只具有數值大小（magnitude），而沒有方向（direction）的量，稱為“標量”。例如，質量、密度、溫度、速率、體積、時間和熱量等物理量。無論選取什么坐標系，標量的數值恒保持不變。標量間的運算遵循一般的代數法則。

▎矢量 Vector - Heat and mass fluxes are vectors

又被稱為“向量”。有些物理量physical quantities，是由數值大小magnitude和方向direction二者共同確定的，這些物理量被稱為“向量”。例如，速度、加速度、位移、力、沖量、動量和磁場強度等都是矢量。向量間的運算并不遵循一般的代數法則，在相加減時它們遵從幾何運算法則。

▎張量 Tensor - momentum flux is a tensor

以二階張量為例，其不僅具有數值大小，而且具有兩個方向。流體力學中作用在流體元上的應力場即為二階張量。零階張量（r=0）為標量；一階張量（r=1）為向量；二階張量（r=2）則成為矩陣。

▎點積 Dot Product

點積，又被稱為向量的內積或數量積。求得的結果是一個數。向量a·向量b=|a||b|cos<a, b>。在物理學中，已知力與位移求功，實際上就是求向量F與向量s的內積，要用點乘。

點積的幾何意義：向量a到向量b的投影。這在論述上有一定的問題，應該說成向量a在單位向量b上的投影。

點積的力學意義：一物體在力F的作用下，沿直線AB移動了S，F與AB的夾角為 α，如下圖，則力對物體做的功為

▎叉乘 Cross Product

叉乘，又被稱為向量的外積、向量積。求得的結果是一個向量，記這個向量為c。向量c的模可表示為|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a, b>。向量c的方向與向量a和b所在的平面垂直，且方向要用“右手法則”判斷（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

因此，向量的外積不遵守乘法交換率，因為向量a×向量b=-向量b×向量a在物理學中，已知力與力臂求力矩，就是向量的外積，即叉乘。

為了解決已知兩有向線段，求已他們為鄰邊的平行四邊形的面積的問題，引入了叉積，(叉乘的意義也正在與此)。

物理意義：力矩，如下圖，O為一根杠桿L的支點，有一個力F作用在其上點P處，F與OP的夾角為θ，由力學規定，力F對支點O的力矩是一個向量M，它的模是

叉積模的幾何意義：表示以向量a和向量b為鄰邊的平行四邊形的面積。

▎混合積 Mixed Product

已知三個向量a，b和c，數量(a×b)·c被稱為這三個向量的混合積。

向量混合積的幾何意義：它是一個數，它的絕對值表示以向量a，b和c為棱的平行六面體的體積。

▎方向導數 Directional Derivative

方向導數?u/?l是指在一點M0處沿方向l，函數u(M)對距離的變化率。

▎梯度 Gradient

梯度問題可以認為是將一維的斜度擴展到了三維的梯度。

在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率，即方向導數最大值。

在單變量的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，對于一個線性函數，也就是線的斜率。

梯度一詞有時用于斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被成為梯度。

梯度運算的對象是標量，運算出來的結果會是向量。

由梯度給出全微分：

▎哈密爾頓算子▽ Hamiltonian Operator

哈密爾頓算子的定義為：

設u=u(x, y, z)，則：

注意：u為標量場。

設：

注意：A為矢量場。則：

此時，高斯公式和斯托克斯公式可分別寫成：

▎拉普拉斯算子 Laplace Operator

其中：

稱之為拉普拉斯算子。

▎散度 Divergence

散度的運算對象是向量，運算出來的結果是標量。

散度是標量，物理意義為通量源密度，可以從高斯公式里理解。散度為零，說明是無源場；散度不為零時，則說明是有源場（有正源或負源）。

散度的數學定義：在連續可微的矢量場A中，對于包含某一點(x, y, z)的小體積ΔV，其閉合曲面為S，定義矢量場A通過S的凈通量與ΔV之比的極限：

為矢量場A在該點的散度 (divergence of A)。

▎環量 Circulation

環量的定義：設有矢量場A(M)，則沿場中某一封閉的有向曲線l的曲線積分

叫做次矢量按積分所取方向曲線l的環量。

▎旋度 Curl

旋度的運算對象是向量，運算出來的結果是向量。

旋度是矢量；其物理意義為環量密度，可以從斯托克斯公式里理解。旋度為零，說明是無旋場；旋度不為零時，則說明是有旋場。

▎物質導數 Material Derivative

物質導數的定義：Rate of change within a particular materialpoint (whose spatial coordinates vary with time).

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