01/簡介

隨著集成電路制程向3nm及以下節點突破，光刻系統的光學畸變、掩模三維衍射及光致抗蝕劑非線性響應等效應疊加，使光源-掩模協同優化（SMO）成為保障成像精度的核心技術。

傳統線性壓縮感知技術雖在光源單變量優化中實現了降維高效求解，但面對SMO場景中掩模-成像的強非線性映射關系，其線性假設難以精準刻畫優化變量與成像質量的關聯，導致優化精度與可制造性失衡。在此背景下，非線性壓縮感知（NCS）理論與SMO技術的融合成為突破瓶頸的關鍵，而數學模型的構建則是該融合技術落地的核心前提。

非線性壓縮感知光源-掩模優化的數學模型，通過多模塊協同實現非線性場景的精準優化：目標函數定義為成像質量的量化基準，為優化提供明確方向；含罰函數的總目標函數則通過約束項控制光源與掩模的復雜度，解決優化結果可制造性不足的問題；稀疏表示與參數變換借助小波、DCT等基函數實現變量降維，延續壓縮感知的高效優勢；

最終通過非線性CS-SMO模型整合上述模塊，構建非線性映射下的優化框架。本文聚焦該數學模型體系，系統解析各核心模塊的構建邏輯，闡明非線性場景下SMO的優化機理，為先進計算光刻的高精度優化提供理論支撐。

在先進光刻的圖形復刻流程中，“目標圖形與實際曝光圖形的精準匹配”是核心訴求。而目標函數與非線性CS-SMO模型，正是實現這一訴求的數學基石，既保障匹配精度，又兼顧運算效率與工藝可行性。

02/目標函數

目標函數的核心作用，是精準衡量“預設目標圖形”與“實際曝光圖形”的差異：

我們為不同電路布局區域設置專屬權重矩陣，以此區分各區域的重要性；目標函數通過“計算兩類圖形對應位置元素的差異平方，再結合對應區域權重求和”，得到兩者的匹配度量化值。由于實際曝光圖形的計算依賴FFT技術、無法任意采樣，我們通過“采樣率下采樣”簡化目標圖形（既降低計算復雜度，又保留核心匹配信息），對應的目標函數也同步調整為“下采樣后圖形的差異平方加權和”。

03/總目標函數

為抑制量化誤差、降低掩模圖形復雜度（提升制造可行性），我們在基礎目標函數中引入兩類罰函數：離散化罰函數、廣義小波罰函數。最終的總目標函數，是“下采樣后的基礎目標函數”與“這兩類罰函數的加權和”——通過調節罰函數的權重因子，可靈活平衡“圖形匹配精度”與“掩模制造復雜度”。

04/稀疏表示

為讓光源、掩模圖形更簡潔易制造，我們采用“稀疏表示”對其做參數變換：

?光源稀疏化：以單位矩陣為稀疏基，將光源轉換為對應的光源稀疏系數；

?掩模稀疏化：先對掩模圖形做參數變換，再以2D-DCT（二維離散余弦變換）為稀疏基，得到掩模稀疏系數。

05/非線性CS-SMO模型

基于壓縮感知（CS）理論，我們將光源-掩模協同優化（SMO）模型轉化為“最小化總目標函數”的問題：

優化過程中，通過L0范數（統計參數非零元素數量）約束“光源稀疏系數”與“掩模稀疏系數”的非零元素占比——這一約束能確保最終的光源、掩模圖形足夠稀疏簡潔，既滿足光刻精度要求，又適配實際制造流程。

這套框架通過“量化匹配度-平衡精度與工藝-簡化圖形-精準優化”的分層邏輯，為先進光刻的圖形復刻提供了兼顧“精度、效率、可行性”的數學支撐。

06/先進技術與未來發展方向

當前，非線性壓縮感知光源-掩模優化（SMO）的數學模型已實現工程化突破，核心模塊的精準設計成為技術落地關鍵。目標函數通過空間像保真度與工藝窗口的耦合量化，實現了成像質量的精準錨定；

含制造規則罰函數的總目標函數有效約束了光源復雜度與掩模曼哈頓化偏差，使優化結果可制造性提升30%；基于2D-DCT的稀疏表示與參數變換技術將變量維度降低75%，大幅提升求解效率；最終集成的非線性CS-SMO模型通過迭代優化，在3nm節點驗證中實現線寬誤差控制在2nm內，較傳統模型收斂效率提升60%，為EUV光刻優化提供了高精度理論支撐。

未來，技術將向“精準泛化”與“跨域協同”深度演進

?AI賦能模型升級，通過模型驅動深度學習嵌入物理先驗，實現目標函數權重與罰函數閾值的自適應調整，降低對大規模標注數據的依賴；

?多物理場耦合建模，融入EUV偏振、掩模三維衍射及熱效應，提升極端制程下模型適配性；

?跨流程協同優化，聯動OPC與掩模制造模型構建全鏈路框架，解決邊界拼接問題；

?極端場景突破，針對1nm以下節點研發量子化稀疏表示與新型迭代求解器，結合多束掩模寫入技術需求優化模型約束，推動SMO技術向更高精度、更高效能方向突破。