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圖1 硬化土模型彈性階段應力-應變關系1.1 剪切屈服面HS模型的剪切屈服面可用如下公式表示：式中：Fs為剪切屈服函數；qa為極限偏應力；E50為對應50%強度時的割線模量；q為剪應力；Eur為卸載再加載模量；γ p為塑性剪切應變。

圖3 不同滑移系數目下的模擬應力——應變曲線與試驗曲線對比 圖4反映的是初始硬化模量h0對宏觀應力——應變曲線的影響，由圖可知，初始硬化模量h0的變化對屈服點處的數值大小幾乎沒有影響，但對塑性區的斜率有影響。

求解得到塑性乘子增量之后，即可更新：也可以更新塑性應變：1.3 一致性切線剛度矩陣umat除了要求更新應力以及狀態變量之外，還需要更新算法的一致性切線剛度模量。當沒有發生塑性屈服時，一致性切線剛度矩陣即為彈性矩陣。

/img.jishulink.com/msimage/202402/75334bcebf74f8bcc98e8eebfe627740.png"></p><p>分別代表楊氏模量、泊松比，初始屈服應力，以及等效塑性應變與隨動屈服應力的數據點。

，硬化模量，飽和強度，以及率相關系數構造為晶粒尺寸的函數，實現建立具有尺寸效應的多晶本構模型，這對目前金屬梯度結構介觀尺度下力學性能的表征具有一定的啟發性文獻一的研究使用Voronoi鑲嵌方法構建梯度納米晶結構，使用的本構模型如下：流動方程：硬化方程為：通過假設：單晶水平上的所有抗滑移參數與局部晶粒尺寸D的平方根成反比修正對應的參數為：其中彈性參數對應

屈服強度360 MPa，硬化模量0（理想塑性）如果材料有硬化（如 H' = 1000 MPa）：TBDATA,,360,1000 ! 屈服后模量1000 MPa（此時，塑性階段的切線模量 = E_t = H'）總結：TB,BKIN,2 → 定義材料2為雙線性隨動強化模型。TBDATA,,360,0 → 設置屈服強度360 MPa，無硬化（理想塑性）。

p class="ql-align-justify">完整的算法一致切線模量推導與實現</p><p class="ql-align-justify">PDF 包含規范化的本構方程、隱式積分、徑向返回與一致切線模量推導，可供初學者學習。

在塑性變形階段，對于所有考慮的晶體取向，鋸齒出現在應力-應變曲線上(圖4)，這是由于初始位錯密度無法應對變形過程中的應變速率造成的。CPFE模型在不同單晶取向下的初始滑移抗力s0由應力-應變曲線的初始屈服量估算而來。具體來說，CRSS是從DDD模擬的應力應變曲線中提取的。由于曲線波動明顯(圖4)，各晶體取向的提取值均表現為第一偏差線性，偏移率為0.02%，偏移率為0.04%。

具體公式如下真實應力與應變和名義應力、應變之間的關系如下8.模量最常用的三種模量分別為彈性（楊氏）模量E、剪切模量G、體積模量K彈性模量E是指材料在彈性變形范圍內(即在比例極限內)，作用于材料上的縱向應力與縱向應變的比例常數剪切模量G是指剪切應力與剪切應變之比體積模量K可描述均質各向同性固體的彈性，可表示為單位面積的力，表示不可壓縮性，是所受壓力變化與體積變化之比

可以看到J-C本構的主體由三部分構成，分別表征了材料的應變硬化、應變速率硬化（強化）以及溫度軟化，可以概括為“兩硬一軟”。A-參考應變率和參考溫度下的初始屈服應力，B和n-材料應變硬化模量和硬化指數，C-材料應變率強化參數，m-材料熱軟化指數。

案例介紹為驗證 UMAT 子程序的有效性，構建 NiTi 合金單向拉伸模型，參數如下：幾何尺寸：矩形試件，長寬高均為1mm；加載條件：位移控制加載，位移范圍0-0.05mm材料參數：楊氏模量 E=40GPa，泊松比 ν=0.33，初始屈服應力 σ0=353MPa，相變臨界應力 σ_f=381MPa（正向）、σ_s=141MPa（反向）。

，硬化模量，飽和強度，以及率相關系數構造為晶粒尺寸的函數，實現建立具有尺寸效應的多晶本構模型，這對目前金屬梯度結構介觀尺度下力學性能的表征具有一定的啟發性</span></p><p><span style="background-color: rgb(193, 230, 198);">文獻一的研究使用Voronoi鑲嵌方法構建梯度納米晶結構，使用的本構模型如下：</span></p><p><span

2.1 有限元模型的建立 薄鋼板采用Q235鋼，并考慮其實際工作情況，將其視為線彈性，鋼板彈性模量E取2.06×105MPa，泊松比ν取0.3；橡膠本構關系采用Neo-Hookean模型，橡膠剪切模量取0.55MPa，橡膠材料參數C10和D1分別取0.275MPa和0.001MPa；采用六面體單元劃分，薄鋼板采用三維8結點線性六面體非協調單元C3D8I，橡膠材料采用三維8結點線性六面體雜交單元

兩種應變硬化模型的特點：隨動硬化模型(Kinematic hardening)假設彈性范圍（初始屈服應力的兩倍）保持不變。彈性范圍的中心沿著虛線穿過原點，平行于應變硬化線。因此，線段b–e和f–g長度都相等，并且是o–a長度的兩倍。這種特性符合包辛格效應。

從圖4(b)可以看出，當SAG添加量大于0.7時，在前期，樣品拉伸粘度隨時間平緩上升，而在后段突然離開平臺區而迅速拉升，這一現象稱為應變硬化，與聚合物分子量，長支鏈結構，微交聯結構有關。此外，隨著SAG添加量提高，應變硬化現象越發明顯。在需要進行熔體拉伸變形的工藝如吹塑，發泡，應變硬化是一個關鍵參數。

應力設定在選項中，用戶需設定所有后熟化制程的參數，包含初始溫度、時間增量、退火時間、環境溫度vs時間、多段輸出設定、WLF方程式、Maxwell模型及硬化變動因子。注意：用戶能由動態力學分析 (Dynamic Mechanical Analyzer, DMA) 評估得到WLF方程式、Maxwell模型及硬化變動因子的所有參數。

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