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引言：本文探討了一下固體力學和流體力學中體積模量公式的區別。

體積模量用來表征可壓縮性，表示系統在一定壓強下，體積變化的難易程度，是固體微觀熱振動、非簡諧振動的宏觀表現。在有限元仿真中，材料的可壓縮性是一個很重要的指標，例如金屬和超彈性材料接近不可壓，在仿真時要注意選取特定的單元類型。另外，對固體來說，體積模量也可用用來估計聲速，而聲速決定了顯式動力學計算中的穩定時間步長極限。

體積模量的最原始定義在熱力學中，定義為一個系統的壓強變化量dp與其所引起的體積變化程度（或者體積應變）之間的比值：-△p/(△V/V)。

按照兩個理想的熱力學過程來劃分，體積模量分為等溫體積模量和絕熱體積模量。我的理解是這是從理想化的角度出發定義體積模量，在大部分工程應用中也夠用了，所以可以發現，無論是對體積模量定義還是測量，相關討論也主要限定在等溫和絕熱這兩個范疇內。

理想氣體等溫體積模量：首先對理想氣體的物態方程取全微分，pV=nRT→Vdp+pdV=0（等溫過程T=constant），變換即可得體積模量就是體積p。理想氣體絕熱體積模量（汪志誠P24）為：γp，其中γ為絕熱系數。

作為力學筆記，本文只關注絕熱體積模量，因為無論固體力學還是流體力學，大部分情況對體積模量的運用都是從絕熱（等熵）過程出發定義的。

流體力學中的一般氣體動力學便是一種理想絕熱模型（鑒于這里的理想和上面理想氣體的理想不是一個意思，所以后面敘述改為無粘流體）。當然，氣體動力學既研究無粘氣體的運動也研究粘性氣體的運動，但一般的氣體動力學課程或者大部分的工程運用，習慣于只考慮無粘氣體的動力學，粘性氣體動力學是高速邊界層理論研究的內容。一般的氣體動力學還忽略氣體之間的熱傳導作用，將流動過程看成是絕熱的。基于一般氣體動力學的這種無粘絕熱考慮，所以其絕熱體積模量就可以直接套用依據理想氣體建立起來的公式：γp。

不過似乎該公式更多不是用來計算體積模量，反而是用來計算絕熱系數(?)。體積模量是不是可以通過其原始的公式-△p/(△V/V)方便測得，進而除以壓強得到絕熱系數？另外，由于一種運動場（速度或者位移）中的小擾動，并不改變場本身的絕熱特性，熵仍然不變，所以可以推導出波動方程，進而導出小擾動傳播的速度公式，也就是聲速（聲音就是小擾動）。汪志誠P25也提到絕熱系數可以通過測量聲速得到。這方面了解不多。

對于固體而言，各向同性固體的線彈性小變形情況就是絕熱等熵的。再次查看體積模量的公式-△p/(△V/V)，其中△p表示固體變形前后球應力張量的變換量，實際上等于小變形加載后體內的球應力張量與未加載時的球應力張量之差，而未加載時，球應力張量為0，所以公式中的△p就是球應力張量（考慮了壓強和球應力張量之間的負號）:

而△V/V就是固體的體應變：

它們之間的關系可以通過彈性小變形的本構關系（胡克定律）推導出：

其中的系數就是彈性固體的體積模量。

參考資料：

《熱力學.統計物理》汪志誠，高等教育出版社，2013.

《彈性力學》吳家龍，高等教育出版社，2021.