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同時(shí)作者使用了兩類疲勞指示因子（FIP）累計(jì)剪切滑移，累計(jì)塑性耗散，對(duì)影響材料的疲勞壽命的因素進(jìn)行分析。發(fā)現(xiàn)疲勞損傷有限萌生于三晶交叉位置，同時(shí)取向?qū)τ诮橛^尺度下應(yīng)力分布影響顯著。而對(duì)宏觀響應(yīng)影響則可以忽略理論部分框架基于黃經(jīng)典亞彈性框架，這里不再贅述。

在FCC晶體中，有12種滑移系統(tǒng)可能在塑性變形過程中被激活 通常，樣品的晶體學(xué)和應(yīng)力狀態(tài)是決定滑移系統(tǒng)是否活躍的主要因素。試驗(yàn)過程中試樣所經(jīng)歷的塑性來自于激活滑移系統(tǒng)的貢獻(xiàn)。臨界分辨剪切應(yīng)力是確定晶體滑移開始的標(biāo)準(zhǔn)，而FCC金屬材料塑性變形主要由位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)。以位錯(cuò)為內(nèi)變量的本構(gòu)方程可以對(duì)多晶材料的塑性變形做出更加物理的描述和預(yù)測(cè)，并與微尺度的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析。

變形結(jié)束后的應(yīng)力分布情況：變形結(jié)束后的累計(jì)剪切滑移：變形結(jié)束后的溫度場(chǎng)分布：

背應(yīng)力的演化遵循AF模型并使用原始的PAN模型描述滑移系統(tǒng)的硬化行為為了表征多晶的疲勞壽命，引入兩類疲勞指示因子分別為一：累計(jì)塑性滑移二：累計(jì)能量耗散

累計(jì)剪切分布云圖：總的固定位錯(cuò)密度分布云圖：可移動(dòng)位錯(cuò)密度分布云圖：滑移系統(tǒng)強(qiáng)度分布云圖：

接下來對(duì)比單次壓縮40%（左側(cè)）和20%remesh（右側(cè)）之后再壓縮20%的結(jié)果對(duì)比：應(yīng)力分布結(jié)果：累計(jì)剪切滑移分布：晶粒旋轉(zhuǎn)角度分布：累計(jì)剪切滑移------應(yīng)力曲線分布重劃分后應(yīng)力略低于不劃分單次壓縮的結(jié)果，其余結(jié)果網(wǎng)格重劃分和原始模型基本一致，驗(yàn)證了作者提出方案的準(zhǔn)確性。

在FCC晶體中，有12種滑移系統(tǒng)可能在塑性變形過程中被激活 通常，樣品的晶體學(xué)和應(yīng)力狀態(tài)是決定滑移系統(tǒng)是否活躍的主要因素。試驗(yàn)過程中試樣所經(jīng)歷的塑性來自于激活滑移系統(tǒng)的貢獻(xiàn)。臨界分辨剪切應(yīng)力是確定晶體滑移開始的標(biāo)準(zhǔn)，而FCC金屬材料塑性變形主要由位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)。以位錯(cuò)為內(nèi)變量的本構(gòu)方程可以對(duì)多晶材料的塑性變形做出更加物理的描述和預(yù)測(cè)，并與微尺度的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析。

盡管如此，作者提出的方法對(duì)更深入理解晶粒尺度的變形特征仍然有重要借鑒意義這里展示一下簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)效果：幾何模型：包含0.3mm*0.3mm包含67個(gè)晶粒的二維模型，包含90000個(gè)體素網(wǎng)格：邊界條件：施加X方向變形的周期性邊界條件，應(yīng)變?yōu)?%初始滑移系統(tǒng)的平均屈服強(qiáng)度：滑移系統(tǒng)1的初始屈服強(qiáng)度：滑移系統(tǒng)1的臨界滑移距離：累計(jì)taylor

并且很好二的表現(xiàn)了孿晶的出現(xiàn)，以及對(duì)于塑性變形的相對(duì)低的貢獻(xiàn)。

，即xfem擴(kuò)展有限元方案，基于該方法探討了四種常見的裂紋形核與擴(kuò)展準(zhǔn)則：（1）局部主應(yīng)力和對(duì)應(yīng)主平面的法線準(zhǔn)則（MAXPS）（2）局部主塑性應(yīng)變和對(duì)應(yīng)主平面的法線準(zhǔn)則（(MAXPPE）（3）局部最大滑移并且垂直于主滑移系統(tǒng)準(zhǔn)則（MAXSLP）（4） 位錯(cuò)儲(chǔ)能并垂直于主滑移系統(tǒng)能量準(zhǔn)則（MAXDIS）再研究裂紋形核與擴(kuò)展方面模擬能力的對(duì)比

拉伸變形結(jié)束后的累計(jì)剪切滑移結(jié)果：拉伸變形結(jié)束后的統(tǒng)計(jì)儲(chǔ)存位錯(cuò)密度分布結(jié)果：拉伸變形結(jié)束后的幾何必須位錯(cuò)密度分布結(jié)果：

，結(jié)果如下：等效應(yīng)力分布：累計(jì)剪切應(yīng)變分布：案例二：顯式與隱式多晶的簡(jiǎn)單壓縮對(duì)比（包含30個(gè)晶粒）（顯式開啟了質(zhì)量縮放）使用位移邊界條件，沿著X方向施加10%工程應(yīng)變的拉伸變形，其中等效應(yīng)力，累計(jì)剪切應(yīng)變以及滑移系統(tǒng)的當(dāng)前強(qiáng)度為對(duì)比指標(biāo)，結(jié)果如下：等效應(yīng)力分布：累計(jì)剪切應(yīng)變分布：滑移系統(tǒng)的當(dāng)前強(qiáng)度：

這樣一來，晶界對(duì)塑性滑移的影響就可以直接進(jìn)入滑移率方程：只有當(dāng)有效分切應(yīng)力足夠克服晶界障礙時(shí)，晶界附近的滑移才能繼續(xù)發(fā)展。這篇文章的另一個(gè)重要部分是位錯(cuò)重分配。作者把有限元單元中的位錯(cuò)內(nèi)容等效成“超位錯(cuò)”，再根據(jù)塑性滑移活動(dòng)對(duì)可動(dòng)位錯(cuò)進(jìn)行重新分布，并計(jì)算由這些位錯(cuò)分布產(chǎn)生的背應(yīng)力。

作者的思想彈塑性問題通常被定義為約束優(yōu)化問題，旨在尋找給定應(yīng)變?cè)隽康淖罴褢?yīng)力張量和內(nèi)部變量。在這樣的問題中，目標(biāo)函數(shù)是基于最大耗散原理定義的，約束是屈服函數(shù)。示意圖和公式為：以塑性變形率方程為切入點(diǎn)：λ為一致性參數(shù)在單晶中，整體塑性變形是多個(gè)滑移系統(tǒng)上滑移的結(jié)果。

相反，在部分透明邊界的情況下，位錯(cuò)堆積和應(yīng)力集中不那么明顯，因?yàn)橐粋€(gè)晶粒中的滑移可以以一定程度的連續(xù)性進(jìn)入下一個(gè)晶粒。對(duì)于完全透明的邊界，在晶界處沒有發(fā)現(xiàn)應(yīng)力集中，并且在邊界處存在應(yīng)變的連續(xù)性，對(duì)于受約束的周期性邊界條件，施加變形，并且對(duì)于不同類型的晶界，累積塑性滑移幾乎相同。

在Cu單晶沿[541]取向加載條件下，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線分成明顯的3個(gè)階段，即滑移階段A、孿生階段B及位錯(cuò)與孿晶交互作用階段C。為了深入揭示Cu單晶塑性變形過程中各滑移系和孿生系激活演化行為及孿晶對(duì)位錯(cuò)滑移的影響，圖3給出了[541]取向下Cu單晶拉伸變形過程中各滑移系和孿生系激活演化結(jié)果。

下圖為變形過程中Prismatic <a>和Pyramidal <c+a>滑移產(chǎn)生的位錯(cuò)密度以及總的位錯(cuò)密度變化，可以看到Pyramidal <c+a>滑移產(chǎn)生的位錯(cuò)密度與總的位錯(cuò)密度基本相當(dāng)，也側(cè)面反應(yīng)出該滑移激活對(duì)于整個(gè)塑性變形的貢獻(xiàn)極大，此外，在變形初期由于孿生的誘發(fā)，導(dǎo)致初期的位錯(cuò)密度增殖速率較慢。

圖2邊界條件示意圖 對(duì)于體心立方晶體來說，3個(gè)滑移系包括1個(gè)主滑移系和2個(gè)次滑移系。分別對(duì)包含1、2、3組滑移系開動(dòng)的情形進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖3所示，只有主滑移系 { 110} < 111 >啟動(dòng)時(shí)，應(yīng)力——應(yīng)變曲線在彈塑性區(qū)間過渡的位置存在明顯拐點(diǎn)，并與試驗(yàn)曲線吻合良好。