1 陶瓷本構(gòu)模型簡介

陶瓷是一種典型的脆性材料，可采用Wilkins、Rajendran-Grove、Johnson-Holmquist（JH）和Deshpande-Evans本構(gòu)模型描述其在高應(yīng)變率加載下的響應(yīng)情況，其中JH模型是目前數(shù)值計算領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的陶瓷本構(gòu)模型，如圖1所示。JH-1本構(gòu)模型是Johnson和Holmquist于1992年提出的第一個脆性材料的本構(gòu)模型，采用分段函數(shù)的方式描述了脆性材料壓力和強(qiáng)度的關(guān)系（JOHNSON G R, HOLMQUIST T J. Shock Wave and High Strain Rates Phenomena in Materials, 1992: 1075-1081）；JH-2模型（1999年）在JH-1模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了歸一化處理，并將描述壓力和強(qiáng)度的分段函數(shù)寫成了連續(xù)函數(shù)（JOHNSON G R, HOLMQUIST T J. Journal of Applied Physics, 1999,85(12): 8060-8073）；為能更好的描述AlN陶瓷在高應(yīng)變率下的響應(yīng)，2003年Johnson、Holmquist和Beissel在JH-1模型的基礎(chǔ)上考慮了材料的相變特性，提出了JHB模型（JOHNSON G R, HOLMQUIST T J, BEISSEL S R. Journal of Applied Physics, 2003,94(3): 1639-1646）；2005年Johnson和Holmquist兩人給出了確定JHB本構(gòu)模型參數(shù)的過程，并基于試驗(yàn)結(jié)果給出了校準(zhǔn)后SiC陶瓷的JHB本構(gòu)模型參數(shù)（HOLMQUIST T J, JOHNSON G R. Journal of Applied Physics, 2005,97(9): 93502）。

圖1 3種JH陶瓷本構(gòu)模型

（圖片引自Numerical simulation of ballistic impacts on ceramic material. A.P.T.M.J. Lamberts. Eindhoven University of Technology, 2007）

雖然Johnson、Holmquist等人對陶瓷的本構(gòu)模型開展了大量的研究，將陶瓷材料的響應(yīng)分為完整和失效兩種狀態(tài)，但實(shí)際加載時應(yīng)力狀態(tài)較為復(fù)雜，通過JH本構(gòu)模型反映其損傷失效過程仍較為粗糙?，F(xiàn)有的JH本構(gòu)中，彈性未損傷段參數(shù)多為根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得出，但陶瓷損傷失效段參數(shù)則多為根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果擬合得出。

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2 數(shù)值計算軟件中本構(gòu)模型

陶瓷由于其波速高、模量大，具有良好的抗侵徹性能，在各類型裝甲設(shè)計中被廣泛應(yīng)用。而JH本構(gòu)形式簡單，易于理解，已成為Abaqus、LS-DYNA和Autodyn等商用軟件的內(nèi)嵌本構(gòu)模型，可一定程度上滿足日常使用及工程計算要求。

對于陶瓷材料Abaqus幫助中給出了3種本構(gòu)模型，Extended Drucker-Prager本構(gòu)（以下簡稱DP本構(gòu)）、JH-2和JHB本構(gòu)模型。DP本構(gòu)多用來模擬巖土材料（粒狀土壤和巖石），擴(kuò)展DP本構(gòu)給出的應(yīng)力與壓力的關(guān)系也與JH本構(gòu)中未損傷時應(yīng)力與壓力的關(guān)系類似，其損傷段定義采用等效塑性應(yīng)變與應(yīng)力三軸度的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行定義，狀態(tài)方程采用Mie-Grüneisen形式（詳見Abaqus相應(yīng)部分幫助）。

Abaqus官方幫助中給出的JHB本構(gòu)模型參數(shù)如表1所示。其中標(biāo)紅部分與Abaqus幫助（2021版本）不同，應(yīng)為幫助原文疏漏。

表1 JHB本構(gòu)模型參數(shù)

JHB本構(gòu)模型的應(yīng)力與壓力關(guān)系主要分為完整（Intact）和損傷（Failed）兩部分，表1中下標(biāo)帶有 i 的即為完整部分相應(yīng)參數(shù)，下標(biāo) f 即代表損傷部分參數(shù)；雖然JHB本構(gòu)模型公式中考慮了脆性材料的相變特性，表1標(biāo)藍(lán)部分參數(shù)應(yīng)為對應(yīng)的相變參數(shù)，但幫助中全部設(shè)置為0，推知官方幫助中給出的這組參數(shù)不能考慮陶瓷相變的影響。

Abaqus官方幫助中給出的JH-2本構(gòu)模型參數(shù)如表2所示。

表2 JH-2本構(gòu)模型參數(shù)

JH-2本構(gòu)模型以無量綱形式描述了應(yīng)力和壓力的關(guān)系，以Hugoniot極限下的壓力對壓力變量進(jìn)行了無量綱化。

JHB本構(gòu)模型狀態(tài)變量如表3所示。

表3 JHB本構(gòu)模型狀態(tài)變量

JH-2本構(gòu)中SDV7為體應(yīng)變，SDV8為材料點(diǎn)狀態(tài)MpStatus，與JHB本構(gòu)相比不輸出SDV7最大體應(yīng)變，其余6項(xiàng)狀態(tài)變量（SDV）與JHB相同。

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3 數(shù)值模型

模型為半徑5mm、長度10mm鎢合金棒材侵徹邊長50mm、厚6mm的陶瓷板四分之一模型，如圖2所示。侵徹速度1000m/s，模型整體進(jìn)行四分之一邊界約束，邊界面全部節(jié)點(diǎn)鉸支。所有單元為C3D8R單元，單元最小尺寸為0.25mm。

圖2 數(shù)值模型

為對比不同本構(gòu)模型的求解同一問題的差異，僅修改inp文件中本構(gòu)模型參數(shù)部分，提交計算，Abaqus2021版本求解器單精度8核并行求解。

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4 結(jié)果討論

4.1 數(shù)值計算結(jié)果

官方幫助中長桿金棒侵徹半無限陶瓷靶板時，金棒的侵徹深度隨時間的變化情況與試驗(yàn)值基本一致，如圖3所示。

圖3 官方幫助求解結(jié)果截圖

（官方幫助中試驗(yàn)數(shù)據(jù)引自Holmquist T J , Johnson G R . Journal of Applied Physics, 2005, 97(9):5858-753.）

3種陶瓷本構(gòu)模型參數(shù)保持不變，求解第3節(jié)中的工況。圖4為使用3種不同本構(gòu)模型時棒材尾端點(diǎn)速度降情況。由圖可知，0.015ms左右棒材已經(jīng)穿透陶瓷板，速度基本保持不變，但陶瓷板使用JHB本構(gòu)后棒材速度降約比其它兩種本構(gòu)模型高150m/s，與DP和JH-2本構(gòu)計算結(jié)果差別較大。

圖4 使用不同陶瓷本構(gòu)模型時的棒材速度降

圖5為0.02ms時陶瓷板的破碎情況。使用DP本構(gòu)的陶瓷板環(huán)裂不明顯，陶瓷錐明顯；使用JH-2本構(gòu)的陶瓷板環(huán)裂明顯，陶瓷錐較為明顯；使用JH-2本構(gòu)的陶瓷板無環(huán)裂和陶瓷錐出現(xiàn)，其主要原因是陶瓷單元過早刪除。

圖5 0.02ms時陶瓷板的破碎情況

4.2 分析與討論

由4.1節(jié)中數(shù)值計算結(jié)果可知，JHB本構(gòu)模型的求解結(jié)果與另2種本構(gòu)模型結(jié)果的存在明顯差異。其主要原因是不同本構(gòu)模型定義陶瓷材料的損傷失效模型存在一定差異，造成了JHB本構(gòu)模型單元失效快，棒材速度降低。而陶瓷本構(gòu)的損傷段參數(shù)往往都是根據(jù)試驗(yàn)擬合得出的，不能適應(yīng)所有的工況，故調(diào)整JHB本構(gòu)的損傷段參數(shù)，進(jìn)行重新求解，結(jié)果如圖6所示。此時速度降基本與其它兩種本構(gòu)模型一致，且陶瓷破碎出現(xiàn)陶瓷錐及環(huán)裂現(xiàn)象。

圖6 修正JHB損傷參數(shù)后的求解結(jié)果

根據(jù)3種本構(gòu)模型的損傷失效公式可知，本質(zhì)上DP和JH-2本構(gòu)是一種累積損傷失效模式，即理解為不同的損傷程度對應(yīng)不同的應(yīng)力壓力關(guān)系曲線，在損傷過程中對應(yīng)的曲線是不斷產(chǎn)生變化的，變化的過程是連續(xù)函數(shù)；而JH-1和JHB本構(gòu)模型在不同損傷程度時，僅對應(yīng)兩種狀態(tài)，即完整和失效兩種狀態(tài)，類似數(shù)字電路中的0、1，是不連續(xù)的間斷函數(shù)。

JH本構(gòu)模型本質(zhì)上是一種唯象本構(gòu)模型，是通過觀察到的現(xiàn)象來確定公式形式、耦合參數(shù)的。陶瓷的高應(yīng)變率的損傷失效行為是在微秒級甚至更小的時間尺度內(nèi)發(fā)生的，JH本構(gòu)模型通過較為簡單的公式很難精確反映其損傷失效過程。故采用單元失效來表征材料失效的方法難以對這類復(fù)雜的侵徹問題進(jìn)行求解，如需得出較為準(zhǔn)確而可靠的數(shù)值計算結(jié)果，在目前本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，還應(yīng)訴諸于以SPH為代表的粒子法處理這類問題。

JH本構(gòu)對求解的邊界條件敏感，改變單元的大小、整體的分布趨勢（如加密方式不同）及單元屬性（如四面體網(wǎng)格）等都將對計算結(jié)果造成影響。

最后，在實(shí)際工程實(shí)際使用當(dāng)中，個人認(rèn)為沒必要考慮哪種本構(gòu)更精確更可靠，其實(shí)它們"半斤八兩;，選擇自己熟悉且合適的本構(gòu)模型即可。當(dāng)使用一個本構(gòu)模型一直不能求解出滿意結(jié)果時，也不妨換個本構(gòu)模型嘗試一下。