有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實現(xiàn)方式研究系列29：幾何非線性的T.L.和U.L.轉(zhuǎn)換關(guān)系

SnowWave02

2020年10月28日 20:28

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1 概述

有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實現(xiàn)方式研究系列29：幾何非線性的T.L.和U.L.轉(zhuǎn)換關(guān)系的圖3 本系列文章研究成熟的有限元理論基礎(chǔ)及在商用有限元軟件的實現(xiàn)方式，通過

（1）基礎(chǔ)理論

（2）商軟操作

（3）自編程序

三者結(jié)合的方式將復雜繁瑣的結(jié)構(gòu)有限元理論通過簡單直觀的方式展現(xiàn)出來，同時深層次的學習有限元理論和商業(yè)軟件的內(nèi)部實現(xiàn)原理。

有限元的理論發(fā)展了幾十年已經(jīng)相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應(yīng)用過程中，商用CAE軟件在傳統(tǒng)的理論基礎(chǔ)上會做相應(yīng)的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現(xiàn)公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發(fā)人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內(nèi)部實現(xiàn)方式。

有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實現(xiàn)方式研究系列29：幾何非線性的T.L.和U.L.轉(zhuǎn)換關(guān)系的圖4

一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內(nèi)部修正方法，另一方面我們自己編程實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結(jié)果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內(nèi)部計算方法。我們關(guān)注CAE中的結(jié)構(gòu)有限元，所以主要選擇了商用結(jié)構(gòu)有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內(nèi)部實現(xiàn)方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數(shù)學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。

通用結(jié)構(gòu)有限元求解器iSolver介紹視頻：

有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實現(xiàn)方式研究系列29：幾何非線性的T.L.和U.L.轉(zhuǎn)換關(guān)系的圖6

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第29篇：幾何非線性的T.L.和U.L.轉(zhuǎn)換關(guān)系==

最近很多人問我們T.L.和U.L是否都可以用于幾何大變形問題，我們理解應(yīng)該都可以，因為雖然公式不同，但他們所用的物理量是可以相互轉(zhuǎn)換的，最終還是表達的同一套物理含義。本章將就最基本的應(yīng)變介紹一下他們的轉(zhuǎn)換關(guān)系的理論，同時采用Abaqus的一個簡單的算例來驗證他們的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

無論是T.L.還是U.L.，同一個物理量只是表達式不同，但在同一時刻下的數(shù)值肯定是一樣的，應(yīng)變能也不例外，所以：

這個等式說明T.L.和U.L.是可以通過各自應(yīng)力和應(yīng)變量的轉(zhuǎn)換而相互等價，最終都能得到正確解。區(qū)別在于選取的應(yīng)變和應(yīng)力度量和試驗怎么方便的對應(yīng)，有限元中應(yīng)變度量本身就是人為選取的，由位移總能得到各種應(yīng)變的度量結(jié)果，具體可看前面系列文章18：幾何非線性的應(yīng)變。但材料的各種試驗參數(shù)是真實的，必須通過試驗得到，而試驗中可測的量是有限的，有限元計算的應(yīng)變等人為度量量最終還是要和試驗對比，從這方面考慮也是Abaqus內(nèi)部主要采用U.L.的原因。

1.1 T.L.和U.L.的物理量的轉(zhuǎn)換關(guān)系理論

T.L.和U.L.的轉(zhuǎn)換關(guān)系主要包括三個物理量的轉(zhuǎn)換：

1.1.1 應(yīng)變的轉(zhuǎn)換

（1）T.L.采用的應(yīng)變是Green應(yīng)變。

（2）U.L.中，在本系列文章27：Abaqus內(nèi)部計算和顯示的應(yīng)變中，我們提到了Abaqus大變形下后處理顯示的都是真實應(yīng)變，但實際計算時采用了對數(shù)應(yīng)變和變形率積分兩種應(yīng)變度量方式，而對數(shù)應(yīng)變和T.L.中的Green應(yīng)變沒有直接關(guān)系，只有變形率積分度量方式和Green應(yīng)變有直接關(guān)系。變形率積分應(yīng)變和Green應(yīng)變的關(guān)系如下：

1.1.2 應(yīng)力的轉(zhuǎn)換

（1）在T.L.中，與Green應(yīng)變形成功共軛關(guān)系的是2nd PK力S。

（2） U.L.中，與變形率積分的應(yīng)變度量形成功共軛關(guān)系的是真實應(yīng)力，也就是Cauchy力。它們的關(guān)系如下：

1.1.3 本構(gòu)關(guān)系的轉(zhuǎn)換

（1）T.L.中，虛功原理需要對應(yīng)變能求導。

前面部分可以展開成應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣和應(yīng)變增量的積，對次彈性材料：

（2）U.L.中，同樣，對應(yīng)變能求導后，前面部分可以展開成應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣和應(yīng)變增量的積，且相對初始構(gòu)型，對次彈性材料：

在初始構(gòu)型下，上述兩者都表示初始構(gòu)型下的應(yīng)變能增量，那么得到

將應(yīng)變的關(guān)系表達式代入，同時約去應(yīng)變的導數(shù)，得到本構(gòu)關(guān)系的轉(zhuǎn)換如下，顯然與變形梯度F有關(guān)：

1.2 驗證模型選取原則

為了驗證T.L.和U.L.的等價轉(zhuǎn)換，我們需要在軟件或者編程中分別按兩種描述實現(xiàn)同一個物理模型，理論上按照上面的三個物理量的轉(zhuǎn)換，就能將T.L.描述完全轉(zhuǎn)換為U.L.描述，但在Abaqus中，并不是能直接找到同一物理對象的兩種描述方法，我們的選取原則如下：

（1）對T.L.描述，在本系列文章19：Abaqus幾何非線性的設(shè)置和后臺中，我們提到了Abaqus中只有梁殼模型由小應(yīng)變單元，此時虛功原理為T.L.描述方式。所以我們采用殼單元研究T.L.的結(jié)果。

（2）對U.L.描述，Abaqus中體和殼采用的應(yīng)變分別是變形率積分和真實應(yīng)變，由前所述，我們僅研究體單元的U.L.結(jié)果。

（3）在T.L.中我們采用最簡單的線彈性材料來描述本構(gòu)關(guān)系，正常來說，在U.L.中也應(yīng)該采用上面2.1.3對應(yīng)的U.L.的線彈性本構(gòu)關(guān)系，可惜的很，這種線彈性關(guān)系在Abaqus中自帶材料不存在。Abaqus在幾何非線性的U.L.描述中，對次彈性材料，Abaqus認為塑性大變形，彈性小變形，此時Abaqus采用的本構(gòu)關(guān)系矩陣和小應(yīng)變的完全一樣，也就是與變形梯度F無關(guān)，而不是2.1.3對應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。因此，我們只能采用UMAT自定義材料來設(shè)置U.L.的線彈性本構(gòu)關(guān)系。我們將在UMAT中實現(xiàn)St.Venant-Kirchhoff材料本構(gòu)模型，此模型下，U.L.的C2矩陣可以用B=F*F’簡單的表示為：

同時，由于Abaqus自帶的Fortran編寫復雜，我們在iSolver中采用Matlab的UMAT實現(xiàn)St.Venant-Kirchhoff材料。

1.3 Abaqus和iSolver的算例證明

1.3.1 模型描述

取一個長方體，參數(shù)如下：

尺寸：5X1X0.1

材料：Young’s Modulus 200， Poisson Ratio 0。

所有節(jié)點的yz方向約束，同時左側(cè)節(jié)點固支。

右側(cè)節(jié)點只有x方向加力，力的合力為5。

1.3.2 T.L.描述

采用殼單元建模，劃分為一個單元：

打開幾何非線性，且用S4R5單元：

材料為Abaqus自帶材料：

右端加集中載荷2.5，Abaqus計算得到最終的位移為9.575e-1：

1.3.3 U.L.描述

采用體單元建模，劃分為一個單元：

打開幾何非線性，且用C3D8R單元。

材料為UMAT自定義材料，在CAE中設(shè)置兩個參數(shù)200和0，在iSolver的UMAT.m中實現(xiàn)St.Venant-Kirchhoff材料。

右端加集中載荷1.25（合力還是1），調(diào)用iSolver計算得到最終的位移為9.617e-1，和T.L.的結(jié)果誤差為0.44%，基本一致。

1.4 視頻講解和操作驗證演示

如果覺得上面的文字太復雜，也可以看一下視頻的簡要講解，包括基于Abaqus和iSolver的操作驗證，地址如下：

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884 20理論系列文章29-幾何非線性的T.L.和U.L.轉(zhuǎn)換關(guān)系

==總結(jié)==

至此，我們可以說只要三個物理量實現(xiàn)轉(zhuǎn)換，整個T.L.的結(jié)果就和U.L.的結(jié)果完全一致。而如果其中有一項沒實現(xiàn)轉(zhuǎn)換，那么結(jié)果可能完全不一致，譬如U.L.中沒有將本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)換，而依然采用彈性的本構(gòu)關(guān)系，也就是采用Abaqus自帶的彈性材料，得到U=1.427，和T.L.的結(jié)果有很大差異：

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