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這一期就介紹計算宇宙年齡所需要數學知識，張量分析。恭喜你能讀到這里，下一次的推文中將從愛因斯坦場方程出發，推導出宇宙學領域的基本方程——弗里德曼方程。如果想了解更多有關張量分析的內容，可以后臺給公眾號發送信息，我會免費提供相關的書籍。也歡迎大家對我在文章中出現的錯誤進行指正。下載地址：張量分析

為邊界，f是V中和S上連續可微的向量場，取外法向向量面元dS， 正三角為拉普拉斯算子（Laplace operator），定義為梯度的散度 計算關系式： 下式f，g為標量 頭上有箭頭的a為標量 下載地址：張量分析第二版黃克智

li><li>守恒定律：包括質量守恒、動量守恒、動量矩守恒和能量守恒；</li><li>Piola-Kirchhoff應力張量：一種用于描述物體內部應力的張量；</li><li>本構方程原理：描述物體應力-應變關系的方程；</li><li>簡單物質、彈性物體、牛頓粘性流體、粘彈性物質：不同類型的物質模型。

在傳統觀念中，張量分析學主要是指張量微分學。現在，可以更新觀念：張量分析學包括了兩個對稱的理論體系：一個是張量微分學，另一個是張量變分學。 本文講述了一個對稱性故事，后續文章將講述對稱性故事的續集。 下載地址：變分學講義張恭慶

作用在球形粒子上的力 在更嚴格的推導中，我們改用電偶極子上力的矢量值關系： (5) 其中， 是粒子的電偶極矩。 為了獲得不同粒子的力，我們只需插入電偶極矩的各種表達式。在這個表達式中，我們還可以看到，如果電場是均勻的，就不會得到任何力(因為粒子很小，它的偶極矩被認為是一個常數)。

(矩孔衍射聚焦模型的光強分布圖)(矩孔衍射聚焦模型的光強分布圖)(坐標類型取對數，顯示模式設置為表面的光強分布圖)總結本案例借助 OAS 光學軟件成功構建并仿真分析了矩孔衍射聚焦模型，驗證了該軟件在處理復雜光學問題方面的有效性和準確性。

灰色曲線表示觀測值，藍色曲線表示GIA效應的影響為進一步討論全球地震變形的貢獻，他們利用發展的基于球形地震位錯理論的同震動力學參數變化計算方法，以及1976～2020年全球地震矩張量解目錄，計算了同震效應及其累積效應(圖2藍色曲線)；基于震后變形的數學表達式，通過選取合理的參數估計了全球震后變形的效應(圖2紅色曲線)。

第一種方法是四階配向張量封閉 (4th orientation tensor closure)，其包含三種模式：Hybrid (原始Moldex3D纖維配向計算分析模型)、ORE (正交性封閉近似模型) 以及 IBOF (正交性封閉近似修正模型)。這些模型的特性如下所列。

對于各向異性的滲透率，張量K構成組件代表著不同方向充填的難易程度。滲透率張量是由纖維布的排向和滲透率組成。K22 和K11 纖維布在平面的滲透率，而K33 這是厚度方向的滲透率。 其中 Kij (i, j = x, y, or z) 則是滲透率張量的分量，K11, K22, and K33 是在多孔介質的主滲透率，lij 局部坐目標方向余弦。

纖維方向張量值并非從每層的中央計算而得，而是從每層的接口間計算而得，因此對于具有n層的薄殼元素來說，會含有n+1個方向張量結果，每層的纖維張量結果會以特定的.ele.00y文件名儲存，此處y代表接口的數量，例如20層的薄殼元素會有從.ele.oo1到.ele.021個張量結果文件，每層接口的位置介于-1到+1之間，下圖是一個.ele文件的范例。

連續介質力學中的美可大致概括為：▌對稱美，對稱性在連續介質力學中無處不在，在本書幾乎每一個章節中都討論到了對稱性的問題；▌簡約美，“形式的簡潔性，內含的豐富性”是連續介質力學的基本特征之一，張量表示既可以體現出方程不依賴于坐標系選擇的深刻內涵，又可以使極為復雜的分量方程以極為簡潔的形式表示出；▌統一美，質量守恒、動量守恒、動量矩守恒和能量守恒方程不但是連續介質力學的核心內容

而在有限元分析法中，未知量為空間每個點的場分布，求解矩陣維度大于矩量法。矩量法的另一大優勢是，整個無限大的背景結構的信息已經包含在了格林函數之中，在進行計算時，它僅需對我們需要求解的金屬結構劃分網格，而不需對介質層劃分網格，因此網格數目會小于有限元分析方法。因此對于特定結構（3D層狀結構），矩量法求解速度快、消耗計算資源少。

表1 使用激光材料的主要物理性質稍后一個有限元瞬態熱分析被耦合到一個ANSYS中的靜態結構分析器，來研究SAC合金 (近似熔化溫度217 ℃)從230℃ 到22℃的冷卻過程，以及因此產生的組件裝配中的誘導應力。利用后處理分析，從激光元件內部的光束路徑中提取出矢量主應力，以研究器件的雙折射和可能出現的激光偏置。

纖維在全部方向出現的機率總和為1 配向向量p的定義二階纖維配向張量Aij如下所述。 若Aij為對稱張量，則滿足：Aij = Aji ,A11 + A22 + A33 = 1 .因為配向的張量矩陣是實數且對稱，所以有三個正交特征向量e1、e2 及e3，以及三個特征值λ1、λ2及λ3，每個特征值的范圍從0到1。

最近的研究表明，在低對稱單斜晶體中存在一種特殊的雙曲剪切極化激元（hyperbolic shear polaritons），由于單斜晶體介電常數張量的非對角化，其雙曲波前表現出明顯的鏡像對稱破缺，進一步增強了極化激元傳播的定向性。

操作界面Feko通常處理問題的方法是：對于電小結構的天線等電磁場問 題，FEKO采用完全的矩量法進行分析，保證了結果的高精度。

：張量簡介第 92 講 張量：列表 vs 數組 vs 張量第 93 講 張量：算術運算第 94 講 張量：張量運算第 95 講 張量：自輻射第 96 講 張量：活動解第 97 講 張量：分離梯度第 98 講 Tensor：加載 GPU第 99 講 NN 與 Tensor：模塊簡介第 100 講 NN（含張量）：基本 NN（第 1 部分）第