制命題形式，提出一種基于析取關系直接變換的動態聯立求解方法，并用Radau配置點的拉格朗日插值對最優控制模型進行離散化處理，并通過對比驗證了方法的有效性。付其喜等[8]將無人機額外飛行距離作為優化函數，首先基于隨機并行梯度下降法(Stochastic Parallel Gradient Descent, SPGD)對初始解脫可行解進行計算，再利用序列二次規劃(Sequential Quadratic Programming, SQP)求解最優解脫航向。王祝等[9]將無人機避障非凸問題轉化成一系列近似凸優化子問題，利用凸優化法進行求解，得到兼具時效性與最優性的解脫路徑。
(2)混合整數線性/非線性規劃(Mixed Integer Linear/Nonlinear Programming, MILP/MINLP)
混合整數線性規劃方法是用整數約束無人機的控制指令(速度、航向)，進而通過線性規劃的方法對最優航路進行計算。
展開 王博聊聲學 | 聲場重構技術之三：多通道均衡
可以利用凸優化方法，對方程組解向量施加L1范數最小化約束求解。也可以利用迭代方法，計算速度更快。
怎樣保證聲場重構的精度？
由以上可知，聲場采集的精度非常關鍵，垃圾輸入必然導致系統不穩定，降低聲場重構精度。在HBK，我們提供多種高精度的傳聲器、聲陣列和數據采集系統，確保數據采集的精度。
傳聲器：
4958型1/4英寸陣列傳聲器，專門用于各種聲陣列，在
很寬的溫度和濕度范圍
內都具有極佳的相位匹配特性和幅值線性特性。內置TEDS信息包含復傳函信息，能夠對每一只傳聲器進行修正，從而保證精確測量。頻率范圍：10-20kHz，動態范圍：28-140dB。
4954-A或B型1/4英寸自由場傳聲器，用于
自由場高頻高聲壓級測量，頻率上限高達100kHz，適合于陣列測量。
4988-A型1/4英寸壓力場傳聲器，可用于
靠近堅硬的反射壁面、小的封閉腔體，頻率范圍：20-20kHz,±1dB，動態范圍：29-146dB，具有極佳的相位響應，傳聲器之間的頻響偏差非常小，特別適合于主動噪聲控制。
這幾款傳聲器都是智能型傳聲器，內置TEDS使得儀器自動讀取傳聲器的信息，并可進行不同聲場環境、測量角度等的修正，從而更大程度
保證測量的準確性。
展開 重復使用航天運載器的發展及其關鍵技術
著陸制導與控制
1
著陸段全程制導和開關機控制方法
火箭在再入稠密大氣的過程必須滿足動壓、熱流、過載等再入約束，這涉及慣性調姿段和動力減速段的聯立優化。
若將動力減速結束后的飛行軌跡視為一條連接火箭與目標著陸點的軌道，則可以采用迭代制導或閉路制導，具有較強的適應性。
在此基礎上，還可以采用幾何位置與時間更新雙層迭代制導方法。
火箭在垂直著陸時刻，還需同時滿足質心和繞心耦合的終端約束，這涉及氣動減速段和動力軟著陸段的聯立優化。
在氣動減速段由于箭體底部結構復雜，且進入稠密大氣時不確定性擾動最大，因此要求制導系統盡可能通過反饋控制的方式，利用氣動力將火箭導引向目標著陸點。
Lu提出基于預測校正的氣動減速段再入制導算法以提升著陸精度。比例導引通過增加偏置項，也能夠在控制速度位置的同時對終端姿態進行約束。
Song等利用數值方法分析動力軟著陸段可行域與發動機推力調節能力的關系，并提出自適應開機方法。
這類算法在約束適應性上相比于解析方法具有明顯的優勢，其中基于凸優化的直接法已被應用于火星著陸和Falcon-9火箭的助推器著陸。但是對于存在非凸約束優化問題的在線求解，受限于理論上的收斂性難題尚未實現工程應用。
2
異類執行機構復合控制技術
在慣性調姿段，為完成近180°的大范圍調姿，采用直接力控制的方式，在遠離質心的位置安裝反作用控制系統（Reaction Control System，RCS）。
針對大范圍調姿引起的推進劑大幅度晃動問題，Shtessel等提出利用滑模觀測器重構晃動模態，并設計了能夠補償晃動影響的控制器；Pei等則利用自適應增廣控制器實時抑制火箭的晃動不穩定性。
在動力減速段，通過搖擺發動機實現飛行姿態穩定控制。
展開 一種基于目標的可解釋的自動駕駛預測和規劃策略
通過將目標識別與MCTS 計劃相結合，為自車生成優化計劃。在模擬城市駕駛場景中的評估顯示準確的目標識別、提高的駕駛效率以及解釋預測和自我計劃的能力。
應用在線驗證技術防止自動駕駛汽車主動事故
本文將可到達性分析與凸優化相結合，以確定任意交通場景中動態感知駕駛走廊內的可駕駛危險情況安全軌跡。
面向金屬增材制造的拓撲優化設計研究進展
圖1 懸臂梁連續體結構拓撲優化。（a）基于HyperWorks的變密度法；
（b）漸進結構法；（c）水平集法；（d）移動可變形組件法；（e）特征驅動法
相對于邊界演化的拓撲優化方法（圖1c-e），基于單元網格的拓撲方法存在著灰度單元、棋盤格式、網格依賴性及局部極值等數值不穩定現象
。棋盤格式和灰度單元的存在為拓撲構型的特征提取和制造增加難度；網格依賴性使拓撲構型中的桿狀單元數量增加，可靠性下降；局部極值使拓撲構型難以得到全局最優解。因此，消除拓撲優化結果中的數值不穩定現象，提升拓撲構型的可制造性尤為重要。
如圖
2
所示，改善灰度單元，可
通過
調節材料插值模型的
懲罰因子p
與灰度過濾函數
，減少中間密度值
，獲得收斂性較好的拓撲結構。棋盤格式和網格依賴性總是同期出現、同時消失，棋盤格式是網格依賴性的另一種表現方式
。
一般改善網格依賴性的方式
,
也能有效減少結構中的棋盤格式。常采取八節點與九節點等高階單元法
、非協調元法
、周長約束法
及梯度約束
法
一定程度上抑制棋盤格式。或采取基于卷積的濾波方法
,
如靈敏度過濾法
、密度過濾法
，通過修改目標函數的單元相對密度與靈敏度分析，改善數值不穩定現象。該方法無需增加額外的約束，收斂性較好，計算效率較高，應用更為廣泛。此外抑制棋盤格式的方法,可選擇
更加穩定的有限元模式
，或對拓撲結構進行形狀優化、采用光順處理法
及
靈敏度再分配
技術
等，以抑制棋盤格式的產生。改善局部極值可以
從
兩方面考慮
,
一方面，可以優化拓撲算法
，
尋求更
適
用
于非凸優化問題的
全局優化方
法，
規避一些局部最優解，以輸出
全局最優解
。
展開 結構優化設計兩大優化算法比較：OC vs MMA
在結構拓撲優化設計技術的發展過程中出現了許多優化算法，其中確定性的算法主要有優化準則法(OC：Optimality Criteria Method)和數學規劃法(MP：Mathematical Programming)。這里將從兩方面比較OC算法和隸屬于MP算法的“移動漸進線方法”(MMA: Method of Moving Asymptotes)。
OC算法從一個空間的一個初始設計點出發，著眼于每次迭代應滿足的優化條件，依據迭代公式
來得到一個改進的設計
，而無需再考慮目標函數和約束條件的信息狀態；
MMA算法，它也從空間的一個初始設計點
出發，沿著某個搜索方向
以適當步長
的迭代格式
，實現對設計變量的修改，以獲得
的值。
以一個一般的對于多元函數的不等式約束優化問題為例：
其中，
為設計變量，受到m個不等式約束。
OC算法：
首先構造拉格朗日函數，將有約束的非線性優化問題轉化為無約束的優化問題。
其確定最優點主要是根據Kuhn-Tucker條件（駐值條件）
通過引入兩個人工參數，阻尼因子
以及移動極限常數
，使迭代過程穩定。一般采用如下迭代更新形式：
MMA算法：
MMA方法更適于處理目標函數復雜且具有多約束的拓撲優化問題，只要求約束函數對設計變量的微分可以通過解析或者數值方法求得，對復雜的拓撲優化問題，MMA方法具有更好的適定性。MMA方法通過引入移動漸近線，將隱式的優化問題轉化成一系列顯式的更為簡單的嚴格凸的近似子優化問題，在每一步迭代中，通過求解一個近似的凸的子問題
來獲得新的設計變量，而不像OC方法那樣直接通過一種顯式的啟發式的迭代格式來獲得新的設計變量。
展開 三動拉延模結構特點及調試過程
圖8 變薄率分析
圖9 理論著色圖
⑶凸、凹模基準確認。
用油石檢驗淬火區域平整度，油石沿45°方向運動，在運動過程中要始終覆蓋淬火區域。用研板涂藍色輕推凹模壓料面筋內側管理面，確認平整度，如不平需用砂輪機精修，油石推順，800
#砂紙拋光，最后再次確認。
⑷功能認證及首次壓件。
三動拉延模的活動部件較多，所以導向精度是功能認證的基礎和關鍵。導向間隙要求控制在0.05mm以內。調試前檢查導向間隙是否合理，將上、下模導板涂藍色，檢查導向間隙，合模查看著色狀態；主要導向的合模狀態達到要求后，再檢查其他部件的導向間隙，導向間隙滿足要求后，再在拉延筋內外側壓料面上鉆孔壓鉛絲，測量壓料面間隙。
首次壓件時要分次壓，根據制件特點至少分三次到底。制件成形50%時，檢查和分析制件開裂問題；繼續壓到成形80%，根據制件的成形情況，如果開裂嚴重，需要采用降低壓料力或墊塑料布等輔助手段來緩解或減輕制件開裂問題的產生；壓出完整的100%到底的件，針對制件開裂和起皺的區域對制件修整，即調試時板料兩面刷藍色，藍色涂層一定要薄，目的是準確找到硬點。壓至制件開裂，根據著色狀態調整筋外側30mm 以外硬點，根據開裂區域，筋內側不動，外側適當調整，主要調整凹筋的凸R，優化局部壓料狀態(圖10)。
圖10 壓料圈凹筋的凸R 調整
⑸壓料圈的研配。
壓料圈著色的目的是因為拉延模需要良好材料流入控制。為了達到要求，研配時不帶平衡塊，用壓料力的30%，研配壓料圈著色。拉延件不能有縮頸、褶皺和開裂。筋內側與筋外30mm 著色達到90%，30mm 以外區域著色達到80%。只有壓料面的研配狀態和表面質量好，才能達到成形時材料流動狀態良好，實現成形工藝要求。
⑹研修凹模前提條件及研配方法。
展開 