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12、如果滿足限制要求，則迭代結(jié)束，該增量步計(jì)算收斂并結(jié)束。如果不滿足要求，則迭代繼續(xù)。同時(shí)，迭代步不是無(wú)限制地增加，當(dāng)超過(guò)16次迭代時(shí)，迭代將停止，增量步將不收斂。下載地址：ABAQUS非線性有限元分析與實(shí)例

在有限元分析中，我們經(jīng)常會(huì)和非線性打交道，如材料非線性、幾何非線性、邊界非線性。非線性有限元一直是有限元中較為困難的一部分，在非線性有限元中我們經(jīng)常碰到諸如Newton-Raphson迭代法，切線剛度陣等概念，今天我們就單的介紹一下非線性吧。

為破解這一瓶頸，非線性壓縮感知（NCS）理論應(yīng)運(yùn)而生，其通過(guò)非線性映射構(gòu)建信號(hào)與觀測(cè)的關(guān)聯(lián)，能夠適配掩模優(yōu)化場(chǎng)景中的復(fù)雜非線性特性。與線性CS相比，非線性CS理論的核心突破在于重構(gòu)模型對(duì)非線性關(guān)系的精準(zhǔn)表征，而迭代公式則為非凸優(yōu)化問(wèn)題提供了高效的求解路徑，二者共同構(gòu)成了掩模優(yōu)化場(chǎng)景下計(jì)算光刻技術(shù)的理論核心。

這兩種迭代方法各有優(yōu)劣，常剛度迭代法由于切線剛度矩陣只需要計(jì)算一次，因此每一次迭代的速度比較快，但所需的迭代步數(shù)比較多，適合一些非線性程度比較低，比較容易收斂的結(jié)構(gòu)；NR迭代由于每迭代一次就要生成一次切線剛度矩陣，在此會(huì)花費(fèi)較多時(shí)間，但是收斂所需的步數(shù)較少，當(dāng)結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)強(qiáng)非線性，或者需要考慮大位移等效應(yīng)時(shí)，建議采用NR迭代。

有幾個(gè)方面的因素使穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)求解具有非線性性質(zhì)。最常見(jiàn)的非線性是由與溫度有關(guān)的材料性能引起的，特別是熱導(dǎo)率和比熱的溫度相關(guān)性。邊界條件，主要是對(duì)流和輻射，會(huì)引入其他非線性項(xiàng)。所有非線性分析必然涉及到求解迭代、誤差估計(jì)和收斂準(zhǔn)則。

大多數(shù)的結(jié)構(gòu)分析計(jì)算，為了快速獲得該結(jié)構(gòu)因受外力或溫度變化而產(chǎn)生的變形，不使用迭代法而進(jìn)行線性結(jié)構(gòu)分析。然而，與線性結(jié)構(gòu)分析相比，透過(guò)迭代方法獲得的非線性結(jié)構(gòu)分析結(jié)果，更可以考慮位移對(duì)于結(jié)構(gòu)或外力的影響。Moldex3D支持非線性翹曲分析求解器，為用戶提供有限變形和幾何非線性分析(材料非線性需要利用其他整合性功能來(lái)考慮)。

非線性靜力分析需要求解非線性平衡方程，程序采用全牛頓-拉弗森或修正全牛頓-拉弗森迭代法。許多問(wèn)題涉及歷程相關(guān)的響應(yīng)，因此通常通過(guò)一系列的增量步得到求解結(jié)果，在每個(gè)增量中通過(guò)迭代得到平衡。有時(shí)必須保持增量較小(意味著轉(zhuǎn)動(dòng)和應(yīng)變?cè)隽勘仨毿?,以確保對(duì)歷程相關(guān)影響的正確模擬，但最常見(jiàn)的是，增量步大小的選擇是計(jì)算效率的問(wèn)題，如果增量步太大則需要更多迭代。

Abaqus 中的步進(jìn)、增量、迭代和嘗試等可能會(huì)在概念上讓 Abaqus 初學(xué)者感到困惑。清楚地了解分析步驟、荷載增量和迭代之間的區(qū)別非常重要。在這篇文章中快速了解 Abaqus 步驟和增量迭代。在ABAQUS中，步進(jìn)增量迭代是解決非線性問(wèn)題的一種數(shù)值計(jì)算方法。這種方法通常用于模擬材料的非線性行為、接觸問(wèn)題、接縫問(wèn)題等。

上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統(tǒng)可以以下公式表示： 為了進(jìn)行迭代計(jì)算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數(shù)學(xué)問(wèn)題的最著名的方法。此分析會(huì)持續(xù)收斂，直到殘余力小于收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí)即完成解答。 幾何擾動(dòng)(Imperfection)模型應(yīng)用 有時(shí)在數(shù)值分析過(guò)程中，結(jié)構(gòu)分析中不容易出現(xiàn)非線性情況。

上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統(tǒng)可以以下公式表示：為了進(jìn)行迭代計(jì)算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數(shù)學(xué)問(wèn)題的最著名的方法。此分析會(huì)持續(xù)收斂，直到殘余力小于收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí)即完成解答。幾何擾動(dòng)(Imperfection)模型應(yīng)用有時(shí)在數(shù)值分析過(guò)程中，結(jié)構(gòu)分析中不容易出現(xiàn)非線性情況。

當(dāng)迭代求解器處理非線性問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)迭代級(jí)別。為避免混淆，我們將迭代求解器稱為 PRECONDITIONED CONJUGATE GRADIENT SOLVER (PCG) 。直接求解器和 PCG 求解器都可以計(jì)算非線性分析。非線性是指剛度矩陣方程求解一次，然后進(jìn)行收斂性評(píng)估以確定非線性系統(tǒng)是否已經(jīng)收斂。如果不是剛度矩陣方程的另一個(gè)解，則使用更新的值。每次求解剛度矩陣，稱為迭代。

在實(shí)際工程中，有限元方法形成的剛度系數(shù)以對(duì)稱正定居多，但是實(shí)際上也存在非對(duì)稱的可能，例如，當(dāng)材料本構(gòu)采用摩爾-庫(kù)倫本構(gòu)時(shí)，其形成的剛度矩陣就有可能會(huì)是非對(duì)稱的，此時(shí)如果是使用商業(yè)軟件，應(yīng)當(dāng)在軟件中選擇非對(duì)稱求解器。如果是自主編程且采用迭代法求解線性方程組，則需要找到一種適用于非對(duì)稱矩陣的求解方法。

其中SOL145、SOL129、SOL107求解設(shè)置無(wú)法全部通過(guò)hypermesh軟件進(jìn)行設(shè)置，建議在MSC PATRAN中設(shè)置后存為對(duì)應(yīng)的求解bdf模板，供后續(xù)參考，其他建議通過(guò)hypermesh軟件設(shè)置后存為求解模板。本文主要介紹SOL101線性靜力求解，SOL103模態(tài)求解，SOL105屈曲求解，sol106非線性靜力求解設(shè)置在hypermesh軟件界面中如何操作實(shí)現(xiàn)。

思考 帶上這期的推文，木木共分享了三種非線性求解算法，在學(xué)習(xí)之余，可以看出算法背后的意義，為什么會(huì)出現(xiàn)這么多算法？ 影響非線性求解速度的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： 迭代時(shí)所要形成矩陣的方式 每次求解矩陣方程的時(shí)間 由以上兩個(gè)方面可以看出，所有的非線性算法都在聚焦于如何在保證精度的前提下，加速收斂求解。

一維非線性彈簧模型 每個(gè)彈簧元的平衡方程如下式： 整體剛度組裝，去除0左端節(jié)點(diǎn)項(xiàng)（固支條件，劃行劃列）后的整體剛度方程可表示如下： 進(jìn)一步講上式化簡(jiǎn)為1個(gè)非線性方程組

非線性壓縮感知光源-掩模優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)多模塊協(xié)同實(shí)現(xiàn)非線性場(chǎng)景的精準(zhǔn)優(yōu)化：目標(biāo)函數(shù)定義為成像質(zhì)量的量化基準(zhǔn)，為優(yōu)化提供明確方向；含罰函數(shù)的總目標(biāo)函數(shù)則通過(guò)約束項(xiàng)控制光源與掩模的復(fù)雜度，解決優(yōu)化結(jié)果可制造性不足的問(wèn)題；稀疏表示與參數(shù)變換借助小波、DCT等基函數(shù)實(shí)現(xiàn)變量降維，延續(xù)壓縮感知的高效優(yōu)勢(shì)；最終通過(guò)非線性CS-SMO模型整合上述模塊，構(gòu)建非線性映射下的優(yōu)化框架。

傳統(tǒng)線性壓縮感知（CS）驅(qū)動(dòng)的SMO技術(shù)，因難以精準(zhǔn)刻畫(huà)掩模與成像之間的強(qiáng)非線性映射關(guān)系，在復(fù)雜圖形優(yōu)化中常面臨精度不足、工藝窗口收縮等問(wèn)題，已無(wú)法滿足極端制程對(duì)優(yōu)化性能的嚴(yán)苛要求。非線性壓縮感知（NCS）理論的興起為突破這一瓶頸提供了關(guān)鍵路徑，其通過(guò)構(gòu)建非線性重構(gòu)模型，可更貼合光刻系統(tǒng)的物理本質(zhì)。

其實(shí)該方法已經(jīng)埋下了一個(gè)收斂隱患：解的精度依賴每次迭代求出的雅可比矩陣，而且每次迭代都需要求切線剛度，然后求解線性方程組，使得計(jì)算成本較大，為解決該問(wèn)題，大佬們又在牛頓迭代的基礎(chǔ)上進(jìn)行一些修正，使得計(jì)算成本更低，收斂更快、更穩(wěn)定。

在有限元程序開(kāi)發(fā)中，線性方程組的求解是一個(gè)重要組成部分。在百萬(wàn)自由度大規(guī)模計(jì)算的情況下，線性方程組的高效快速求解對(duì)整個(gè)求解器的計(jì)算效率有著至關(guān)重要的作用。無(wú)論實(shí)際上計(jì)算的是線性問(wèn)題，還是各種非線性問(wèn)題，最終都需要落實(shí)到線性方程組的求解上去。非線性方程組的求解實(shí)際上往往就是多次求解線性方程組。