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聲音的傳播遵循波動方程，但是固體力學的波動方程和流體力學的波動方程只是在形式上相同，它們分別基于不同的控制方程（分別是拉梅方程和NS方程）建立的，且分別是拉格朗日描述和歐拉描述，當然這也分別是固體力學和流體力學慣用的描述方式。

但是這門課學起來會非常困難，有幾個原因：第一，大二學生剛學完微積分和微分方程，但不熟練；第二，大量的近似，讓人眼花繚亂；第三，大量的抽象的公式推導，很多公式的物理意義也難以理解（或缺乏明確的圖像）。那么，如何才能學好呢？兩個建議。第一，多證明一些基本的結論，多推導；第二，多用 Mathematica 的 NDSolve 和 Plot 等（也可以用其它軟件）做數值模擬，碰到不懂的，就先模擬畫圖看看。

牛頓第二定律---動量方程由連續性方程的推導可以看出，不同形式的方程之間可以相互轉化（運用斯托克斯公式可以推導），為篇幅原因，我們可以省去一些不必要的重復，下面僅給出一種流動模型的相關方程對于隨流體運動的微團c.

理解并推導連續性方程、動量方程（納維-斯托克斯方程）和能量方程，并詳細了解每一項的物理意義。 通過可視化動畫和工程實例，建立對控制方程的物理直覺。 為后續學習數值方法和商業CFD軟件打下堅實基礎。 課程要求 具備基礎高中數學知識和代數運算能力。 對流體力學、傳熱學或工程分析感興趣。

但是因為四面體單元相對簡單也可以直接從直角坐標（全局坐標）進行推導，具體推導過程可參考清華大學曾攀老師的課程，直接從直角坐標（全局坐標）進行推導的過程省去了等參單元雅各比矩陣呀等坐標系映射的各種概念，理解起來相對容易。公式（1）-（3）為彈性力學中三維空間彈性問題的完整描述，分別是空間問題的平衡方程、幾何方程、物理方程，這是我們推導有限元方程的基礎。這些公式會在后面的有限元方程推導過程中用到。

所謂本質論方法指的是物質的宏觀行為由粒子理論推導而來。而實際中，采用連續介質理論相對而言更加簡單實用，在工程領域應用極為廣泛。但也正是因為連續介質是數學上的一種抽象，在真實使用場景中也必須十分謹慎，要解決好連續介質觀點與粒子論觀點的協調——借助的工具是宏觀無限小—微觀無限大的物理模型。 連續介質力學的大致分類：流體力學、固體力學、流變力學。

</p><h3><strong>三、張量分析在連續介質力學中的應用</strong></h3><p><strong>張量分析為連續介質力學提供了不可或缺的數學工具，極大地便利了物理量的描述（應力、應變張量場分析）、坐標變換以及力學方程的推導（質量、動量、能量守恒方程推導）</strong>。不止如此，連續介質力學也為張量分析賦予了豐富的實際意義和應用價值。

事實上許多學者為了向世人證明LBM并不是天馬行空的猜想，使用嚴格的數學推導，基于LBM方程施加Kn數遠小于1的假設條件，推導出了N-S方程。 因此可以認為， N-S方程的描述是LBM在連續介質條件下的一個特例， 而玻爾茲曼則為世人提供了一個更為接近物理本源的恢弘視角看待流體。

就熱傳導問題而言，無論是結構力學還是流體力學都會涉及，兩邊都沒拿它當外人。前面的文章提到過，結構力學的有限元發展地非常成熟，大部分的剛度矩陣在文獻里面都推導好了。而流體力學的很多單元類型的有限元方程，可能需要自行推導完成。在熱傳導問題中，我采用加權余量法進行處理，推導出了符合結構力學有限元文獻中給出的剛度矩陣，殊途同歸。

作為力學筆記，本文只關注絕熱體積模量，因為無論固體力學還是流體力學，大部分情況對體積模量的運用都是從絕熱（等熵）過程出發定義的。流體力學中的一般氣體動力學便是一種理想絕熱模型（鑒于這里的理想和上面理想氣體的理想不是一個意思，所以后面敘述改為無粘流體）。

圖1 Jean-Marie Constant Duhamel（1797-1872） 1837年，杜哈梅將其研究成果在《巴黎理工學院學報》（J. de l'Ecole Polytechn）上，并利用他推導的方程求解了軸對稱溫度分布的圓柱體、及中心對稱溫度分布球體的熱應力問題，開啟了熱彈性力學的研究。

1、平面問題的平衡方程、幾何方程、物理方程平面問題的彈性力學基礎理論是推導有限元方程的基礎，所以先羅列出平面問題的平衡方程、幾何方程、物理方程，具體如公式（1）-（3）所示。至于這些方程的推導過程大家可以參考任意彈性力學課本，都會進行詳細的講解。

有限元思路搞結構力學有限元和其他方向有限元最大的區別是：結構力學有限元發展的太成熟了，桿梁板殼，各種模型的剛度矩陣前輩都給你推導好了。我在開發結構力學有限元求解器的時候，都是先去查資料，直接就把單元剛度矩陣拿過來用。

<p><br></p><p>這次我們談談流體力學理論知識-高斯公式，對雷諾輸運定理及流體力學三大守恒方程比較熟悉的同學，會發現這些方程在推導的過程中經常會出現高斯公式，當然還會出現咱們文章十二中講到的散度和梯度，這些都是流體力學基礎中的基礎。

它是將求解區域劃分為差分網格，用于有限個網格節點代替連續的求解域，然后將偏微分方程（控制方程）的導數用差商代替，推導出含有離散點上有限個未知數的差分方程組。 該方法的產生和發展比較早，也比較成熟，較多用于求解雙曲線和拋物線型問題。用它求解邊界條件復雜，尤其是橢圓型問題不如有限元法或有限體積法方便。 構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。

在彈性力學的學習中，數學推導求解較為繁瑣，學生容易在學習中產生畏難情緒，影響學習效果。考慮到Matlab-GUI具有編程簡單、界面友好等特點，開發彈性力學的推導、求解界面，將一部分數學推導工作交給計算機完成，學生可以集中精力加強對原理和數學邏輯的理解，這樣可在一定程度上降低彈性力學的學習難度。