物質導數
關注創建者：引垂思汀 創建時間：2020-04-18
物質導數的視頻教程
張量分析與連續介質力學
課程內容簡介: 張量部分: 基礎回顧:微積分，線性代數，矢量分析和常微分方程 掌握指標記法、不變性記法、張量定義、度量張量、置 換張量、連并和縮并、二階張量的特征值、不變量、張 量分量與物理分量、Christoffel符號、協變導數、 Hamilton算子、張量的梯度、散度、旋度, 連介部分: 掌握物質導數
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物質導數的實例教程
在作者的印象里，物質導數是“實” 的概念，用以刻畫物體“真實” 的運動。后來，作者意識到，這只是先入為主的自我設限。實際上，沒有任何理由認為，也沒有任何權力規定，物質導數必須是“實”的。正如虛位移、虛速度和虛加速度，完全可以自由地引入“虛” 物質導數概念。正如虛位移是運動許可位移，虛物質導數即為運動許可物質導數。
虛物質導數，可以視為實物質導數的推廣。反過來，實物質導數，可以視為虛物質導數的特例。
從虛物質導數概念出發，就可以定義局部變分概念。也就是說，虛物質導數，可以被選定為局部變分概念的邏輯基礎。
一旦涉及到物質導數，就得關注物質占據的空間及其運動的描述方式。
05
物質空間及其運動描述方式
為了簡化形式，采用平坦空間。至于運動的描述方式，最基本的有歐拉描述和拉格朗日描述。本文采用拉格朗日描述，是為了簡化理論的解析結構。簡化到極致，讀者便可輕松地理解本質和思想。
展開 CFD流程
問題定義（確定模擬目的、確定計算域）
前處理和求解（創建幾何實體、設計劃分網格、設置物理問題、定義求解器、求解監控）
后處理過程（查看計算結果、修訂模型）
CFD實現流程
流體力學的一些基本概念
1）連續介質假設：流體連續地充滿整個空間
2）流體微團：微觀充分大，宏觀充分小的流體“質點”
控制體：在流動區域內劃出一塊有限的封閉區域
3）密度：
其中 是平均密度（控制體內流動的總質量/控制體體積）
在引入流體微團概念后，我們可以輕而易舉地定義流體密度
4）流動模型
為了將物理規律（方程）更方便地應用到流體上，我們定義以下四種流動模型
四種流動模型
5）物質導數
物質導數是流體力學專有概念，在物理上是指跟蹤一個運動的流體微團的時間變化率，在數學上可理解為物理量的全導數，定義式如下
即物質導數為當地導數 與遷移導數 之和
6）速度散度
利用運動的控制體模型，經過簡單推導可得
其中 為收縮到無窮小的控制體的體積
根據這個式子，我們可以歸納出速度散度的物理意義實際上是 每單位體積運動的流體微團，體積相對變化的時間變化率
7）流動的描述方法及其對應CFD處理方法：
歐拉描述：給出每個時刻每個空間點上的物理量（計算網格不動，求解NS方程）
拉格朗日描述：跟蹤每個流體質點，記錄物理量隨時間的變化（計算網格跟蹤流體質點）
另外CFD中還有計算網格運動，但不完全跟蹤流體質點的方法，如ALE（動網格）
流體力學的控制方程
無論是多么復雜的流動情況，其流動都由三個基本的物理原理控制，即質量守恒定律、牛頓第二定律、能量守恒定律。
展開 物質導數
▎物質導數 Material Derivative
物質導數的定義：Rate of change within a particular materialpoint (whose spatial coordinates vary with time).
下載地址：矢量分析與場論
</li></ul><p><strong>（11）連續介質力學部分</strong></p><ul><li>物質導數：描述物理量在隨流體運動時的變化率；</li><li>變形張量及應變張量：描述物體變形程度的張量；</li><li>運動學關系：描述物體運動和變形之間關系的方程；</li><li>變形梯度、速度梯度：描述物體變形和速度變化的張量；</li><li>應力張量：描述物體內部應力的張量；</li><li>守恒定律：包括質量守恒、動量守恒、動量矩守恒和能量守恒；</li><li>Piola-Kirchhoff應力張量：一種用于描述物體內部應力的張量；</li><li>本構方程原理：描述物體應力-應變關系的方程；</li><li>簡單物質、彈性物體、牛頓粘性流體、粘彈性物質：不同類型的物質模型。
展開 另外，從流體連續性方程（吳望一P107式3.1.3）
也可以推導出，流體密度物質導（物質點在流動過程中的密度變化率）：dρ/dt(ρ為密度)等于-div(v)，也可以表征流體可壓縮性。根據下式（吳望一P101第二式）：
dρ/dt可以表示為（吳望一P501第一式，黃克智P246式6.4.13）：
根據該式，可以看出當速度很小的時候，該式第二項（對流項）接近一個很小的數，而第一項表示定常性（吳望一P109），定常流動下第一項為0，所以直接導致密度對時間的物質導dρ/dt小到可以忽略。通過這種忽略對方程的簡化進而解出來的解是比較符合實際觀察的，也滿足工程需要（早些時候的機翼升力理論的基礎），所以這種對方程的簡化（速度散度為0）就沿襲下來了，這類流動叫做不可壓流動（吳望一P221底部）。
但是當速度很大的時候，該項就具有很大的值，這樣密度對時間的物質導數很大，流體在這種情況下的可壓性就不能忽略了，這種流動也叫做可壓流動。總之，實際上可壓流動才是正常存在的，不可壓流動只是對方程的一種理想化（這種理想化是滿足工程應用的）。空氣雖然是一種比較可壓的物質，但是在低速的情況下，其流動是一種不可壓流動，也就是速度還沒大到產生讓其體積或密度沿著流線產生明顯變化的壓力。
總結：流動的可壓不可壓是表示在建立方程的時候要不要忽略體積的變化，或者要不要將流體當成是可壓縮性無窮大的物質。
參考資料：
吳望一《流體力學》第二版，北京大學出版社。
黃克智《張量分析》第二版，清華大學出版社。
米海珍《塑性力學》，清華大學出版社，2014。
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下方掃碼添加客服還可<strong>領取學習金</strong>，1:1抵扣，立省更多~</p><p>本課程主要圍繞張量分析與連續介質力學展開，分為<strong>5大章20講</strong>，涉及局部基矢量與局部坐標、曲線坐標系推導與應用、基于張量形式推導物質變化關系以及虛功原理、歐拉系與拉格朗日系變化深入講解，另有物質導數與空間導數案例推導、物質旋律與梯度真題講解證明。
但是當速度很大的時候，該項就具有很大的值，這樣密度對時間的物質導數很大，流體在這種情況下的可壓性就不能忽略了，這種流動也叫做可壓流動。總之，實際上可壓流動才是正常存在的，不可壓流動只是對方程的一種理想化（這種理想化是滿足工程應用的）。空氣雖然是一種比較可壓的物質，但是在低速的情況下，其流動是一種不可壓流動，也就是速度還沒大到產生讓其體積或密度沿著流線產生明顯變化的壓力。
ALE描述
任意拉格朗日歐拉方法描述下的物質導數為：
其中f為物理量，為質點X 的速度，為參考點ξ 的速度，也即計算網格運動速度。當時，計算網格在空間固定不動，退化為歐拉描述；當時，計算網格隨同物體一起運動，退化為拉格朗日描述；當時，計算網格在空間中獨立運動，對應于一般的ALE 描述。
ALE描述
任意拉格朗日歐拉方法描述下的物質導數為：
其中f為物理量，為質點X 的速度，為參考點ξ 的速度，也即計算網格運動速度。當時，計算網格在空間固定不動，退化為歐拉描述；當時，計算網格隨同物體一起運動，退化為拉格朗日描述；當時，計算網格在空間中獨立運動，對應于一般的ALE 描述。
實際上，沒有任何理由認為，也沒有任何權力規定，物質導數必須是“實”的。正如虛位移、虛速度和虛加速度，完全可以自由地引入“虛” 物質導數概念。正如虛位移是運動許可位移，虛物質導數即為運動許可物質導數。
虛物質導數，可以視為實物質導數的推廣。反過來，實物質導數，可以視為虛物質導數的特例。
從虛物質導數概念出發，就可以定義局部變分概念。
物質導數
▎物質導數 Material Derivative
物質導數的定義：Rate of change within a particular materialpoint (whose spatial coordinates vary with time).
物質導數是流體力學專有概念，在物理上是指跟蹤一個運動的流體微團的時間變化率，在數學上可理解為物理量的全導數，定義式如下
即物質導數為當地導數 與遷移導數 之和
6）速度散度
利用運動的控制體模型，經過簡單推導可得
其中 為收縮到無窮小的控制體的體積
根據這個式子，我們可以歸納出速度散度的物理意義實際上是 每單位體積運動的流體微團，體積相對變化的時間變化率
