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瞬態(tài)分析中有兩種方法，模態(tài)法和直接法。其中模態(tài)法只能用于線性分析，求解速度快，由于模態(tài)截斷存在微小誤差。直接法可以用于線性和非線性分析，隨著模型自由度的增加，求解復(fù)雜度以幾何級數(shù)增加，求解速度較慢。 在OptiStruct中，線性瞬態(tài)分析直接法采用的是Newmark-β方法，除了求解算法不同外，其與模態(tài)法分析的差別在于阻尼的設(shè)置。

ETABS中有兩種彈塑性時程分析方法，分別是非線性模態(tài)分析法（FNA法）和非線性直接積分法。其中FNA適合于帶有少量非線性連接單元的結(jié)構(gòu)，計算速度快是其主要優(yōu)點，在減隔震分析中多被采用；而非線性直接積分法適用范圍更廣，適用于除時間相關(guān)效應(yīng)外的所有非線性行為，適用性強是其主要優(yōu)點，在大震彈塑性時程分析當(dāng)中多被采用。本文主要介紹非線性直接積分法的相關(guān)設(shè)置與應(yīng)用。

動剛度分析（模態(tài)法、直接法）。

（1）直接迭代法 直接迭代法中要求K矩陣為u的顯式函數(shù)，只適用于和變形歷史無關(guān)的非線性問題。

它們是數(shù)學(xué)的變分法的主要發(fā)明人，后來也自然而然把這個方法用在物理問題中，最重要的成果就是拉格朗日方程。隨著牛頓的去世，歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展?jié)u漸集中在以法國為中心的歐洲大陸，也直接導(dǎo)致了科學(xué)中心轉(zhuǎn)移到法國。數(shù)學(xué)中的分析法引入物理中，取得了偉大的成就；拉格朗日的《分析力學(xué)》，據(jù)說沒有一張圖。科學(xué)史在科學(xué)教育中扮演了重要角色。

這種方法并非直接描述流體的速度、壓力等宏觀變量，也非直接描述每個流體分子的微觀運動，而是用統(tǒng)計的方法描述空間內(nèi)流體粒子的速度分布。其描述方式介于宏觀和微觀之間，被稱之為介觀。

離散單元法的一般求解過程為： 將求解空間離散為離散元單元陣,并根據(jù)實際問題采用連接元件（即接觸模型）將相鄰單元連接起來；單元間相對位移是基本變量，由力與相對位移的關(guān)系可得到單元間法向和切向的作用力；對單元在各個方向上與其它單元間的作用力以及其它物理場對單元作用所引起的外力求合力和合力矩，根據(jù)牛頓運動第二定律求得單元的加速度；對其進行時間積分，得到單元的速度和位移。

從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。 　有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。

在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點和步長有關(guān)。弧長法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點，弧長法仍可能失效，甚至在非線性計算的線性階段，它也可能會無法收斂。 為此，盡量不要從開始即激活弧長法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問題）。

關(guān)于通道號的解釋，書中有相關(guān)講解，木木在學(xué)習(xí)的過程中，將之理解為與write語句有關(guān)，打開的通道號用于寫入或者讀入該通道，比如WRITE(11,46)X,ITER表示按照48行代碼標(biāo)號的格式寫入到11號通道文件中，可以自己改動一下代碼try one try；CALL SOLVE(X,ITER)表示調(diào)用牛頓-拉弗森迭代子程序；46 FORMAT(T5,'Newton迭代法計算方程的根

對系統(tǒng)施加外力場或速度梯度使其處于非平衡態(tài)，根據(jù)非平衡條件下的響應(yīng)，如應(yīng)力和速度梯度，依牛頓黏性定律計算。可模擬復(fù)雜流場中黏度，但施加外力和處理邊界條件要注意，理論較復(fù)雜。本文將介紹非平衡分子動力學(xué)計算黏度的方法之一：周期擾動法。周期擾動法計算黏度的原理主要基于對流體系統(tǒng)施加周期性的外力擾動，然后通過分析系統(tǒng)的響應(yīng)來計算黏度。

非線性靜力分析需要求解非線性平衡方程，程序采用全牛頓-拉弗森或修正全牛頓-拉弗森迭代法。許多問題涉及歷程相關(guān)的響應(yīng)，因此通常通過一系列的增量步得到求解結(jié)果，在每個增量中通過迭代得到平衡。有時必須保持增量較小(意味著轉(zhuǎn)動和應(yīng)變增量必須小),以確保對歷程相關(guān)影響的正確模擬，但最常見的是，增量步大小的選擇是計算效率的問題，如果增量步太大則需要更多迭代。

同理有：代入到弱形式方程中可得殘值方程；使用牛頓迭代法求解上述非線性系統(tǒng)。更新格式為:剛度矩陣為：為了保證損傷不能愈合，即：需要做出一些修改，即取歷史上最大的彈性應(yīng)變能，即：4 代碼《斷裂相場法》書中提供了傳統(tǒng)脆性斷裂相場模型的二維UEL代碼。本文將其拓展為三維情況。UEL需要更新單元的剛度矩陣和右端項，公式在理論部分已詳細給出。

才能保證收斂 修正牛頓法 為克服牛頓法在求解時的不足，可以將牛頓法的求解思路稍加改進，本節(jié)將簡要回顧一下Modi?ed Newton–Raphson method的思想。

巖土工程數(shù)值計算總體上可以分為兩大類:一類是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論的方法，如有限元法(FEM)和快速拉格朗日法 (FLAC(1tasea，2002))等;另一類是不連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的方法，如離散元法 UDEC(1tasca，2000)、3DEC(Itasea，1998)、PFC(Itasea，2002)和塊體理論DDA(石根華，1988)等。

光線矢量定義為兩個空間平面的交線，如下圖兩個平面分別表示為Ni為平面的法線向量，是與光線方向垂直的單位向量；di為原點距平面的距離。當(dāng)曲面上點為光線與曲面的交點時應(yīng)該滿足以下判斷條件R根據(jù)三維空間的牛頓迭法，上述方程可改寫為：上式中：J為R的雅可比矩陣。

然而，有限差分法是最簡單的方法。 有限差分法 由于泊松方程僅適用于少數(shù)簡單的工程模型，因此采用計算算法來獲得近似數(shù)值解。在數(shù)值技術(shù)中，有限差分法是求解泊松方程最古老、最簡單、最直接的方法。 有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。在 FDM 中，偏微分方程直接從連續(xù)函數(shù)和算子轉(zhuǎn)換為離散采樣對應(yīng)項。FDM的精度與有限網(wǎng)格逼近連續(xù)函數(shù)的能力有關(guān)。

目前，線性方程組的求解主要分為直接法和迭代法兩種。 在之前的文章[數(shù)值算法與編程]高斯消去法中，我們討論的高斯消去法就是直接法的一種。而本文即將討論的共軛梯度法，是迭代法的一種，并且，其屬于目前求解對稱線性方程組的主要迭代方法。各大商業(yè)有限元軟件，在面臨對稱線性方程組的求解時幾乎都會選用各種變化形式的共軛梯度法進行求解。

直接計算法有三種：(1)由行列式值來解。(2)由反矩陣法來解。 (3) 以連續(xù)消去法來解。直接計算法的好處再于使用者可以預(yù)測解一方程式群組所需的時間并得到方程式解的準(zhǔn)確度。反復(fù)計算法在計算較大的方程式時比直接計算法更有利。

Feng等[9]基于葉素理論，將采用CFD計算得到的槳盤面處當(dāng)?shù)厮俣葓?em>直接用于計算各半徑處葉片的推力和扭矩，獲得了與實體離散槳模型幾乎相同的流場分布情形。郁程等[10]針對側(cè)推器這種內(nèi)部流動情形開展改進體積力法研究，提出了考慮轉(zhuǎn)子阻塞影響的流量修正方法。