一般模態分析時，在有限元軟件Patran&Nastran選擇的是Normal Mode（實模態）求解器，而進行轉子的臨界轉速分析時卻要求選擇Complex Mode（復模態）求解器。實模態和復模態有什么不同？這里不做過多的解釋，只介紹簡單的概念。

一般物理系統的自由振動方程為

其中，[M]、[C]和[K]分別表示質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

模態分析本質上就是需要對上述方程進行特征值求解。一般情況下，阻尼對模態分析結果的影響不大，在進行模態分析時會忽略阻尼的影響，所以上述一般物理系統的自由振動方程為

對于方程（1），在Matlab中需要先對方程（1）進行降階，再進行特征值求解；對于方程（2），在Matlab中是可以直接進行特征值求解的。

轉子系統的自由振動方程為（忽略阻尼）

其中，[G]為回轉矩陣，是一個反對稱矩陣，且主對角元素為0。因為轉子臨界轉速分析時要考慮陀螺力矩的影響，所以轉子自由振動方程中包含有回轉矩陣。顯然，方程（3）與方程（1）在形式上類似，使用Matlab進行特征值分析時，需要先降階再求解。

下面給出一個簡單例子，以幫助理解這些情況。定義如下矩陣：

1.考慮無阻尼的情況

考慮質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C0]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為

2.考慮比例阻尼

比例阻尼，即阻尼與系統的質量和/或剛度成比例?？紤]質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C1]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為

注意到這組特征值求解得出的模態振型與無阻尼的情況相同，這是因為阻尼與系統的質量和/或剛度成比例。上述兩種情況產生的模態稱為“實模態”。顯然，無阻尼和比例阻尼計算出的模態振型完全相同。

3.考慮非比例阻尼

非比例阻尼不與系統的質量和/或剛度成比例?？紤]質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和阻尼矩陣[C1]，由這組矩陣的特征值求解產生的特征值、留數和振型為

對于這種情況，模態振型不同于前面的兩種情況。首先，模態振型是復數值。仔細檢查這些振型，可以看出每階模態的各個自由度之間的相對相位關系已不再是完全同相位或反相位了。這種情況下產生的模態稱為“復模態”。這跟前面兩種情況大不相同。系統阻尼與系統的質量和/或剛度不相關時，得出的模態就為復模態，此時的阻尼稱為非比例阻尼。

實模態的一些特征：

1）通過駐波描述模態振型，而這些駐波的節點位置是固定不動的；

2）所有點同一時刻通過它們的極大和極小位置處；

3）所有點同一時刻通過零點位置；

4）模態振型為帶符號的實數值；

5）結構上所有點同任何其他點，要么完全同相位，要么完全反相位；

6）無阻尼得到的模態振型與比例阻尼得到的模態振型相同，這些振型解耦質量、阻尼和剛度矩陣。

復模態的一些特征：

1）通過行波描述模態振型，節點似乎在結構上移動；

2）所有點不在同一時刻通過它們的極大值位置處，其中有一些點似乎落后其它點；

3）所有點不在同一時刻通過零點位置；

4）模態振型不能用實數描述，為復數；

5）不同自由度之間相位關系一般，沒有完全同相位或者完全180度反相關系；

6）由無阻尼情況得到的模態振型將不能解耦阻尼矩陣。

為了更加形象地描述這些特征，給出了懸臂梁某階模態所對應的實模態振型和復模態振型。圖1為實模態，自由度之間的相對相位關系完全同相位（如圖中藍色和紅色表示的自由度，0度）或者完全反相位（如圖中的綠色表示的與藍色和紅色表示的自由度，180度）。而復模態不具有這種簡單的相位關系，模態振型必須通過幅值與相位或者實部與虛部兩者同時描述，如圖2所示。

                                                                圖1 實模態示意圖

                                                                             圖2 復模態示意圖

4.考慮回轉矩陣（反對稱矩陣）

考慮質量矩陣[M]、剛度矩陣[K]和回轉矩陣[G]，由這組矩陣的Matlab特征值求解產生的特征值和振型為

注意到這組特征值求解得出的模態振型與無阻尼的情況在形式上是類似的。考慮陀螺力矩（回轉矩陣）時，轉子系統在主振動中：1）各圓盤中心的軌跡是圓；2）表示各圓盤中心位移的復數向量都是同相或反相的，即軸線彎曲成一平面曲線。對于某階主振動，軸線或圓盤中心的軌跡如圖3所示。

                                                                                圖3 考慮陀螺力矩時轉子的渦動軌跡

R.參考文獻

1）Modal Space In Our Own Little World, Peter Avitabile

2）轉子動力學, 鐘一諤

來源：DeepFEA