這次我們談談流體力學理論知識-高斯公式，對雷諾輸運定理及流體力學三大守恒方程比較熟悉的同學，會發現這些方程在推導的過程中經常會出現高斯公式，當然還會出現咱們文章十二中講到的散度和梯度，這些都是流體力學基礎中的基礎。

1.高斯公式的各種形式

先直接給出高斯公式：設空間有界閉合區域Ω ，其邊界?Ω 為分片光滑閉曲面。函數P，Q，R及其一階偏導數在Ω上連續，那么：

仔細觀察上式，會發現等式左端可以應用文章十二講到的散度公式，對于等式右端cosα*dS即為微元面積S在yz平面上的投影，同理cosβ*dS即為微元面積S在zx平面上的投影，cosγ*dS即為微元面積S在xy平面上的投影，將上式可以進行變形得到：

如果我們將上式中的物理量用速度替換會更加容易理解，

其中V表示速度矢量，u、v、w表示三個方向上的速度分量。

 

注：高斯公式只對矢量物理量適用，因為只有矢量才有散度之說（文章十二內容）

 

2.散度的物理意義

從公式3能看到什么呢？首先我們回顧一下散度的物理意義，散度用于表征空間各點矢量場發散的強弱程度，散度的意義是場的有源性。我們用下圖表示，六面體內有一點A可以往外流出流體。

我們以dV為微元研究對象，等式左端

是一個體積分，表示的實際上是微元體內總體積流量的變化量。

 

由于流體可變形，因此上式可理解為單位時間內變形后的體積-變形前的體積=體積變化量，傳熱學書本上對此有詳細推導，我們簡單推導一下，u_x，v_y，w_z分別表示速度在x，y，z方向的分量，u_x+dx，v_y+dy，w_z+dz分別表示速度在x+dx，y+dy，z+dz方向的分量，則：

微元體在x處的流體體積流量：

x方向體積流量為：

y方向體積流量為：

z方向體積流量為：

總體積流量為：

 

微元體在x+dx處的流體體積流量：

x方向體積流量為：

y方向體積流量為：

z方向體積流量為：

總體積流量為：

總體積流量相減得到微元體內體積凈增量如下，就等于等式左端

因此如何理解散度呢？可以認為散度是流場中的一個噴泉，當散度為正時，噴泉向外噴水，當散度為負時，噴泉向里吸水，散度為0，表示噴泉不噴不吸。而等式左端積分就表示在整個流場中單位時間內噴泉噴出或吸收了多少水量。所以說，散度的意義是場的有源性。

 

3.高斯公式的理解

我們已經知道了高斯公式等式左端就是體積流量的變化，等式右端是什么呢？

等式右端更加容易理解，我們能看出來等式右端實際上一個面積分，udydz用x方向的速度乘以x方向的截面，顯然表示的是x方向的體積流量，同理vdzdx表示y方向的體積流量，wdxdy表示z方向的體積流量。將三者相加，表示的是整個從封閉曲面流進或流出的流體體積流量。這也是為什么定義里強調了閉合區域的原因。

 

等式左端表示的是整個流場體積的變化，等式右端表示的是從流場邊界流進或流出的流體體積(為便于理解，省略流量二字)，兩邊是否相等呢？

 

顯然相等，從流場邊界流進或流出的體積量必然會在流場中體現出來，即等于流場中多出來或減少掉的體積量。

 

 

因此高斯公式實際上就是將體積分與面積分聯系了起來，

它告訴我們流場中失量物理量的改變必然會通過流場邊界表現出來，

內部的改變必然會在外部有所體現，

人內里的氣質必然會表現在言行上（升華了）

 

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