Drucker-Prager
關注創(chuàng)建者：李安民 創(chuàng)建時間：2019-02-02
Drucker-Prager的視頻教程
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Drucker-Prager的實例教程
由于這些參數(shù)是為 Mohr-Coulomb 塑性模型提供的，因此必須將它們轉換為線性 Drucker-Prager 參數(shù)。 “擴展的 Drucker-Prager 模型”，Abaqus 分析用戶指南的第 23.3.1 節(jié)，描述了一種將 Mohr-Coulomb 參數(shù)轉換為等效線性 Drucker-Prager 參數(shù)的方法。出于這種轉換的目的，假設平面應變變形和相關的塑性流動規(guī)則，其中膨脹角等于材料摩擦角 。表 1.1.10-1 中給出了相應的線性 Drucker-Prager 參數(shù)和 d。這些值是使用 Abaqus 分析用戶指南中給出的表達式獲得的。
將雙曲線屈服函數(shù)化簡為線性形式需要將指數(shù)屈服函數(shù)化簡為線性形式，需要1.0 和 (
)–1。表 1.1.10–1 中給出了用于創(chuàng)建等效線性模型的指數(shù)和雙曲線屈服準則的材料參數(shù)。雙曲線和指數(shù)屈服準則都不能簡化為 0°（米塞斯屈服面）的線性模型。
雙曲線和指數(shù)屈服準則都使用子午應力平面中的雙曲線流勢。這種連續(xù)且平滑的流動勢能確保流動方向明確。該函數(shù)在高圍壓應力下漸近逼近直線 Drucker-Prager 流勢，但與靜水壓力軸相交成 90° 角。因此，該函數(shù)更適合作為 Drucker-Prager 模型的流動勢，而不是直線勢，其頂點位于靜水壓力軸上。
為了使雙曲線流勢盡可能與直線 Drucker-Prager 流勢匹配，該參數(shù)必須設置為一個較小的值。本例中假定指數(shù)模型的默認值為 0.1。該值確保使用該模型獲得的結果不會顯著偏離等效的直線流勢，除了圍繞三軸延伸點的子午面中的一個小區(qū)域。該區(qū)域的大小隨著減小而減小。對于需要線性流動勢來模擬非彈性變形的問題，很少需要修改此參數(shù)。減小到較小的值可能會導致收斂問題。。
展開 為了避免與尖角有關的問題, 另一個屈服準則——Drucker-Prager 屈服準則被開發(fā)了出來，它是通過對 von Mises 屈服準則進行修改而得到的，這一準則不僅將庫侖摩擦納入考慮范疇，還建立了與流體靜壓的依賴關系：
(5)
這個方程表示主應力平面內的平滑圓錐，而不是六棱錐。如果系數(shù)
和
與Mohr-Coulomb 準則中的系數(shù)互相匹配,即如下所示：
(6)
Drucker-Prager 屈服面會穿過 Mohr-Coulomb 六棱錐的內部或外部頂點，這取決于符號
為正還是為負。
塑性流動
方向來源于所謂的“塑性勢”,它既可以是與塑性勢的方向相同的，即與塑性相關；也可以不同，即與塑性無關，發(fā)生屈服現(xiàn)象(屈服函數(shù))。我們可以據(jù)此開發(fā)很多不同的非關聯(lián)流動法則。
在 Drucker-Prager 模型中，可以利用關聯(lián)法則使體積塑性流動不為零。因此，在施加壓力的情況下體積會發(fā)生變化。然而，這與許多土壤材料，特別是顆粒材料的行為是相矛盾的。相反，可以在塑性行為是等體積的（體積守恒）情況中使用非關聯(lián)流動法則，這能更好地反映顆粒材料的塑性行為。
Drucker-Prager 屈服函數(shù)表示法。
COMSOL Multiphysics 中土壤塑性的非關聯(lián)流動法則
接下來，我將向您展示如何借助 COMSOL Multiphysics 對土壤塑性使用非關聯(lián)法則。針對軟件的任意一種塑性模型，都可以使用非關聯(lián)塑性法則。
如果您選擇 Mohr-Coulomb 模型，有兩種不同的基本方法可解決非關聯(lián)塑性。
展開 材料屬性
使用修改的Drucker-Prager材料模型（TB,CONCR,,,DP）或Menetry-Willam材料模型（TB,CONCR,,,MW）定義混凝土材料。
指數(shù)軟化（TB,CONCR,,,HSD2）用于任一混凝土材料模型。
增強材料使用雙線性運動硬化模型。
1. Drucker Prager材料模型。
2. Menetrey Willam材料模型。
邊界條件和加載
由于對稱性，只考慮四分之一模型，外側邊緣固定在垂直y方向。
對稱平面xy和yz使用正常滾動邊界條件（即，固定xy平面上所有邊界節(jié)點的z方向，并固定yz平面上x方向上的所有邊界節(jié)點）來指定。
施加重力加速度（ACEL）后計算恒載。
在第二個時間步結束時，施加固體表面壓力載荷（SFA），最大壓力值為pmax=25 kPa。額外的表面壓力導致在大約118 kN的靜載荷之上額外的總載荷為600 kN。
分析和求解控制
使用初始Newton-Raphson方法進行非線性靜態(tài)分析。載荷極限（結構能夠承受的最大載荷）通過全局Newton-Raphson解的發(fā)散來確定。
在單個子步中計算原位應力狀態(tài)。
使用0.05的初始時間步長計算載荷極限。為了精確捕捉結構完整性損失，時間增量可以減少到0.001。
結果和討論
下圖顯示了兩種混凝土材料模型的總反作用力與混凝土板中心最大垂直位移的關系：
當結構以大約5.0mm（Drucker-Prager）或5.1mm（Menetry-Willam）的最大撓度倒塌時，可施加大約610 kN（使用Drucker-Prager）或655 kN（使用Menetry-Wilam）的總最大力。
展開 圖2 地層有限元模型
模擬參數(shù)
地表土層與泥巖層
對地表土層S1、T1與深部泥巖層U1和L1使用Drucker-Prager塑性模型建模，其彈性和非彈性材料屬性均列于表1中。本例使用沒有中間主應力效應的Drucker-Prager模型的線性形式，因此流應比，即三軸拉伸強度與三軸壓縮強度之比k=1；該模型假設為流動法則非關聯(lián)，即在式（1）塑性本鉤矩陣中屈服面、加載面（后續(xù)加載面）與塑性勢面不同，即材料剛度矩陣不對稱，因此，使用非對稱矩陣存儲和非對稱求解器解可以顯著改善該非線性解的收斂性；硬化/軟化行為是Drucker-Prager塑性材料定義的擴展，其數(shù)據(jù)列于表1中。因為這些層位遠離頻繁加載，所以可不考慮蠕變。
式（1）
表1 地表土層與泥巖層Drucker-Prager模型參數(shù)
蠕變特性顯著的中間層
D1到D7使用改進的Drucker-Prager Cap塑性模型模擬，材料屬性數(shù)據(jù)列于表2中。因其考慮蠕變，因此須k=1.0，且剪切破壞面與蓋帽間不可有過渡區(qū)域（即0）；硬化/軟化行為通過屈服應力與體積應變的關系曲線定義，數(shù)據(jù)列于表2中；初始蓋帽屈服面的位置設定為0.02，如果應力位于蓋表面之外，Abaqus會自動調整蓋屈服面的位置。
表2 D1到D7層Drucker-Prager Cap模型參數(shù)
使用式（2）所示Singh-Mitchell蠕變模型對固結蠕變進行模擬。 蠕變模型參數(shù)表3所示，其為溫度的函數(shù)，在cap creep model中指定，如圖3所示。
展開 常見的有Mises屈服，tresca屈服，Drucker-prager屈服，Mohr—Coulomb屈服等。如果以主應力分量建立笛卡爾坐標系，則這些屈服條件在坐標系中可表征為一個曲面形狀。常見的屈服面形狀如下圖：
其中，Mises屈服面和Drucker-prager屈服面是光滑的，沒有棱角，而Tresca屈服面和Mohr—Coulomb屈服面具有棱角，而這種有棱角的屈服面在塑性計算時編程會更為復雜，因為涉及到棱角處屈服面擴張的方向的確定。同時，Mises屈服和Tresca屈服存在一定關系，Drucker-prager屈服和Mohr—Coulomb屈服也存在一定的對應關系。
流動法則主要是表征進入塑性后塑性應變的流動方向，即進入塑性后各個方向塑性應變的具體分量是如何計算出來的。
如果上式中的采用屈服函數(shù)F，則這種流動法則稱為關聯(lián)流動法則，否則稱為非關聯(lián)流動法則。在關聯(lián)流動法則下，塑性應變增量的方向與屈服面的方向垂直。
硬化準則常見的有三種：各向同性硬化，隨動硬化和混合硬化，最后一種是前兩者的結合，目前已完成混合硬化子程序的編寫。前者表明屈服函數(shù)隨著等效塑性應變的增大，屈服面不斷擴大。后者表明屈服面隨著塑性流動的發(fā)生屈服面本身的形狀不變，但是位置發(fā)生移動。如果對于單向加載，同樣參數(shù)下，各向同性硬化和隨動硬化沒有區(qū)別。在往復加載下，隨動硬化的反向屈服強度會降低，這種行為叫做包辛格效應。
二維應力狀態(tài)下的各向同性硬化與隨動硬化
隨動硬化又可以分為Prager演化和Ziegler演化。對于三維實體單元，平面應變單元，軸對稱單元，二者一般沒有區(qū)別，對于平面應力單元，二者有所區(qū)別。
展開 
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工程界目前傾向于采用兩類策略：
第一類是基于Drucker-Prager或Mohr-Coulomb這類原本用于巖土材料的屈服準則，通過引入靜水壓力項來修正拉壓不對稱性；
第二類則是采用專為聚合物開發(fā)的半解析模型，如SAMP-1（Semi-Analytical Model for Polymers）。
① 若僅定義材料拉伸特性，與 mat_24 類似，使用 Von Mises屈服面，僅需一條特性曲線；
② 若同時定義材料拉伸、壓縮特性，使用 Drucker-Prager屈服面，需要兩條特性曲線；
③ 若定義拉伸、壓縮、剪切、多軸材料特性，使用 Isotropic Quadratic屈服面，需要多條特性曲線，如下圖所示。
巖土工程常用的Mohr-Coulomb模型和Drucker-Prager模型為理想彈塑性本構模型，MCC模型為硬化彈塑性模型，難以同時反映土體的剪切硬化和壓縮硬化，采用Mohr-Coulomb強度理論作為屈服準則，從Vermeer雙硬化模型發(fā)展而來的硬化土（HS）本構模型[2]作為一種雙屈服面硬化彈塑性本構模型，在描述軟土和較硬土的變形特性上有較好的表現(xiàn)[3]。
關鍵詞：常規(guī);試驗;疲勞;組成分析;主應力;巖土力學;
1 常規(guī)巖土力學仿真中的主應力分布特點
為實現(xiàn)對巖土力學試驗的仿真，開展研究前，引進Mohr-Coulomb（莫爾-庫倫強度理論）、Drucker-Prager(DP準則），將其作為參照，進行巖土材料在力學性能試驗中應力分布的研究[1]。
[8] 張小波，趙光明.基于Drucker-Prager屈服準則的圓形巷道圍巖彈塑性分析[J].煤炭學報，2013,38(增刊1):30-37.
[9] 孔超，仇文革，章慧健，等.考慮中間主應力對隧道圍巖穩(wěn)定性的影響[J].中國鐵道科學，2015,36(4):67-71.
對于陶瓷材料Abaqus幫助中給出了3種本構模型，Extended Drucker-Prager本構（以下簡稱DP本構）、JH-2和JHB本構模型。
對于陶瓷材料Abaqus幫助中給出了3種本構模型，Extended Drucker-Prager本構（以下簡稱DP本構）、JH-2和JHB本構模型。
該損傷準則可與狀態(tài)方程和不同的塑性模型（如Mises、Johnson-Cook、Drucker-Prager和Hill）一起在Abaqus中使用。
損傷初始化
該模型假設啟動損傷時的等效塑性應變εplD是應力三軸度和應變率的函數(shù)。當材料積分點滿足以下條件時，損傷啟動即發(fā)生。
這里，ωD是隨著材料中的塑性變形單調增加的狀態(tài)變量，η是應力三軸度，而ε.pl是等效塑性應變率。
該損傷準則可與狀態(tài)方程和不同的塑性模型（如Mises、Johnson-Cook、Drucker-Prager和Hill）一起在Abaqus中使用。
損傷初始化
該模型假設啟動損傷時的等效塑性應變εplD是應力三軸度和應變率的函數(shù)。當材料積分點滿足以下條件時，損傷啟動即發(fā)生。
這里，ωD是隨著材料中的塑性變形單調增加的狀態(tài)變量，η是應力三軸度，而ε.pl是等效塑性應變率。
該模型實現(xiàn)了各向異性拉伸損傷(Rankine準則)的評估，并考慮了多軸約束的壓縮剪切損傷(Drucker-Prager準則)。因此，在這個模型中，連接在樁底座上的損傷可以被更好地定位。
計算網(wǎng)格由105,000個線性單元組成，以年為時間步長進行，每一步計算約15分鐘。在施加位移約束的情況下，這種類型計算的主要困難在于確定地質運動現(xiàn)象開始的日期。
