為了保證巖土工程建設的安全性，在施工時要求具有特定地基和結構加固。實地測試的成本極高，因此仿真就顯得非常實用，甚至必不可少。人們開發了很多數值模型來深入研究土壤行為。在這里，我們將向您介紹 COMSOL Multiphysics 中用于研究土壤的運用最為普遍的模型，及對隧道開挖實例進行分析。

巖土工程快速入門

建筑界普遍存在這樣一個趨勢：海上結構物建造的水域越來越深；建筑物之間的距離越來越近；海上風力發電機建造在離海岸很遠的深海中，這使其可能面臨著極其嚴苛的負載條件。因此，近幾十年來，巖土工程師開發了多種數值仿真來應對這種建筑趨勢以確保建筑的安全性。

“Paris Metro construction 03300288-3″。已獲 Public domain 許可，通過 Wikimedia Commons 共享。

塑性與巖土材料

塑性是指材料能穩定地發生永久變形而不破壞其完整性的能力，金屬、土壤、巖石、混凝土等材料便具有這樣的特性。當造成彈性形變的應力上升到達一個特定的應力級別——屈服應力時，材料開始產生塑性形變。

彈/塑性行為是與路徑相關的，應力取決于材料的之前的變形行為。因此，塑性模型通常與應力變化速率直接關聯，而非應力和塑性應變。整個行業中應用最為廣泛、最著名的塑性模型是以 von Mises 屈服面為基礎的，該模型中塑性流動不因壓力的大小而改變。因此，屈服條件及塑性流動只以偏應力張量為基礎。

然而，因為分析土壤物質時需考慮摩擦和膨脹的影響，所以該模型對此類材料無效。讓我們來看看該如何解決這個問題，并簡單介紹一下 COMSOL Multiphysics? 仿真軟件中不同的土壤塑性模型。

土壤及巖石的塑性

對于土壤和巖石等材料，摩擦和膨脹的影響是不可忽略的。眾所周知，這類材料對壓力非常敏感，當施加壓力時會產生不同的拉伸和壓縮行為。因此，上文所述的 von Mises 模型不適用于這類材料，人們轉而通過求解屈服函數來研究摩擦材料的行為。

讓我們通過如下圖所示的滑塊來闡釋這類材料的摩擦行為和塑性流動。

如圖，向滑塊施加一個垂直載荷   及一個切向載荷  。假設滑塊被放置在一個帶有靜摩擦系數為   的表面上，根據庫侖定律，滑塊在滑動前可以承受的最大力為   。因此，當滿足以下條件時，滑塊開始滑動：

(1)

滑動方向為水平方向。對于切向載荷來說，當   時，滑塊不會滑動；當   時，滑塊將會向外加載荷   的方向滑動。第一個土壤塑性模型是在 Mohr-Coulomb 準則的基礎上開發的，它是對獲得連續材料和多軸應力狀態方法的一種概括。它被定義為：當任何平面內的剪應力與平均正應力的組合達到臨界條件時，材料開始屈服甚至斷裂。該臨界條件如下所示：

(2)

在這里，  是剪應力，  是垂直應力，  是內聚力，代表垂直應力為 0 時的抗剪強度，  是出自著名的庫侖摩擦模型的內摩擦系數。該方程代表 Mohr 平面內的兩條直線。當三個 Mohr 圓都位于這兩條直線之間時，應力狀態為安全；而當這三個圓中的一個與這兩條直線相切時，即為臨界狀態（材料開始屈服）。

Mohr-Coulomb 屈服行為。Mohr 圓以主應力   、  及   為基礎。正如你看到的，當其中一個圓與屈服面相切時，材料便會發生屈服。

如上圖所示，應力狀態按照 

 

   

這兩個公式進行計算。因此，屈服準則及方程 2 可以被廣義表達為以下形式：

(3)

它甚至可以被看作是以庫侖摩擦為基礎的更通用系列準則的一個特例，可以表達為以 應力張量的不變量 為基礎的方程式：

(4)

Mohr-Coulomb 屈服函數表示法。

Mohr-Coulomb 準則對主應力空間內的六棱錐進行了定義，這為直接對該準則進行分析提供了很大的便利。但是，由于尖角（例如屈服面的法線在尖角處是未被定義的）的存在，很難對本構方程從數值計算的角度進行處理。

為了避免與尖角有關的問題, 另一個屈服準則——Drucker-Prager 屈服準則被開發了出來，它是通過對 von Mises 屈服準則進行修改而得到的，這一準則不僅將庫侖摩擦納入考慮范疇，還建立了與流體靜壓的依賴關系：

(5)

這個方程表示主應力平面內的平滑圓錐，而不是六棱錐。如果系數   和   與Mohr-Coulomb 準則中的系數互相匹配,即如下所示：

(6)

Drucker-Prager 屈服面會穿過 Mohr-Coulomb 六棱錐的內部或外部頂點，這取決于符號   為正還是為負。 塑性流動 方向來源于所謂的“塑性勢”,它既可以是與塑性勢的方向相同的，即與塑性相關；也可以不同，即與塑性無關，發生屈服現象(屈服函數)。我們可以據此開發很多不同的非關聯流動法則。

在 Drucker-Prager 模型中，可以利用關聯法則使體積塑性流動不為零。因此，在施加壓力的情況下體積會發生變化。然而，這與許多土壤材料，特別是顆粒材料的行為是相矛盾的。相反，可以在塑性行為是等體積的（體積守恒）情況中使用非關聯流動法則，這能更好地反映顆粒材料的塑性行為。

Drucker-Prager 屈服函數表示法。

COMSOL Multiphysics 中土壤塑性的非關聯流動法則

接下來，我將向您展示如何借助 COMSOL Multiphysics 對土壤塑性使用非關聯法則。針對軟件的任意一種塑性模型，都可以使用非關聯塑性法則。

如果您選擇 Mohr-Coulomb 模型，有兩種不同的基本方法可解決非關聯塑性。由 Drucker-Prager 模型和Mohr-Coulomb 屈服函數可得到相同的塑性勢，但是其靜壓軸斜率不同，即膨脹角取代了摩擦角(如以下截圖所示)。

此外，當使用 Drucker-Prager 模型與 Mohr-Coulomb 準則進行匹配時,可以輕易地將膨脹角與您所需的非關聯法則進行匹配。例如，可通過膨脹角為零來求解上述非關聯法則。

最后要說明的一項要點是,我們開發了一種名為橢圓端蓋的實用特征來避免材料超出特定壓力范圍的非物理行為。事實上，真實材料維持彈性變形的壓力范圍并不是無限的。因此，我們可以使用 COMSOL Multiphysics 中的橢圓端蓋特征解決這個問題。

土壤塑性特征設置窗口。

讓我們利用目前學到的所有知識來分析隧道開挖實例。同時，我們也將借此機會找出上述不同特征所產生的效果。

隧道開挖實例

為避免建設過程中的塌方事故，工人需對隧道進行必要的加固。隧道開挖過程的模擬，對所需加固量的預測非常重要。

以下模型用于對隧道開挖過程中的土壤行為進行模擬。對不同土壤模型中的地表沉降（即沿自由地表的垂直位移）及塑性區域進行計算和對比。我們將要用到的幾何結構如下圖所示。為了讓我們的模型更加逼真，我們可以使用無限元來擴大土壤區域，同時保持足夠小的計算區域，以便在相對較短的時間內找出解決方案。

該幾何結構由 100 米深和 100 米寬的土壤層及另加 20 米的無限元構成。一條直徑為 10 米的隧道位于離對稱軸 10 米遠、離地表 20 米深的位置。

首先，需要在隧道開挖前在土壤中加入地應力。然后，我們可以計算在移除與隧道對應的土壤后的塑性行為。地應力須被并入第二步。這些操作可以直接在 COMSOL Multiphysics 中進行設置。

我們可以從添加一個計算地應力的固定步驟開始。然后，在第二步中添加土壤可塑性特征，并進行相同的計算步驟。最后，我們可以計算出結果。為了在第二步中加入預應力，我們可以在固體力學界面中加入預應力和應變特征，如下圖所示。

預應力和應變特征用于在隧道開挖時將第一步中的地應力作為預應力加入第二步中。變量 solid.sx 及 solid.sxy為應力張量的 x-分量及 xy-分量，其他參數也是如此。

第一幅圖顯示了由第一步計算得出的地應力。這些應力來自重力荷載。

隧道開挖前土壤中的 von Mises 應力。

第二幅圖顯示了隧道開挖后的應力分布。地應力由第一步計算得出。請注意，如所預見的，隧道周圍的 von Mises 應力及隧道形狀的變形將會增加。

隧道開挖后土壤中的 von Mises 應力。

如上所述，在移除隧道區域時會增加一個塑性特征，且土壤會經歷一個塑性行為。如下圖中帶有關聯塑性流動的 Drucker-Prager 模型所示。塑性區域集中在隧道周圍。對此區域的分析有助于深入研究導致土壤更容易發生變形的情況。因此，這有助于我們得出避免坍塌所需的加固量和所需的隧道形狀。

隧道開挖后的塑性區域。

我們對四種不同情況下的隧道開挖進行了仿真，以比較上文所述的不同土壤模型，以及研究內聚力對土壤行為的影響。其結果以地表沉降作為標準。

接下來，我們用一個一維繪圖來展示以下結論：內聚力越低，變形越大。需要注意的是，Mohr-Coulomb 模型中的土壤比 Drucker-Prager 模型中的土壤更堅硬。帶有零膨脹角的非關聯準則防止了土壤在壓力下膨脹，因此地表沉降愈發嚴重。

不同塑性模型與材料性質下的地表沉降比較。

本文來自 ：COMSOL 博客