• 參考資料見文后，文中的引用以“作者+頁碼”、“作者名年份+頁碼”等方式呈現。

-----可壓縮性

可壓縮性是由體積模量決定的，體積模量的倒數就是可壓縮系數。在討論可壓縮性的時候，利用lamda+2G/3或者E/（3*（1-2v）來討論會更方便一些，尤其是后者。根據E/（3*（1-2v），在現實中也發現，泊松比接近0.5的時候，體積模量接近無窮大，表示物質接近不可壓，泊松比接近0的時候，體積模量很小，在楊氏模量一定時物質非常可壓。對于空氣來說，其泊松比接近0（網上找的，咱也不知道怎么測的），其體積模量就接近一個很小的數，這就是為啥空氣好壓縮的原因（吳望一P67）。對于液體來說，其泊松比接近0.5，其體積模量是比較大的，所以液體接近不可壓縮性。對于固體來說，只有高彈性體的泊松比接近0.5，所以高彈性體接近不可壓。

其他的部分金屬泊松比也接近0.5，其他的材料都小于0.5，具有一定的可壓性。金屬的塑性變形階段是接近不可壓的，只有彈性變形是可壓的，也即塑性變形與球應力無關（米海珍P5）。

-----可壓縮性和體積自鎖

可壓縮性在物質變形有限元計算中具有很重要的地位，與體積自鎖很相關。當物質泊松比接近0.5時候，盡管楊氏模量也很大，其體積模量還是會接近很大的數目。這時候就要求單元在承受靜水壓力時的變形小到可以忽略，或者說是計算不出其變形（莊茁P68）。而一般的單元都是以節點位移和形函數描述的，這種位移描述的單元是計算不出球應力的，所以需要單獨對壓應力設置一個自由度，這種就叫雜交單元。如果強行用一般的位移描述單元，那么就會經歷體積自鎖（莊茁P223、P252）。

-----可壓縮物質和可壓縮流動

任何物質都是可壓的，只是對于低速運動的物質，其質量守恒方程（連續性方程）可以得到一定的簡化。由前可知，可壓縮性由體積模量的倒數表示。體積模量公式可見博文：

數峰青，公眾號：數峰青 力學筆記#1：什么是體積模量？流體和固體的體積模量公式有什么區別？

其倒數為-(△V/V)/△p。另一方面，運動當前構型的相對體積變化率(△V/V)可以由速度散度表示（黃克智P266，吳望一P86）：div(v)。所以在流體運動中，速度散度完全可以表征可壓縮性。另外，從流體連續性方程（吳望一P107式3.1.3）

也可以推導出，流體密度物質導（物質點在流動過程中的密度變化率）：dρ/dt(ρ為密度)等于-div(v)，也可以表征流體可壓縮性。根據下式（吳望一P101第二式）：

dρ/dt可以表示為（吳望一P501第一式，黃克智P246式6.4.13）：

根據該式，可以看出當速度很小的時候，該式第二項（對流項）接近一個很小的數，而第一項表示定常性（吳望一P109），定常流動下第一項為0，所以直接導致密度對時間的物質導dρ/dt小到可以忽略。通過這種忽略對方程的簡化進而解出來的解是比較符合實際觀察的，也滿足工程需要（早些時候的機翼升力理論的基礎），所以這種對方程的簡化（速度散度為0）就沿襲下來了，這類流動叫做不可壓流動（吳望一P221底部）。

但是當速度很大的時候，該項就具有很大的值，這樣密度對時間的物質導數很大，流體在這種情況下的可壓性就不能忽略了，這種流動也叫做可壓流動。總之，實際上可壓流動才是正常存在的，不可壓流動只是對方程的一種理想化（這種理想化是滿足工程應用的）。空氣雖然是一種比較可壓的物質，但是在低速的情況下，其流動是一種不可壓流動，也就是速度還沒大到產生讓其體積或密度沿著流線產生明顯變化的壓力。

總結：流動的可壓不可壓是表示在建立方程的時候要不要忽略體積的變化，或者要不要將流體當成是可壓縮性無窮大的物質。

參考資料：

吳望一《流體力學》第二版，北京大學出版社。

黃克智《張量分析》第二版，清華大學出版社。

米海珍《塑性力學》，清華大學出版社，2014。