在多自由度響應(yīng)的問題中，認(rèn)為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是正定對(duì)稱的；而且認(rèn)為系統(tǒng)阻尼是比例阻尼，是一種可解耦阻尼；同時(shí)結(jié)構(gòu)固有模態(tài)（振型）相對(duì)于質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣都具有正交性。因此可用模態(tài)坐標(biāo)使方程簡化，這種理論稱為實(shí)模態(tài)理論。但是如果剛度矩陣和阻尼矩陣是非對(duì)稱的，則不能用常規(guī)方法將方程解耦，這時(shí)必須用復(fù)模態(tài)解耦，稱這種方法為復(fù)模態(tài)理論 (complex modal theory) 。

復(fù)特征值理論使用投影法(projection method)來提取系統(tǒng)的復(fù)特征值(complex eigenvalues)。有限元模型的特征值問題可以用以下公式來表達(dá)：

其中MMN ：質(zhì)量矩陣，通常是對(duì)稱的和半正定的；
CMN：阻尼矩陣；
KMN：剛度矩陣，可以包括預(yù)載荷和阻尼的影響，因此有可能是非對(duì)稱的；
μ：復(fù)特征值；
φN：復(fù)特征向量，即振動(dòng)模態(tài)；上標(biāo) M 和 N 代表自由度。
在 ABAQUS/Standard 中，復(fù)特征值的提取過程使用子空間投影法，而且在復(fù)特征值提取過程之前，一般先進(jìn)行具有對(duì)稱剛度矩陣的無阻尼系統(tǒng)的特征值和特征模態(tài)的計(jì)算。全部的子空間都被缺省地作為基本矢量， ABAQUS/Standard 在考慮用戶對(duì)子空間的各種規(guī)定之后，通常計(jì)算出投影空間內(nèi)所有的有效復(fù)模態(tài)。用戶指定的需要求解的特征模態(tài)數(shù)不能超過投影子空間的維數(shù)。在復(fù)特征值提取過程中，為了能夠計(jì)入剛度矩陣或阻尼矩陣非對(duì)稱的影響，程序能夠自動(dòng)使用非對(duì)稱矩陣求解和存儲(chǔ)方法。如果用戶強(qiáng)行指定了對(duì)稱矩陣的求解技術(shù)和存儲(chǔ)方法，矩陣非對(duì)稱性的影響將被忽略。
關(guān)鍵字如下：
*COMPLEX FREQUENCY