阻尼矩陣的案例
阻尼類型以及midas NFX、midas MeshFree中的阻尼定義
再假定由材料內摩擦引起的結構阻尼比例于應變速率(前面推導粘性阻尼和結構阻尼等效關系時，假設結構阻尼力與位移成比例，注意區別)，這時的單元阻尼矩陣為：
單元阻尼矩陣與單元剛度矩陣成比例。
比例于單元質量矩陣和單元剛度矩陣的阻尼矩陣對于模態振型具有正交性，此時的阻尼矩陣也稱為振型阻尼。
式(11)和式(12)中的比例系數，在一般情況下是依賴于頻率的，因此在實際分析中，精確地決定阻尼矩陣相當困難。因此，通常將阻尼矩陣簡化為質量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即
這種振型阻尼稱為瑞利阻尼。
midas NFX中瑞利阻尼的定義
圖1 材料定義界面
在midas NFX中，在材料定義窗口，可以輸入質量比例常數α和剛度比例常數β。
②模態阻尼
在線性動力分析當中，可以選擇用模態法進行求解，模態法中常用的阻尼就是模態阻尼，包含臨界阻尼比、等效粘性阻尼以及品質因子。
其中關于臨界阻尼比和等效粘性阻尼，見前述。
下面說明品質因子的概念。
圖2 動力放大系數與阻尼比、頻率比的關系
動態放大系數是指動力荷載引起的響應幅值與動力荷載幅值作為靜荷載所引起的結構靜響應之比。動態放大系數與頻率比、阻尼比有關，表達式為：
當頻率比(荷載頻率與固有頻率之比)趨向于1時，動態放大系數趨向于1/2ξ。也就是：
A稱為品質因子。
midas NFX中模態阻尼的定義
用模態法進行求解時，對系統的動力學方程進行解耦，得到n個單自由度系統的運動方程。
通過模態阻尼定義每個單自由度系統運動方程的阻尼。
展開 關于ABAQUS復模態介紹
在多自由度響應的問題中，認為質量矩陣和剛度矩陣都是正定對稱的；而且認為系統阻尼是比例阻尼，是一種可解耦阻尼；同時結構固有模態（振型）相對于質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣都具有正交性。因此可用模態坐標使方程簡化，這種理論稱為實模態理論。但是如果剛度矩陣和阻尼矩陣是非對稱的，則不能用常規方法將方程解耦，這時必須用復模態解耦，稱這種方法為復模態理論(complex modal theory)。
復特征值理論使用投影法(projection method)來提取系統的復特征值(complex eigenvalues)。有限元模型的特征值問題可以用以下公式來表達：
其中MMN ：質量矩陣，通常是對稱的和半正定的；
CMN：阻尼矩陣；
KMN：剛度矩陣，可以包括預載荷和阻尼的影響，因此有可能是非對稱的；
μ：復特征值；
φN：復特征向量，即振動模態；上標M和N代表自由度。
在ABAQUS/Standard中，復特征值的提取過程使用子空間投影法，而且在復特征值提取過程之前，一般先進行具有對稱剛度矩陣的無阻尼系統的特征值和特征模態的計算。全部的子空間都被缺省地作為基本矢量，ABAQUS/Standard在考慮用戶對子空間的各種規定之后，通常計算出投影空間內所有的有效復模態。用戶指定的需要求解的特征模態數不能超過投影子空間的維數。在復特征值提取過程中，為了能夠計入剛度矩陣或阻尼矩陣非對稱的影響，程序能夠自動使用非對稱矩陣求解和存儲方法。如果用戶強行指定了對稱矩陣的求解技術和存儲方法，矩陣非對稱性的影響將被忽略。
關鍵字如下：
*COMPLEX FREQUENCY
關于ABAQUS復模態介紹.pdf
展開 提取整體剛度矩陣、質量矩陣及阻尼矩陣的三種方法
指定輸出單元矩陣
/SOLU
SOLVE
finish
/OUTPUT, TERM ! 將輸出信息送到output windows中
! 這時用編輯器打開cp.out文件，可以看到按單元寫出的質量、剛度等矩陣
3.
其原理很簡單，即使用ansys的超單元即可解決問題。定義超單元，然后列出超單元的剛度矩陣即可。
面是一個小例題，自可明白。
/prep7
k,1
k,2,3000
l,1,2
et,1,beam3
mp,ex,1,2e5
mp,prxy,1,0.3
r,1,5000,2e7,200
lesize,all,,,10
lmesh,all
finish
!----以上正常建立模型，不必施加約束和荷載
/solu
antype,7 !substructuring分析類型
seopt,matname,1 !設置文件名稱和剛度矩陣類型(剛度，質量，阻尼等)
nsel,all !選擇所有節點
m,all,all !定義所有節點自由度為主自由度
solve !求解
selist,matname,3 !列出整體剛度矩陣
展開 一分鐘了解實模態&復模態
一般物理系統的自由振動方程為
其中，[M]、[C]和[K]分別表示質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。
模態分析本質上就是需要對上述方程進行特征值求解。一般情況下，阻尼對模態分析結果的影響不大，在進行模態分析時會忽略阻尼的影響，所以上述一般物理系統的自由振動方程為
對于方程（1），在Matlab中需要先對方程（1）進行降階，再進行特征值求解；對于方程（2），在Matlab中是可以直接進行特征值求解的。
轉子系統的自由振動方程為（忽略阻尼）
其中，[G]為回轉矩陣，是一個反對稱矩陣，且主對角元素為0。因為轉子臨界轉速分析時要考慮陀螺力矩的影響，所以轉子自由振動方程中包含有回轉矩陣。顯然，方程（3）與方程（1）在形式上類似，使用Matlab進行特征值分析時，需要先降階再求解。
下面給出一個簡單例子，以幫助理解這些情況。定義如下矩陣：
1.考慮無阻尼的情況
考慮質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C0]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為
2.考慮比例阻尼
比例阻尼，即阻尼與系統的質量和/或剛度成比例。考慮質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C1]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為
注意到這組特征值求解得出的模態振型與無阻尼的情況相同，這是因為阻尼與系統的質量和/或剛度成比例。上述兩種情況產生的模態稱為“實模態”。顯然，無阻尼和比例阻尼計算出的模態振型完全相同。
3.考慮非比例阻尼
非比例阻尼不與系統的質量和/或剛度成比例。考慮質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C1]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為
對于這種情況，模態振型不同于前面的兩種情況。首先，模態振型是復數值。
展開 
RayLeigh阻尼系數的確定
RayLeigh阻尼在Abaqus中常用來模擬響應分析中的阻尼，其一般形式如下：
這種阻尼矩陣稱為比例阻尼矩陣。其中α和β是比例系數, 可通過實驗來確定。把阻尼矩陣寫成上式的形式，還有一個優點就是阻尼陣關于振型的正交性。結構的振型與質量矩陣和剛度矩陣有如下關系:
RayLeigh阻尼系數的確定.pdf
ANSYS中的阻尼
先概括幾個在結構分析中常用的輸入阻尼的命令：
ALPHAD： 輸入 阻尼參數
BETAD： 輸入 阻尼參數
DMPRAT： 輸入全結構的阻尼比
MDAMP： 輸入與各頻率的振型對應的模態阻尼比
MP，DAMP 輸入對應于某種材料的材料阻尼??。
與以上幾種命令的輸入對應的ANSYS計算的總阻尼陣[C]是：
（5.1.2）
ANSYS計算阻尼矩陣的公式
其中m是結構中有阻尼的材料種類數，n是具有特有阻尼的單元類型數。前兩項是用 與 定義的Rayleigh阻尼，第三項是與全結構的阻尼比 對應的阻尼陣，第四項是材料阻尼，最后一項是一些單元特有的單元阻尼陣。
3．粘性阻尼比
粘性阻尼表現為類似物體在粘性流體中運動時的阻力，與速度成正比。
（5.1.3）
粘性阻尼力
對單自由度系統，c就是粘性阻尼系數，對多自由度系統，就是阻尼矩陣[C]。[C]是定義結構阻尼特性的最基本形式，然而對粘性阻尼，很少有直接定義阻尼陣[C]的，阻尼比才是定義粘性阻尼最簡捷的方法。在ANSYS中，既可以定義在結構坐標系下的全結構阻尼比（DMPRAT命令），也可以在模態坐標下對各個模態定義各自的模態阻尼比（MDAMP命令）。ANSYS最終計算的各模態相應的模態阻尼比是MDAMP定義的模態阻尼比與DMPRAT定義的全結構阻尼比的疊加。
DMPRAT與MDAMP都是只對響應譜分析、諧分析及使用模態疊加法的瞬態分析有效，它們所對應的阻尼陣[C]是隨頻率不同而變化的阻尼陣。已知模態阻尼比 后，則對應的阻尼陣[C]用下式求出：
（5.1.4）
與輸入的模態阻尼比對應的阻尼矩陣
其中 是第i個振型向量， 是對應的模態頻率。
值得注意的是上述公式只有理論意義，在振型疊加中是直接使用定義的振型阻尼比與全結構阻尼比，沒有哪個程序會用公式（3）去反求出阻尼陣來。（也許某些程序里可以反求出阻尼陣來，但至少ANSYS沒有這么做）。
展開 分享：初識轉子動力學
結構動力學基本方程式如下：
其中，[M]、[C]和[K]分別是質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{U}為廣義位移向量矩陣，是時間t的函數，其上的點表示對時間的導數；{f}為外載荷向量矩陣。
轉子動力學基本方程式如下：
其中，[M]、[C]和[K]分別是質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{U}為廣義位移向量矩陣，是時間t的函數，其上的點表示對時間的導數；{f}為外載荷向量矩陣；而[G]為陀螺矩陣，為實反對稱矩陣，與轉子的轉動慣量以及轉速等密切相關，是轉子動力學分析的主要貢獻者；[K]為剛度矩陣對稱部分；[B]為剛度矩陣非對稱部分（也有稱作交叉耦合剛度矩陣），與旋轉速度有關，是進行轉子穩定性分析的重要參數。一般來講，質量矩陣[M]，陀螺矩陣[G]，多與轉子本身有關；而剛度矩陣[K]、阻尼矩陣[C]、交叉耦合剛度矩陣[B]，則多與軸承與密封有關。
可以看出，就動力學方程式而言，兩者既有相似，又有區別。轉子動力學方程式較結構動力學復雜，主要在于陀螺矩陣與交叉耦合剛度矩陣，而這正是與旋轉機械轉子密切相關的特色。轉子動力學的很多現象和問題都與這些矩陣有關。
展開 初識轉子動力學-
結構動力學基本方程式如下：
其中，[M]、[C]和[K]分別是質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{U}為廣義位移向量矩陣，是時間t的函數，其上的點表示對時間的導數；{f}為外載荷向量矩陣。
轉子動力學基本方程式如下：
其中，[M]、[C]和[K]分別是質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{U}為廣義位移向量矩陣，是時間t的函數，其上的點表示對時間的導數；{f}為外載荷向量矩陣；而[G]為陀螺矩陣，為實反對稱矩陣，與轉子的轉動慣量以及轉速等密切相關，是轉子動力學分析的主要貢獻者；[K]為剛度矩陣對稱部分；[B]為剛度矩陣非對稱部分（也有稱作交叉耦合剛度矩陣），與旋轉速度有關，是進行轉子穩定性分析的重要參數。一般來講，質量矩陣[M]，陀螺矩陣[G]，多與轉子本身有關；而剛度矩陣[K]、阻尼矩陣[C]、交叉耦合剛度矩陣[B]，則多與軸承與密封有關。
可以看出，就動力學方程式而言，兩者既有相似，又有區別。轉子動力學方程式較結構動力學復雜，主要在于陀螺矩陣與交叉耦合剛度矩陣，而這正是與旋轉機械轉子密切相關的特色。轉子動力學的很多現象和問題都與這些矩陣有關。
來源：本文來自ANSYS學習與應用公眾號，版權歸作者所有。
展開 初識轉子動力學！
結構動力學基本方程式如下：
其中，[M]、[C]和[K]分別是質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{U}為廣義位移向量矩陣，是時間t的函數，其上的點表示對時間的導數；{f}為外載荷向量矩陣。
轉子動力學基本方程式如下：
其中，[M]、[C]和[K]分別是質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{U}為廣義位移向量矩陣，是時間t的函數，其上的點表示對時間的導數；{f}為外載荷向量矩陣；而[G]為陀螺矩陣，為實反對稱矩陣，與轉子的轉動慣量以及轉速等密切相關，是轉子動力學分析的主要貢獻者；[K]為剛度矩陣對稱部分；[B]為剛度矩陣非對稱部分（也有稱作交叉耦合剛度矩陣），與旋轉速度有關，是進行轉子穩定性分析的重要參數。一般來講，質量矩陣[M]，陀螺矩陣[G]，多與轉子本身有關；而剛度矩陣[K]、阻尼矩陣[C]、交叉耦合剛度矩陣[B]，則多與軸承與密封有關。
可以看出，就動力學方程式而言，兩者既有相似，又有區別。轉子動力學方程式較結構動力學復雜，主要在于陀螺矩陣與交叉耦合剛度矩陣，而這正是與旋轉機械轉子密切相關的特色。轉子動力學的很多現象和問題都與這些矩陣有關。
展開 模態分析影響因素及模態分析應用
2.模態理論方程說明
模態計算為自由振動，因此模態計算的有限元控制方程為：
（1）
式中：[M]-總體質量矩陣，[C]-總體阻尼矩陣，[K]-總體剛度矩陣，但是在實際工程應用中，大部分的結構阻尼較小，因此可以忽略上式中的阻尼矩陣（阻尼比超過0.2的結構，必須考慮），則上式可以變為：
（2）
由于模態計算中，認為結構是線性的，即具有恒定的總體質量矩陣和總體剛度矩陣，因此可以假設（2）式的通解形式為
（3）
將（3）式代入（2），則可以將時間變量消去，得到
（4）
上述方程的成立的兩種情況：
（1），則表明結構沒有振動，這個情況不考慮舍去
（2）
所以，對于無阻尼模態計算，最后將一個時域控制方程轉換為一個矩陣的特征值求解問題。
3.模態分析影響因素
由（4）式可知，影響模態的主要因素，就是結構的剛度矩陣和結構的質量矩陣。在有限元計算中，一旦確定計算對象的材料參數，則質量矩陣式確定的，但是結構的剛度矩陣會與約束，載荷，結構等有關系。本文將影響結構剛度的因素歸結為：
1）材料屬性，即彈性模量，該參數會影響到結構剛度；
2）結構特征，即產品的結構特點，比如加強筋的位置數量等；
3）連接剛度確定，連接剛度即單體部件的約束方式和裝配體部件中不同子部件的連接剛度，這個對實際產品的模態結果影響較大，目前在有限元計算中，主要采用線性攝動方，間接考慮這些非線性因素。
4）有限元計算約束，如圖所示，不同的約束位置和類型，對模態的計算結果影響很大，因此在選擇約束方式、類型和位置上，一定要確定與產品的實際工況盡量一致。
5）預應力，這個因素主要是由于預應力，導致了結構產生了預變形，而這個預變形也會影響到結構剛度，常見的預應力包括重力，離心力，熱應力，螺栓預緊力。
展開 干貨分享：在NASTRAN中創建和使用外部超單元 ￥5
其有以下幾個優點：
縮減的矩陣可以連接到外部殘留結構，并且保持完整結構一樣的特性；
外部超單元可以很容易的以很高時間效率被使用，極大的縮短了計算時間；
使用外部超單元，可以把材料、屬性和結構等設計信息進行保密；
外部超單元可以做到不恢復數據的情況下對某些關鍵結果進行評價審核；
外部超單元文件客戶很方便的在各個設計組織中傳遞；
2 如何創建外部超單元
創建外部超單元當然少不了EXTSEOUT關鍵字：
在計算文件中寫入該關鍵字，即默認把結構的剛度矩陣、質量矩陣、粘性阻尼矩陣、結構阻尼矩陣、靜態載荷矩陣和流固耦合矩存儲到外部文件中，默認存儲的外部文件是MASTER和DBALL格式文件中，當然，你也可以選擇把這些信息存儲到op2、punch或者op4文件中，存儲的文件格式不同，數據恢復也不一樣，但大體類似。以下以存儲到MASTER和DBALL文件中的為例，簡單闡述創建外部超單元的方法。
2.1 首先在NASTRAN控制設置SCR=NO
現在計算機為了計算之后騰出空間，一般設置成SCR=YES，即計算之后把MASTER和DBALL文件刪除，但刪除了即無從數據恢復了，所以這兩個文件必須在計算之后留下來，SCR=NO即可。
2.2 定義輸出請求
在CASE CONTROL部分定義：
EXTSEOUT(ASMBULK EXTID=10)
或者
EXTSEOUT(ASMBULK EXTID=10 DMIGDB)
或者
EXTSEOUT(ASMBULK EXTID=10 MATRIXDB)
即超單元編號為10，以MATRIXDB/MATDB and DMIGDB格式存儲矩陣信息。
展開 
Transient structural與Explicit dynamics區別
在用有限元求解靜力學問題時主要是求矩陣方程組的問題，如下所示，只需要考慮結構的剛度矩陣。
當考慮動力響應之后，除了考慮剛度矩陣還需要考慮質量矩陣和阻尼矩陣，分別計入速度和加速度的影響，也即阻尼力和慣性力的作用，因而求解動力學問題的方程可表示為：
[M]表示質量矩陣，[C]表示阻尼矩陣。上式是動力學的基本方程，屬于二階常微分方程。在靜力學與動力學問題中，剛度矩陣是一樣的。
2 Transient structural與Explicit dynamics區別
Transient structural（瞬態動力學分析）與Explicit dynamics（顯式動力學）都是用于解決隨時間快速變化的載荷作用下結構的響應問題，兩者最大的區別在與兩者的求解問題的方式不同，Transient structural是基于隱式解法（求解當前的時間步還需要用到后面時間步的信息），采用迭代的方式求解方程，而Explicit dynamics則是采用顯式解法（只根據前面的時間步就可以得到當前的解答了），一般不涉及迭代！一般而言，顯式解法面對的都是時間很短暫的問題，例如沖擊，碰撞，波的傳播等，往往在1second 內，隱式解法所面對的時間則要較長一些，1second 以上。如果換成用速度來衡量的話，顯式動力學一般用于高速，隱式則低速！
3.1 隱式算法
隱式算法對應NewMark法，計算需要迭代。隱式算法在每一增量步內都需要對靜態平衡方程進行迭代求解，并且每次迭代都需要求解大型的線性方程組，這一過程需要占用相當數量的計算資源、磁盤空間和內存。理論上在這個算法中的增量步可以很大，但是實際運算中上要受到接觸以及摩擦等條件的限制。隨著單元數目的增加，計算時間幾乎呈平方次增加。由于需要矩陣求逆以及精確積分，對內存要求很高。
展開 【JY】淺析時程分析中的阻尼設置
通常可以再增加剛度比例阻尼進行抑制，（但如果這樣做，不如直接采用瑞利阻尼），通常建議是：
如果模態阻尼影響的最高階模態頻率為??，可以指定頻率??的剛度比例阻尼為 0.2%，指定頻率10??為 2%，這樣給不受模態阻尼衰減的高頻提供阻尼。
比例阻尼 (瑞利阻尼)
瑞利阻尼通常用于直接積分法中，其將阻尼矩陣強行解耦，使得矩陣密度和質量矩陣、剛度矩陣在同個量級。這種便捷的方式，使得直接積分法計算速度加快（相對采用模態阻尼的直接積分法）。相關推文可看：
【JY】結構瑞利阻尼與經濟訂貨模型
上述文章已經詳細闡述，對于瑞利阻尼不過多贅述。比例阻尼的來源依然是材料阻尼、工況定義的系統阻尼，并且模擬直接積分使用的阻尼比值不允許超過 1。
來自材料的比例阻尼：來自荷載工況的比例阻尼：
完
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展開 基于反應譜的隔震結構分析方法探索
▉ 基于反應譜的隔震分析方法——CCQC+迭代
1、減震系數法本質上是簡化方法，值得商榷
2、傳統的振型分解反應譜法用于隔震分析的主要不足
a：非均勻阻尼問題（已基本解決，周錫元院士CCQC法）
b：非線性問題（需要引入迭代分析）
c：減震效果不理想（減震系數偏大，約為FNA時程法的1.5-1.9倍）
▉ 基于反應譜的隔震結構分析方法——CCQC基本思想
1、基于復模態及狀態變量（數學處理方法）
a：自振頻率和振型都是復數
b：2N階狀態變量（N階位移向量+N階速度向量）
2、針對隔震結構，CCQC法的重要特點
a：結構總阻尼矩陣：由所有單個構件的阻尼矩陣組裝形成
（解決了非均勻阻尼問題）
b：振型：關于阻尼矩陣正交
（能夠采用振型分解反應譜法求解的必要條件）
▉ 基于反應譜的隔震結構分析方法——PMSAP
▉ 基于反應譜的隔震結構分析方法——LRB滯回模型
等效線性：
用等效剛度考慮支座的剛度貢獻；
用等效阻尼比考慮支座的耗能貢獻。
▉ 基于反應譜的隔震結構分析方法——迭代分析
迭代收斂的含義：
以當前的支座等效阻尼和等效剛度作為分析模型的輸入參數，經計算分析即可得到當前的支座位移，同時，在當前的支座位移下，根據支座的滯回模型正好也能提供相同的等效阻尼和等效剛度。假定與實際結果一致（即誤差不大于限值）。
展開 ANSYS剛度矩陣的提取與解析(python解析）
就ansys如何提取剛度矩陣、如何解讀提取的文檔以及利用Python進行解析。
在workbench中實現整個過程的參數化過程除了前幾次文章介紹的模型與網格，還應該包括材料參數的參數化定義。利用Python進行二次開發能夠實現材料參數的自由定義，比如來源于excel表格或者文檔的數據，通過Python代碼的自動讀取，參與到實際的有限元分析進程中。
結構有限元最后的求解過程總是歸結到求解一個大型矩陣方程Ax=b，對于一些情況還需要考慮質量矩陣M和阻尼矩陣C。有限元程序在組裝完所有單元的剛度矩陣后，考慮模型所施加的約束和載荷，最終將剛度矩陣進行一些處理，例如乘大數法，變成Ax=b的形式，其中A是剛度矩陣，b是節點載荷，x為待求的節點位移，A和b全為已知量。
基本上各類有限元軟件均能夠提取模型的剛度矩陣，此次針對剛度矩陣的提取與解析做一個例子，采用的軟件是ANSYS經典。
在ANSYS中建立一個簡單的模型，劃分網格后共12個節點，定義材料參數，施加約束和載荷后求解。有限元模型如下所示。
待求解結束后，會在工作目錄下生成一個后綴為full的文件，之后即可進行剛度矩陣的提取。
通過主菜單，如下所示。
選擇Matrix后，彈出如下所示的界面。
其中，File to be read需要指定工作目錄下生成的full文件，Name of file to write為所導出剛度矩陣的文件名稱；Output matrix file format表示文件格式，還有Binary，生成的是文檔文件，選擇Ascii即可；Matrix to write表示輸出的是剛度矩陣/質量矩陣還是阻尼矩陣；RHS選項表示是否同時輸出右端項，也即是Ax=b中的b。
打開生成的剛度矩陣文檔，如下所示。
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