《經(jīng)典力學》札記

仿真客

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來源：龔明科學網(wǎng)博客，作者：龔明。

本文寫作，有點模仿梅鳳翔老先生的《分析力學及理論力學札記》的味道。他的文章在一些刊物上發(fā)表，我不這么做。這些短小的討論，又類似周國平的著作。他的散文有個特點，即都是一些短小的類似格言一樣的刊物。我寫這些片段式討論和總結，盡量做到言之有物。我希望這些可以作為經(jīng)典力學教材的補充和總結。我的主要參考教材是Landau的《力學》和Arnold的《經(jīng)典力學的數(shù)學方法》。札記指的是讀書時摘記的要點和心得，故取名札記，是很合適的。

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經(jīng)典力學的重要性

經(jīng)典力學是理論力學或者理論物理的第一門課，學好經(jīng)典力學是學好物理的關鍵。理論力學的思想——最小作用量原理等，會用在后續(xù)幾乎所有的物理課程中。這門課有一條非常清晰的主線，即這個原理，理清這根脈絡，是學好理論力學的根本。如果學好了，這門課的所有內(nèi)容可以寫在半頁紙上。

但是這門課學起來會非常困難，有幾個原因：第一，大二學生剛學完微積分和微分方程，但不熟練；第二，大量的近似，讓人眼花繚亂；第三，大量的抽象的公式推導，很多公式的物理意義也難以理解（或缺乏明確的圖像）。那么，如何才能學好呢？兩個建議。第一，多證明一些基本的結論，多推導；第二，多用 Mathematica 的 NDSolve 和 Plot 等（也可以用其它軟件）做數(shù)值模擬，碰到不懂的，就先模擬畫圖看看。這樣可以對這些問題積累第一手的感覺，對提高自己的理解力和直覺能力有很大幫助。

物理圖像很重要。在物理中，每個公式應該都有明確的物理意義和圖像。在講課的時候，我會盡量注意這些細節(jié)。學生們在學習的時候也要做到這一點。

第一個作業(yè)題是數(shù)值模擬雙擺 (double pendulum) 的運動過程。學生需要用Mathematica 求解其運動方程，并觀察簡諧振動和混沌過程。這個擺是最簡單的混沌擺。在WSU物理系門口，就有這樣的一個混沌擺，我以前每次進樓，都會搖一下它并觀察其復雜的運動過程。積累一些生活經(jīng)驗對于理解物理的運動會非常有幫助。

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經(jīng)典力學的主要內(nèi)容

如果按照內(nèi)容來分，經(jīng)典力學包括三個方面的內(nèi)容，即拉格朗日力學、哈密頓力學以及經(jīng)典力學的數(shù)學物理方法。目前絕大部分教材都按照這條主線來分，所以可以清楚地看到拉格朗日力學和哈密頓力學兩個部分；但是有些教材則按照經(jīng)典力學的主要運動形式和內(nèi)容來分，比如朗道的《力學》等。這個比較容易理解，有些人喜歡把方法當作主線，而有些人把問題當作主線。此外，絕大部分教材不會討論經(jīng)典力學的數(shù)學方法，但是 Arnold 的經(jīng)典教材《經(jīng)典力學的數(shù)學方法》會介紹這些內(nèi)容；這本書可能是這個方面最好的一本教材。經(jīng)典力學的數(shù)學方法主要涉及的辛幾何和辛代數(shù)（辛結構），在很多物理（尤其是幾何部分）課程中都有用到。

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牛頓力學的“局限性”

牛頓運動方程以《經(jīng)典力學》札記的圖1 為基礎，其中Fi 為力，它對應勢能U=U(x1,x2,x3,?) 在xi 方向的梯度。這個方程在應用起來有一些明顯的局限性。第一，它很難用來研究一些復雜的力學模型。這是因為在這些模型中，力和坐標等都不一定要有簡單、直觀的定義。這是因為在受限條件下，直角坐標不是一個很好的描述形式。第二，這個方程只適合在直角坐標系下求解，如果轉到其它坐標系，比如球坐標、柱坐標，就會非常麻煩，比如我們不會有《經(jīng)典力學》札記的圖2 ，其中r 為球坐標的半徑。此外，這個梯度?rU 似乎也沒有明顯的意義。這個困難也可以從一些具體的計算問題中看出來，幾個彈簧連接在一起的球的運動軌跡，斜面上滾動的小球，以及擺長可以變化的單擺的運動等。所以在一些有約束條件的系統(tǒng)中，利用牛頓運動方程，都是不好處理的。

力是牛頓力學的根本，每個地方都體現(xiàn)了力的作用。但是在很多力學課程中，比如電動力學、統(tǒng)計力學、量子力學等課程中，力的概念就沒有那么根本了。注意，在這些“力學”中，力不是force，而是mechanics。

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Lagrange（拉格朗日）方程以及它的優(yōu)勢

我們記L=T?U，它對應動能和勢能的差，比如《經(jīng)典力學》札記的圖3 和U=U(x)。代入下面的方程（注意《經(jīng)典力學》札記的圖4 和x 是完全獨立的物理量）

《經(jīng)典力學》札記的圖5

這個拉格朗日方程可以直接給出牛頓運動方程，即《經(jīng)典力學》札記的圖6 。所以，拉格朗日方程和牛頓運動方程是完全等價的。這個方程包括兩個部分，我們可以定義$p_i=\partial L/ \partial\dot{x}_i$（定義xi為坐標），那么pi 對應的是動量。這個動量對時間的導數(shù)，給出所謂的梯度力。所以，這個方程有明確的物理意義。這個新的公式有幾個明顯的優(yōu)勢。第一，它不需要明確給出力和加速度；第二，它對任何一個坐標都是成立的，比如假設xi=xi(q1,q2,?,qN,t)（這個函數(shù)是任意的）, 那么我們可以證明

《經(jīng)典力學》札記的圖7

這個性質保證我們可以對它做任意的坐標變換：柱坐標、球坐標、橢圓坐標、傅立葉變換等，它對應的拉格朗日方程不變。由此可見，拉格朗日方程有更加廣泛的使用范圍，可以用來研究非常復雜的力學過程。在邏輯上，拉格朗日方程如果可以有廣泛的應用價值，必須可以在任意坐標系求解。非常遺憾，很多教材沒有給出這個變換的證明；或者提到了，但沒有明確點明其重要性（和意義）。如果我們可以在任意坐標下計算這些問題，那么我們可以選擇最合適的坐標系/參考系，從而得到更多的守恒量。這些守恒量可以讓我們的問題大大化簡。

拉格朗日的第三個優(yōu)勢在于，它對應最小作用量原理——即哈密頓原理。拉格朗日是從達朗貝爾原理推導出這個方程的，而稍晚的哈密頓則是從最小作用量原理給出來的。它們的差別是，達朗貝爾原理是變分法的微分形式，但是哈密頓是變分法的積分形式。從電磁學中可以看出來，這兩種描述是等價的。所以，如果定義

《經(jīng)典力學》札記的圖8

那么，上面的拉格朗日方程對應δS=0。顯然，最小作用量的計算和坐標系無關（因為不同坐標系L 是不變的），所以上面的拉格朗日也和坐標選擇無關。

第三個優(yōu)勢無與倫比，很有啟發(fā)性。這是因為牛頓方程是二階導數(shù)的運動方程，它的運動由一個最小作用量保障。那么，是不是所有二階（或者高階）微分方程都有類似的原理對應呢？對，《數(shù)學物理方法》或《數(shù)理方程》的變分法就做這個事情。當然，這個原理不一定百分之百成立；但是很多方程都有這個性質，即很多微分方程都是某些（物理）過程的δS=0（最小作用量原理）——困難在于如何尋找這樣的L。我們可以認為這是二階微分方程的“力學化”。至少所有力學問題相關的偏微分方程，都可以由這個原理保障。

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達朗貝爾原理和虛功原理

達朗貝爾原理說，對任意位移，都有

《經(jīng)典力學》札記的圖9

括號中的表達式即為牛頓運動方程。如果是靜止/平衡系統(tǒng)，加速度為零，所以有《經(jīng)典力學》札記的圖10

。它表明對于平衡系統(tǒng)，對它的任意擾動，所有力做的功之和為零。反之亦然。可見，這個原理有直觀的物理圖像，所以拉格朗日定理有堅實的理論基礎和直觀的物理圖像。遺憾的是，這個公式還需要引入力，但是力在一些復雜的系統(tǒng)中不好計算；如果轉換到其它坐標系，則更加抽象。所以和牛頓力學公式一樣，它的適用性有限。在力學教材中，它一般用來求解平衡問題。在高中競賽中，它倒是一個重要的計算手段。

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理論力學的主要物理模型

理論力學主要處理的模型包括：

散射問題，它直接用在原子物理中，即所謂的盧瑟福散射；
兩體問題，比如太陽和地球的體系，并證明橢圓軌道（可以證明圓形軌道不可能是拉格朗日方程的解）；
相互作用彈簧問題；
RLC和LC電路（這個模型說明很多非力學問題可以有類似的力學描述，以后很多問題都可以這樣力學化。這是典型的類比法）；
電磁場問題，其拉格朗日為；
相對論問題，其哈密頓為；
耗散問題；
剛體轉動和角動量問題（了解歐拉的貢獻，歐拉轉動和歐拉角等；在量子力學中，出現(xiàn)角動量量子化和對易關系；了解角動量守恒）；
小幅度振動問題和參數(shù)共振問題等。

所有這些問題都可以用拉格朗日方程描述。這些模型在量子力學中也有重要應用。

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認識達朗貝爾和拉格朗日，以及當時的時代背景

達朗貝爾 (1717～1783) 法國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家。他也是啟蒙運動的重要人物，比如他和與當時著名哲學家狄德羅一起編纂了法國《百科全書》，并負責撰寫數(shù)學與自然科學條目，是法國百科全書派的主要首領。他所處的時代，是法國啟蒙運動時期，也是數(shù)學家云集的時期。在18-19世紀，法國和歐洲大陸出現(xiàn)了一批偉大的數(shù)學家和物理學家，包括歐拉、拉普拉斯、拉格朗日、伯努利、柯西、泊松、雅可比、高斯、阿佩爾 (Appel)、菲涅爾、阿拉果 (Arago)、傅立葉等。法國的數(shù)學從此崛起，直到今天，法國的數(shù)學研究依舊非常厲害。法國的數(shù)學傳統(tǒng)，可以追溯到更早的笛卡爾、萊布尼茨和惠更斯等。這些科學家在波動光學方面也有重要貢獻。法國對科學家的重視，可以體現(xiàn)在埃菲爾鐵塔上的72人名，其中有很多偉大的數(shù)學家。

這些人之間有非常復雜的師承關系。比如約翰·伯努利是歐拉的老師，歐拉是拉格朗日的老師，拉格朗日又是柯西的老師。它們是數(shù)學的變分法的主要發(fā)明人，后來也自然而然把這個方法用在物理問題中，最重要的成果就是拉格朗日方程。隨著牛頓的去世，歐洲的數(shù)學發(fā)展?jié)u漸集中在以法國為中心的歐洲大陸，也直接導致了科學中心轉移到法國。數(shù)學中的分析法引入物理中，取得了偉大的成就；拉格朗日的《分析力學》，據(jù)說沒有一張圖。

科學史在科學教育中扮演了重要角色。現(xiàn)在有人意識到科學史在思政教育中的意義，但是實踐的人還太少；其實，科學史在厘清科學思想的起源和發(fā)展方面有重要價值，它在科學教育中的意義會更大。

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力學發(fā)展的幾個重要/跳躍性階段

力學理論的建立，經(jīng)歷了幾個重要的跳躍。首先，牛頓建立了牛頓方程F=ma；后來，拉格朗日根據(jù)達朗貝爾原理給出了一個微分方程的描述，它等價于牛頓方程；接著，哈密頓給出了哈密頓最小作用量原理以及哈密頓方程，這個方程給出了哈密頓力學的數(shù)學結構，即所謂的辛結構；接著，諾特 (Noether) 建立了對稱和守恒之間的關系；最后，在20世紀初建立了經(jīng)典場論，并最終完成量子場論的建立。這是主線，如果仔細研究這些歷史，比如參考梅鳳翔老先生的《力學史》，會看到每個重要的進步，其實都有許多人的貢獻。一個小的進步，匯聚為最終的重要的進步。這個進步的規(guī)律和所有其它科學的進步規(guī)律是一樣的。那種跳躍式的進步，在科學史上也許是罕見的，或者沒有的。

科學史關于科學是如何進步的，一直有爭論：科學革命和科學漸進。我傾向于后者，并且認為科學革命的觀點是因為這些人忽略了同時代很多人的貢獻，導致了科學思想忽然產(chǎn)生的“假象”。這是仁者見仁的事情。

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為什么耗散不能寫成拉格朗日的形式？

耗散系統(tǒng)的拉格朗日方程一般寫成

《經(jīng)典力學》札記的圖13

其中 Qi 是耗散項。它一般不能寫入L 中（假設這個拉格朗日是局域的），否則就有最小作用量原理了。其原因如下：假設存在L→L+f，其中f 吸收Q。此外，假設 Qi 和速度無關。那么《經(jīng)典力學》札記的圖14

。這是一個非局域相互作用，它的值和路徑有關。可見，耗散項Q 不能被吸收到L 中。這個反證法在很多教材中都沒有給出來，它們只告訴學生我們有這樣一個結果。

這個結果也暗使我們，如果L 要變得有意義，必須是局域的，即任何一個物理量，它的相互作用只和當?shù)氐奈恢糜嘘P，和遙遠的位置無關，也和過往的歷史無關。如果按照上面的定義，我們的L→L+f (f 的定義見上面)，那么它和路徑 (Path) 有關，就不是很好定義的了——選擇哪條路徑呢？可見，我們的教材給出了拉格朗日量，但是對它的形式的討論太少，學生們的認知也不夠。

這種非局域的拉格朗日，因為筆者知識有限，不做討論。它給出了正確的牛頓運動方程，所以有一定的合理性。怎么理解這種性質可能是一個重要的、有趣的問題。考慮這個問題，其哈密頓為H=H 0 ?f，運動方程依舊由哈密頓運動方程描述。

我要強調(diào)耗散（或者非保守系統(tǒng)）的重要性，這是因為對耗散的理解由幾個重要的階段。比如經(jīng)典耗散可以認為是一個物體和一個環(huán)境的相互作用，即所謂的郎之萬方程。后來，大約在1980年代，很多科學家將這些理論推廣到量子郎之萬方程上，即這些耗散也被當作算子處理，并給出量子耗散模型。此外，在腔動力學中，有著名的In-output（輸入-輸出）理論，這也是對耗散的重要認識。耗散有一些基本的結論，比如漲落-耗散定理。所以在講耗散的內(nèi)容的時候，可以：做數(shù)值模擬；介紹一些基本的推導和結論；介紹未來可能的應用。今天很多人研究的非厄米問題，其實也是非保守系統(tǒng)的重要內(nèi)容。它很重要，這是意為任何系統(tǒng)都會和環(huán)境相互作用，所以耗散不可避免。

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經(jīng)典力學概念在其它領域中的應用

經(jīng)典力學中有很多概念被用在其它領域，列舉如下：

哈密頓方程和共軛對 (conjugate pairs)。在統(tǒng)計力學中，dU=pdV?TdS，那么V 和S 是共軛量。Maxwell 首先引入了這些概念。
最小作用量原理，在電磁學，相對論，量子場論等領域，都有廣泛用到。
絕熱定理，即I=∮pdq，這個量成了量子力學的核心概念，也是幾何相的核心概念。
轉動過程以及歐拉角在量子力學中對應的是Lx、Ly 和Lz 算子，以及量子態(tài)在Bloch 球上的轉動。對于自旋，它對應Pauli 算子。
LC電路在量子力學和量子信息中可以量子化，并給出量子比特。
電磁場的拉格朗日量在量子場論中給出最小耦合 (minimal coupling) 的思想。
經(jīng)典力學中的回旋運動，在量子力學中對應量子化的Landau 能級。
經(jīng)典耗散被推廣到量子耗散。
經(jīng)典力學的泊松括號到量子力學的對易子；以及這個括號對應的Lie 群和Lie 代數(shù)等。