摘要

張量分析學存在對稱性破缺現象：既存在概念上的對稱性破缺——有張量微分，但沒有張量變分；又存在理論上的對稱性破缺——有張量微分學，但沒有張量變分學。然而，近年來的研究進展表明，破缺的對稱性是可以彌補的。本文將綜述彌補過程：回顧虛物質導數概念的拓展歷史，再現張量局部變分概念的抽象過程，展示張量變分學的構建歷程，揭示張量變分學與張量微分學之間的對稱性。

本文標題涉及了三個關鍵詞：虛物質導數、局部變分、張量變分學，其中，虛物質導數和局部變分是似曾相識的詞匯：虛物質導數似乎只是在經典物質導數前面加了一個“虛” 字；局部變分似乎只是在經典變分前面加了一個限定詞“局部”。

讀者也許會有疑問：“為何多此一舉？”“這不是玩弄詞藻嗎？” 作者的辯解如下。引入虛物質導數和局部變分概念，是為了實現三個意圖：一是彌補張量分析學概念體系中破缺的對稱性；二是為張量變分學奠定基礎，三是為張量的協變變分學開辟道路。

限于篇幅，本文主要聚焦于前兩個意圖，即概念體系的對稱性和張量變分學。而張量協變變分學，則是后續文章綜述的重點。本文包括如下內容：

(1) 簡要回顧經典變分思想，評述其概念上的局限性；

(2) 拓展經典物質導數，引入虛物質導數概念；

(3) 依托虛物質導數，類比張量微分概念，定義張量局部變分概念，塑造張量變分與張量微分之間的對稱性；

(4) 類比張量微分學，展示張量變分學，揭示張量變分學與張量微分學之間的對稱性。

大學時代，學習數學分析。課堂上，老師提出要求：“微分與積分的關系是什么？請用一句話說清楚。” 作者小心翼翼地回答：“逆運算。” 老師挑起大拇指：“高，實在是高！用一句話說清楚已經相當不易，你竟然用一個詞就說清楚了。” 高興之余，老師進一步提高標準：“請用一個字說清楚！” 受到老師的稱贊，信心大增，脫口回答：“逆！”當年老師的苛刻要求，產生了持久的影響。從此，作者養成了思維習慣：對重要的概念，一定要理解到這樣的程度—— 用一句話說清楚其內涵和外延。

歷史地看，變分似乎是個整體性概念。

整體和局部及其相互關系，是哲學家關注的問題，也是自然科學家感興趣的問題。

早年學習彈性力學，作者深受如下陳述的影響：彈性力學的基本問題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來，作者自己成了教師和學者，對兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現了牛頓和萊布尼茲的局部化數理分析思想，而變分提法則體現了歐拉和拉格朗日的整體化數理分析思想。

由此，作者樹立起了牢固的觀念：微分是局部性概念，變分是整體性概念；

微分被定義在一個點的鄰域內，變分被定義在物質構型空間上；微分提法對應局部化數理分析之路，變分提法對應整體化數理分析之路。

從力學的角度看，上述觀念似乎經得起時間考驗。場函數的微分，涉及空間域上“點的鄰域” 內場函數的增量。“點的鄰域” 當然是局部性概念。彈性力學中的運動微分方程，建立在微單元體上。微單元體是“點的鄰域” 的幾何化形態，自然是局部性概念。

泛函的變分，是定義在物質構型空間上的泛函的增量。彈性力學有最小勢能原理和最小余能原理。兩個原理分別涉及勢能泛函的變分和余能泛函的變分。勢能泛函和余能泛函都表現為物質構型空間上的積分。物質構型空間是整體性的概念，泛函自然也是整體性概念。

分析力學有最小作用量原理。克萊恩在他的名著《古今數學思想》中指出：“變分學的早期工作幾乎不能和微積分區分開來。但是，隨著變分法的深化，牛頓之后的偉大先驅們很快意識到：一個全新的、具有自己的特征問題和方法論的數學分支已經產生了。”“這個新學科，對于數學和科學來說，其重要性幾乎可以和微分方程相比，它為整個數學物理提供了一個最重要的原理。” 這個“最重要的原理”，即最小作用量原理。

作用量一般表現為時間段上的積分。當說“作用量的變分” 時，研究的是定義在時間段上的作用量的增量。時間段是整體性的概念，作用量當然也是整體性的概念。

很顯然，先驅們思考變分學的角度，著眼于整體。其中的核心概念， 是泛函的變分或作用量的變分。

然而，這產生了誤導，使得作者產生了如下誤解：由于變分的作用對象都是整體性概念，故變分就是個整體性概念。教學過程中，作者有意無意地將這樣的觀念傳遞給了學生。

近年來，隨著研究的深入，作者意識到，上述觀念限定了教師和學生的想象力。實際上，如果研究對象不是泛函或作用量，而是張量場函數，那么，著眼點就不應該是整體，而應該是局部。

2002 年，作者研究生物膜力學時，強烈地意識到，需要清晰地引入一個概念——曲率張量的變分。生物膜是軟物質，可以將其抽象成柔性曲面。不難想象，柔性曲面幾何形狀的任何漲落，都會誘導曲率張量的擾動。那么，怎樣才能最有效地度量曲率張量的擾動量？

當時，作者借鑒彈性力學，用虛位移概念刻畫柔性曲面的漲落。于是，很自然地，就把曲率張量的擾動量視為“曲率張量的變分”。

如何快速計算曲率張量的變分？作者意識到，不同于曲率張量的微分，“曲率張量的變分” 沒有現成的計算模式，故當時只能憑物理直覺“拼湊” 出其計算式。

數學力學中的概念，一般都有兩個表達式，一個是定義式，另一個是計算式。其中，定義式在先，計算式在后，計算式源自定義式。“曲率張量的變分”作為一個基本概念，既沒有計算式，也沒有定義式。因為沒有定義式，當然也就無法“一句話說清楚” 其內涵和外延。

“曲率張量的變分”，無定義，難計算。然而，“曲率張量的微分”，可定義，可計算。作者發現，類似的概念上的對稱性破缺，不是孤立的現象，竟然普遍存在于張量分析中：有一般意義上的“張量微分” 概念，但沒有一般意義上的“張量變分” 概念。

作者還發現，概念上的對稱性破缺帶來的直接后果，是理論上的對稱性破缺：張量微分學的大廈巍然挺立，但張量變分學的原野卻一片荒漠。這并不奇怪：基本概念是理論的基石。張量微分學的大廈奠定在張量微分概念的基礎之上。相反地，缺少了基礎性的張量變分概念，張量變分學的大廈就無從談起。

追根溯源，可以發現，對稱性破缺的根本原因，源自局部性概念與整體性概念之間的錯配：張量場函數可以是局部性概念，微分是局部性概念。這樣，“張量場函數/微分” 就是兩個局部性概念的組合，渾然天成。然而，經典的變分“被認為” 是整體性概念，“張量場函數/變分”，是局部性概念與整體性概念的疊加，難以匹配。

作者想起智者的忠告：紛繁之處，可嘗試分類；混淆之處，可嘗試定義。顯然，要糾正概念組合的錯配，最便捷的方法是塑造出一個局部性概念—— 張量場函數的“局部變分”。這樣，就相當于對籠統的變分概念進行了更精細的分類—— 整體性變分和局部性變分。當然，局部變分概念難以借助經驗提煉出來，只能借助理性塑造出來。

如何塑造張量場函數的局部變分概念？作者的作法是“先為局部變分概念尋找一個邏輯基礎”。2016年，找到了突破口：作者從“虛” 字上獲得了靈感。

力學史上，從“實” 到“虛” 的觀念進化，對應著重要的思想飛躍。分析力學和彈性力學，都涉及一個十分基本的概念—— 虛位移。彈性力學中虛位移的定義很簡潔：就是運動許可位移。滿足運動許可的虛位移有無窮多，構成無窮集合。而真實位移只是虛位移的特例，只是無窮集合中的特殊元素。

分析力學中，“虛” 字照樣引人注目。分析力學的理論體系，可以被奠定在不同的基本原理基礎之上：拉格朗日方程，被奠定在達朗貝爾原理的基礎之上；吉布斯阿佩爾方程和凱恩方程，被奠定在高斯原理的基礎之上。從達朗貝爾原理到拉格朗日方程，虛位移概念發揮了重要作用。同樣，從高斯原理到吉布斯阿佩爾方程和凱恩方程，虛加速度概念不可或缺。

在速度和加速度之間，還有一個運動學量——虛速度。虛速度，就是運動許可速度。歷史上，虛速度概念并沒有逃過先驅們銳利的眼睛。分析力學中，除了達朗貝爾原理和高斯原理，還有約旦原理。虛速度是約旦原理中決定性的概念。

注意到，位移，速度，加速度，不論“虛實”，都是定義在物質點上的概念。論及“物質點”，連續介質力學的一個概念進入了作者的視線—— 物質導數。

需要說明的是，幾何論中，確有“對參變量的導數” 概念。如果“參變量” 被取為時間變量，且“對參變量的導數” 被定義在運動的物質點上，即可得到物質導數。

在作者的印象里，物質導數是“實” 的概念，用以刻畫物體“真實” 的運動。后來，作者意識到，這只是先入為主的自我設限。實際上，沒有任何理由認為，也沒有任何權力規定，物質導數必須是“實”的。正如虛位移、虛速度和虛加速度，完全可以自由地引入“虛” 物質導數概念。正如虛位移是運動許可位移，虛物質導數即為運動許可物質導數。

虛物質導數，可以視為實物質導數的推廣。反過來，實物質導數，可以視為虛物質導數的特例。

從虛物質導數概念出發，就可以定義局部變分概念。也就是說，虛物質導數，可以被選定為局部變分概念的邏輯基礎。

一旦涉及到物質導數，就得關注物質占據的空間及其運動的描述方式。

為了簡化形式，采用平坦空間。至于運動的描述方式，最基本的有歐拉描述和拉格朗日描述。本文采用拉格朗日描述，是為了簡化理論的解析結構。簡化到極致，讀者便可輕松地理解本質和思想。

從式(16) 和式(17) 中可獲得啟示：如果看到的是實速度場，那么，式(16) 就給出了基矢量的實物質導數，式(17) 就給出了基矢量的“實” 時間微分。如果看到的是虛速度場，那么，式(16) 就給出了基矢量的虛物質導數，式(17) 就給出了基矢量的“虛”時間微分(或虛物質微分)，亦即局部變分。總之，只要速度場有虛實之分，基矢量的物質導數就有虛實之分，基矢量的時間微分就有虛實之分。而虛的時間微分，就是局部變分。

式(17) 與式(15) 之間的對稱性，清晰可見。

限于論文的篇幅，這里不再繼續展示張量變分學與張量微分學的對稱性。如果讀者有興趣，可以自己嘗試一下：比照張量微分學的大廈，一定可以構筑出張量變分學的大廈，且兩座大廈遙相呼應，構成優雅對稱的建筑群。

答案是肯定的。但要塑造出新的對稱建筑群，必須先引入一塊厚重的基石—— 協變性思想。理由如下。

標題中，出現了張量一詞。實際上，即使沒有張量這個詞，本文照樣言之成理。之所以畫蛇添足地加上這個詞，是為后續建筑群的對稱化做鋪墊。

數學力學的歷史上，張量概念的誕生是件大事。不同于經典力學概念，張量概念中蘊涵了一個既漂亮又深刻的思想—— 協變性思想。

1935 年，法國誕生了著名的布爾巴基學派。該學派提出了重要的思想觀念—— 數學結構。在諸種類型的數學結構中，最基本的是代數結構。張量就是普遍存在于物理學和力學中的代數結構。

作為代數結構，張量有內部子結構，例如，分量和基矢量。子結構滿足特定的協調約束性質，即“協變性”，具體表現為兩大基本變換：一是指標升降變換，二是坐標變換。作者將二者合稱為里奇變換[3-4]。

確切地說，協變性就是張量在里奇變換下的不變性。正是協變性，保證了張量的坐標無關性。從這個意義上講，在物理學和力學中，協變性近乎于客觀性。因此說，協變性思想，不僅漂亮，而且深刻。

從張量代數學到張量微分學的演進，是數學物理和數學力學史上的大事。但這件大事總被一種不大圓滿的氛圍所籠罩—— 張量微分的協變性退化了。喪失了協變性的張量微分，對物理學和力學不吝一場災難。

危難時刻，意大利的里奇學派盡顯英雄本色：他們巧妙地引入了漂亮的新概念—— 張量的協變微分，從而一舉將不協變的微分學，“美化” 成了協變的微分學。

然而，隨著協變微分概念的誕生，概念上新的對稱性破缺出現了。隨著協變微分學的出世，理論上新的對稱性破缺出現了。

本文刻畫了這樣的歷史軌跡：先驅們定義了張量微分，造成了概念上的對稱性破缺。而隨著張量變分的定義，概念上的對稱性破缺得以彌補。先驅們發展了張量微分學，造成了理論上的對稱性破缺。而隨著張量變分學的建立，理論上的對稱性破缺得以修復。

現在，新的對稱性破缺引出了新的問題：還能重復上述對稱化歷史的軌跡嗎？答案是肯定的。對稱的建筑群將被持續延拓，規模更大、更為壯麗的對稱建筑群將拔地而起。如果讀者想一睹其真容，那就請閱讀后續文章吧。

讀者一定會問：“為什么對稱觀念如此令人著迷？” 德國數學家諾特有著名的命題：任何對稱性，都對應著某種形式的守恒律。物理學和力學的歷史已經確證了命題的正確性：物理學和力學的每一條規律，都受到某種對稱性的支配；任何新對稱性的發現，都意味著新規律的誕生；任何對稱性破缺的出現，都意味著新理論的曙光。諾特的命題極大地消減了探索的盲目性—— 只要捕捉到對稱性，就可以順藤摸瓜地找到守恒律。本來，追尋守恒律，是物理學和力學探索者永恒的使命。諾特命題之后，追尋對稱性，成為物理學和力學探索者達成使命的捷徑。

這也正是作者在本文中的動機之所在：苦心孤詣地塑造經典微分與局部變分之間的對稱性。

后來，作者否定了“多余” 的判斷。作者并不是想通了，而是類比之余，堅定了信念：已經有實位移，但從沒有認為，虛位移概念是多余的。已經有實速度，但從沒有認為，虛速度概念是多余的。已經有實加速度，但從沒有認為，虛加速度概念是多余的。

換個角度看：如果說，張量的局部變分是個不可或缺的概念，那么虛物質導數，就是個必不可少的概念。虛物質導數和局部變分概念的威力，會在后續的文章中，充分地展現出來。

本文只涉及了拉格朗日描述。歐拉描述，照樣可以揭示出對稱的張量微分學和張量變分學。換言之，張量微分學與張量變分學之間的對稱性，是一種客觀實在，與運動的描述方式無關。不論采用何種運動描述方式，對稱性都存在。但限于篇幅，本文不再涉及歐拉描述。

在傳統觀念中，張量分析學主要是指張量微分學。現在，可以更新觀念：張量分析學包括了兩個對稱的理論體系：一個是張量微分學，另一個是張量變分學。

本文講述了一個對稱性故事，后續文章將講述對稱性故事的續集。

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