摘 要:

［目的］旨在解決傳統Goldstein體積力法在導管螺旋槳水動力仿真中的適用局限性問題。

［方法］首先，基于機翼理論，分析導管水動力模擬失真的原因，并以質量流量和體積力分布模型為切入點，提出修正思想和方法；然后，采用RANS方法探究經質量流量修正后的2種體積力分布模型的模擬精度。

［結果］結果顯示，2種改進體積力法在敞水工況下其總推力系數的平均相對誤差均為5%左右；在艇后工況下，前進合力的平均相對誤差分別為1.8%和11.6%。

［結論］研究表明，基于改進體積力法的導管螺旋槳在敞水和艇后工況下的模擬精度較傳統體積力法有較大的提升，能準確實現對導管螺旋槳水動力性能的數值模擬，可為水下航行器高效、動態的操縱性仿真奠定基礎。

關鍵詞：改進體積力法；導管螺旋槳；流量修正；分布修正；計算流體動力學

0 引言

無論是遙控無人潛水器（remotelyoperatedvehicle，ROV）還是自主水下航行器（autonomousunderwatervehicle，AUV），都需要有良好的操縱性能，以便能按照預先的程序或是實時指令實現位姿變換，完成工作任務。隨著計算機技術的飛速發展，計算流體力學（CFD）方法成為船舶操縱性領域的重要研究手段。采用CFD方法能夠求解理論分析無法獲得的復雜流動，且和物理試驗相比，所需的人力、財力大為減少。但在多時間尺度物理場（例如，直升機飛行、船舶螺旋槳推進）模擬中，采用CFD方法往往十分耗時，故而體積力法（bodyforcemethod，BFM）常被用于模擬槳葉的高速轉動效應。

體積力法在不同的學科領域又可稱作動量源法（momentumsourcemethod，MSM），或是鼓動盤理論[1]（actuatordisktheory，ADT）。體積力法是將螺旋槳對流體的力等效為某種分布形式的力源項而輸入N-S方程進行求解，既可減小網格數量和生成難度，又能縮小物理場時間尺度跨度，從而提高計算效率；當不需要流場詳細的信息時，非常適合采用該方法進行潛艇操縱性評估[2-3]。Gaggero等[4]利用體積力法的高效計算效率，針對導管形狀開展了快速設計和優化研究。何濤等[5]使用基于葉素理論的改進體積力法，對KCS船開展了回轉運動仿真，所得精度令人滿意。吳召華等[2]使用體積力分布模型，對KCS船進行了回轉運動數值模擬。吳浩等[6]應用描述型體積力法開展了船舶自航數值研究，探究了虛擬槳的進流盤半徑和偏移量對自由自航的影響。

目前，應用得最普遍的描述型體積力法是以Goldstein最佳環量分布為分布模型。該最佳環量分布始于Goldstein[7]因成功、精確地求解Betz基于勢流升力線理論而提出的最佳環量分布條件問題。螺旋槳的性能與徑向環量分布有關，吳家鳴等[8]的研究表明，Goldstein最佳環量分布不適用于導管螺旋槳。導管螺旋槳的水動力性模擬精度較普通螺旋槳低。Feng等[9]基于葉素理論，將采用CFD計算得到的槳盤面處當地速度場直接用于計算各半徑處葉片的推力和扭矩，獲得了與實體離散槳模型幾乎相同的流場分布情形。郁程等[10]針對側推器這種內部流動情形開展改進體積力法研究，提出了考慮轉子阻塞影響的流量修正方法。Eslamdoost等[11]研究了3種體積力模型在軸流泵中的適用性，其中考慮了導葉、軸向均布體積力和周向體積力的體積力模型與多重參考系法（MRF）相比所得揚程的精度相當，噴口處的局部流場較MRF精度更高。Knight等[12]訓練了一種半經驗算法用于確定非定常螺旋槳體積力。宋長江等[13]采用葉素理論，對類似于水下導管螺旋槳的空氣涵道尾槳開展了動量源法CFD分析，結果顯示槳的推力值與試驗值基本吻合。

當前，有關體積力法的改進研究層出，但聚焦于水下導管螺旋槳體積力法適用性及改進方法的研究較少。探究適用于導管螺旋槳的體積力法有利于在保證宏觀運動精度的前提下提高水下航行器操縱運動模擬的效率。為解決傳統體積力法在導管螺旋槳中的適用局限性問題，將首先基于機翼理論分析導管螺旋槳水動力模擬失真的原因，然后提出質量流量修正和分布修正這2種修正方法，最后在敞水和艇后這2種工況下探究2種體積力分布形式的模擬精度，并對改進的螺旋槳體積力模型進行數值驗證，用以為搭配導管螺旋槳的水下航行器高效、準確的動態操縱性仿真奠定基礎。

1 數值模擬方法

本文采用RANS方法和STAR-CCM+平臺求解器開展基于體積力法的導管螺旋槳水動力性能研究。

1.1控制方程

對于三維定常、不可壓縮的黏性流場，流體滿足連續性方程和動量守恒方程：

式中：，(i，j=1，2，3)為坐標分量；，(i，j=1，2，3)為速度分量時均值；為流體密度；p為壓力時均值；，分別為重力加速度和自定義單位質量力在方向的分量；為雷諾應力項；為動力黏性系數。雷諾平均應力張量采用經典的渦黏假設，并表達成Boussinsq建議的形式：

式中：為湍流渦黏度；k為單位質量流體的湍流脈動動能；為克羅內克函數。采用適合進行潛艇操縱性數值計算的兩方程模型，即剪切應力運輸（shear-stresstransport，SST）湍流模型封閉RANS方程，該模型對于附著邊界層湍流和適度分離湍流均有著較高的計算精度[14]。湍動能k和單位耗散率的運輸方程以及其中各參數的定義與取值參見文獻[15-16]。

1.2計算模型及網格劃分

本文選取Myring型回轉體和荷蘭船模試驗水池著名的No.19A導管作為研究對象。Myring型回轉體和No.19A導管的幾何外形圖如圖1所示。表1給出了回轉體和導管（組合體）的主要參數。

計算域及邊界條件如圖2所示。流體計算域為長方體和組合體之間的區域，長方體的長、寬、高分別為80b，16b和16b。回轉體和導管表面為無滑移壁面，長方體除下游邊界面為壓力出口外，其余5個面均為速度入口。組合體首部距上游邊界面24b，距下游邊界面55b，距左右邊界面皆約8b。圖3所示為組合體的網格劃分及加密圖。對回轉體及導管周圍網格進行加密以準確捕捉變化梯度大的物理量。近壁處最外層的貼體網格尺寸應與相鄰網格尺寸相當，以使網格過渡自然。回轉體設置5層邊界層網格，第1層網格高0.5mm；導管設置4層邊界層網格，第1層網格高0.04mm。對施加了體積力源項的導管內螺旋槳盤面附近區域進行加密，以提高體積力源項分布精度。在導管及回轉體壁面設置邊界層網格，以使其y+值整體處于60附近。

2 傳統螺旋槳體積力法原理與失真分析

2.1傳統螺旋槳體積力法原理

傳統的螺旋槳體積力法是指目前使用最普遍的以Goldstein最佳分布為分布模型的描述型體積力法，亦即經典的H-O模型[7]，本文稱“Goldstein分布”方法。

該體積力沿圓柱形虛擬盤軸向均勻分布，徑向分布遵循Goldstein最優化分布：

其中：

以上式中：，分別為體積力的軸向分量與切向分量；r為徑向坐標；為槳轂半徑；梢圓半徑；Δ為虛擬盤厚度；T，Q分別為螺旋槳的推力和扭矩。

2.2敞水性能模擬失真分析

對No.19A導管搭配Goldstein分布型螺旋槳的體積力模型（以下簡稱“導管+G”）進行數值模擬，探究該模型對導管螺旋槳敞水性能的數值模擬精度以及適用性。仿真場景如圖4所示，體積力源分布于導管內部以模擬實體螺旋槳的水動力效應。仿真中，敞水性能曲線取Ka4-70單槳敞水曲線值，進速系數J取導管螺旋槳設計區間0.1～0.7，螺旋槳體積力模型轉速n恒為1500r/min。導管+G的敞水性能曲線仿真結果如圖5（a）所示。圖中，KTPG和KTDG分別為槳推力系數及導管推力系數，KTP0和KTD0為相應的試驗值[17]。

由圖5（a）可見，槳推力系數與試驗值的變化趨勢一致，平均相對誤差為?8%；而導管推力系數與試驗值的變化趨勢則相去甚遠，平均相對誤差在50%以上。為了探究導管推力仿真值精度較低的原因，對導管的受力進行了分析。導管流場和導管切面的受力分析如圖6所示。圖中，和分別為翼型升力與阻力，F為合力。No.19A導管屬加速型導管，可使流入槳盤的水流加速，從而形成導管內部流速相對較高、導管外部流速相對較低的流場特征。在導管和螺旋槳的共同作用下，導管切面的來流速度如圖6（b）所示。導管切面可以視為翼型，為攻角，當導管內、外的軸向流速比增大時，攻角增大，反之減小。當攻角較大時，合力F的軸向分力指向上游，此時，導管產生前進方向的推力；當攻角恰好為使得合力F的方向為徑向的某值時，導管推力=0；同理，當攻角較小時，導管將產生指向下游的負推力。因此，導管推力與導管和螺旋槳耦合的水動力有關，然而Goldstein分布型螺旋槳體積力模型卻并未考慮導管和螺旋槳的相互作用，導致導管推力系數的模擬值與試驗值之間差異較大。

攻角的大小（或導管內外軸向流速比）影響翼型的升阻比，亦即影響導管推力的大小。導管內部流體的質量流量是導管內外軸向流速比的宏觀表征。各進速系數下的導管螺旋槳內流量如圖5（b）所示，其中為No.19A+Ka4-70實體導管螺旋槳的數值仿真結果。由圖可見，遠小于，差異較大。該差異是隨進速系數J的增大而減小的，這同導管推力系數與試驗值間差異的變化趨勢相同，即進速系數越大，質量流量間的差異越小，導管推力系數的相對誤差也就越小。該現象與上述關于導管推力仿真值精度較低原因的分析相符。質量流量間的差異現象或與轉子的阻塞效應有關。

3 改進螺旋槳體積力方法

針對上節中提到的Goldstein分布型螺旋槳體積力模型未考慮導管和螺旋槳的相互作用而使得推力模擬不準確的問題，本文將從質量流量和體積力分布這2個方面提出修正措施，以改進傳統螺旋槳體積力方法。3.1質量流量修正J?J?為實現質量流量修正，本文在計算螺旋槳進速系數時以校正進速系數替代常規進速系數J。校正進速系數的表達式如下：

即在誘導速度Vinduced前引入流量修正系數，此時，校正進速為入流面速度VInflowPlan減去倍誘導速度λVinduced。當λ≡0時，表示是未經質量流量修正的常規進速系數J。此處進行兩點簡化處理：一是僅考慮軸向誘導速度；二是誘導速度同時包含螺旋槳和導管所誘導的速度。質量流量Q的定義為

式中，S為入流面（過流斷面）面積。

根據式（7）、式（8）關于校正進速系數J*和質量流量Q的定義可知，若螺旋槳轉速和遠處的來流速度（航速）不變，根據動量定理，當加速型導管螺旋槳（體積力）正轉時，螺旋槳盤面軸向速度增量|?VInflow|小于導管出口處的軸向速度增量|?Vinduced|。易知當λ>1時，入流面（槳盤面）進速因λ的存在而產生的變化量|?VInflow|總是小于誘導速度因λ的存在而產生的變化量|?λVinduced|。故當λ>1時，校正進速減小，即J*值減小，此時槳推力系數增大，體積力源項增大，從而入流面流速V?AVInflowPlane增大，質量流量Q增大（導管推力系數增大）。由圖5可見，這也正是本文想要達到的修正效果。

流量修正系數可按如下流程求解：

1）通過數值模擬，獲取某轉速下實體導管螺旋槳航速V和Q0的數值關系λQ0=f(V)；

2）通過數值模擬，獲取導管+體積力模型的λ，V與質量流量Q的數值關系λ=g(V,Q)；

3）由數值求解獲取的實時航速v插值求得Q0，再代入λ=g(v,Q0)，插值求得λ=g(v,f(v))。

修正后的螺旋槳改進體積力法實現流程如圖7所示。為凸顯該流程與傳統體積力法流程的不同之處，特將修改或新增的步驟以虛線框畫出。

3.2體積力分布修正

對導管水動力性能影響較大的是導管壁面周圍的流速分布。在質量流量總體相等的情況下，不同形式的體積力分布仍能通過改變導管周圍的流速來影響導管推力的大TD小，故而有必要選擇適當的體積力分布。

現通過數值模擬獲得各進速系數下No.19A+Ka4-70實體導管螺旋槳推力沿標準化半徑的分布，再經各半徑處體積加權后得到槳推力對應的體積力分布，最后將其與Goldstein最佳分布相比較。標準化半徑可以表示為

螺旋槳徑向劃分形式及各標準化半徑下的槳體積力分布如圖8所示。圖中，體積力f以其最大值進行了歸一化處理。當r??0.65時，實體導管螺旋槳體積力的分布曲線與Goldstein最佳分布近似；當r??0.65時，實體導管螺旋槳歸一化的體積力值遞減，進速系數J越大，衰減越快，但基本大于0.6，而Goldstein最佳分布的體積力在r??0.8時小于模擬值，且在r?=1處（葉梢）為0。實體導管螺旋槳體積力分布和Goldstein最佳分布間特征迥異，得出的結果與文獻[8]相符。

根據歸一化槳體積力分布的特點，本文探究了2種體積力分布形式在導管螺旋槳水動力性能模擬中的適用性。

1）簡單均布

2）由于各進速系數J下歸一化槳體積力值的變化趨勢近似，擇其一（本文取J=0.4時的體積力分布）替代Goldstein最佳分布進行體積力分布修正。經曲線擬合，該修正體積力分布的表達式如下：

式中，ai為系數，其取值分別為a0=0.5419，a1=16.443，a2=?50.745，a3=129.8，a4=?168.74，a5=91.85，a6=?15.435。

4 計算方法驗證

4.1實體導管螺旋槳敞水推力驗證

對No.19A+Ka4-70(P/D=1)導管螺旋槳進行數值模擬，并將導管推力、螺旋槳推力等的仿真結果與試驗值進行對比以驗證計算方法的合理性。導管螺旋槳的幾何模型和網格加密區域如圖9所示。計算域由包含導管的計算域和包含螺旋槳的圓柱體計算域組成。圓柱體軸線與槳軸線重合，其側面及2個底面是前述2個計算域內部的交界面。對螺旋槳與導管的間隙、導邊隨邊及槳葉附近區域進行加密以捕捉變化劇烈的物理量。通過調整導管螺旋槳壁面及其附近網格，得到3套網格。采用多重參考系技術模擬螺旋槳的轉動效應。推力模擬結果及其與試驗值的對比如表2所示。由表可見，隨著網格數量的增大，螺旋槳推力系數和導管推力系數的相對誤差整體上呈遞減趨勢。的仿真絕對值與試驗值較為一致，而相對誤差略大，這是因為導管推力系數絕對值較小，對誤差較為敏感；的相對誤差小于5%，在誤差允許范圍內。兼顧計算成本與精度，后文的導管螺旋槳皆采用網格2的相關設置。

4.2回轉體阻力驗證

為了研究回轉體與導管螺旋槳耦合下的整體水動力性能，需要對回轉體的水動力模擬方法予以驗證。對文獻[18]中具有試驗數據的“組合1”型Myring回轉體進行數值仿真，通過加密回轉體壁面及其附近網格，得到3了套網格，通過將模擬結果及其與試驗值的對比，得到如表3所示結果。由表3可知，回轉體在各航速下的阻力模擬值與試驗值吻合較好，隨著網格數的增加，相對誤差逐漸降低。其中，網格b最大的相對誤差為?7.727%，仿真結果在誤差允許范圍內且與網格c相近。因此，為了兼顧計算成本與精度，后文皆采用網格b的相關設置。

5 計算結果與分析

5.1基于改進體積力法的導管螺旋槳敞水水動力性能

使用經流量修正和分布修正的改進螺旋槳體積力模型對No.19A+Ka4-70導管螺旋槳進行敞水水動力性能數值模擬。螺旋槳推力系數、導管推力系數和質量流量Q如圖10所示，圖中參數的下標0，G，1，2分別代表試驗值[17]、Goldstein最佳分布、由式（10）定義的分布（均布，簡稱“分布1”）和由式（11）定義的分布（簡稱“分布2”）。為敘述方便，下文將經流量修正的均布形式的改進體積力法稱為改進體積力法1，將經流量修正的分布2形式的改進體積力法稱為改進體積力法2。

總覽圖10，發現基于改進體積力法1和改進體積力法2所得導管螺旋槳的各參數皆與試驗值吻合較好。其中，改進體積力法1和改進體積力法2的槳推力系數的平均相對誤差分別為7.8%和10%，略優于Goldstein分布方法（其的平均相對誤差為10%）；導管推力系數的相對誤差約為0.1%，說明2個改進模型均能較好地解決導管水動力模擬不準確的問題。改進體積力法1和改進體積力法2的質量流量Q的變化趨勢與試驗值相同，其平均相對誤差分別為4.5%和3.7%，在工程可接受范圍內。而Goldstein分布方法的和Q的平均相對誤差絕對值分別為90.3%和18.5%，已完全失真，且導管螺旋槳常用的重載工況（低進速系數J）誤差高于輕載工況。表4中，總推力系數KTT為KTP與KTD之和。基于Goldstein分布方法，各進速系數下的KTT較試驗值約小30%，誤差較大，而兩種改進方法間的誤差則僅約5%。其中J=0.7因在設計進速系數以外，使得KTT的誤差較大，故計算相對誤差均值時不予考慮。

基于改進體積力法的導管螺旋槳的流速分布如圖11所示。根據體積力分布形式的不同，分布1（均布）下的流速沿徑向分布較均勻，而分布2下的流速則隨徑向距離的增大而增大。兩種體積力分布形式下的導管推力系數幾乎相同，而槳推力系數則有所差異，這是因為分布1和分布2對決定導管推力的導管近流場影響較小，而對槳（入流面）所在區域的流場影響較大。改進體積力法1對的模擬較改進體積力法2更準確，但兩者的偏小與螺旋槳體積力法本身將某選定入流平面的平均速度取作進速的簡易處理有關。總之，改進體積力法整體上可以較好地實現對敞水導管螺旋槳水動力數值的模擬，優于傳統螺旋槳體積力法，可為準確模擬艇體?導管槳（體積力）耦合水動力奠定基礎。

5.2基于改進體積力法的艇?導管螺旋槳耦合水動力性能

導管螺旋槳體積力模型的提出最終是為了提高搭配導管螺旋槳的航行器數值模擬的精度和效率，故本節將導管螺旋槳體積力模型與實體導管螺旋槳模型搭配回轉體后的仿真值進行了對比，以進一步研究艇后改進體積力法1和改進體積力法2的適用性。模擬時，組合體保持靜止，螺旋槳轉速恒定為1500r/min，通過改變來流速度計算不同工況下的水動力性能。槳推力、導管推力、回轉體阻力和質量流量Q的性能曲線如圖12所示。圖中：實體導管槳表示實體導管螺旋槳模型搭配回轉體的工況；下標B表示艇后工況，以區別于敞水工況；下標1，2，G分別表示改進體積力法1、改進體積力法2和Goldstein分布方法。

由圖12可見，相較艇后實體導管螺旋槳工況，基于Goldstein分布方法、改進體積力法1和改進體積力法2的槳推力的平均相對誤差分別為?12%，1.3%和14.0%；基于改進體積力法1和改進體積力法2的導管推力、質量流量Q，尤其是回轉體阻力fm，皆與艇后實體導管螺旋槳相應的仿真值吻合較好，相對誤差僅約0.5%，與Goldstein分布方法相比精度提升較大。質量流量模擬的準確性不僅影響著導管推力，還影響著回轉體尾部壓力場（回轉體阻力）。采用改進體積力法準確預報艇體?導管螺旋槳的耦合水動力可為模擬水下航行器的操縱性動態打下基礎。另外，由圖12（b）～圖12（d）可見，隨著來流速度逐漸增大，基于Goldstein分布方法的導管推力TD、回轉體阻力fm和質量流量Q與實體螺旋槳模型間的誤差逐漸減小。這是因為當進速增大時，螺旋槳水動力螺距角減小，由體積力源所模擬的槳葉升力這一水動力效應減弱，進而導致槳?導管耦合水動力效應減弱，從而使得因模擬耦合效應失真而產生的誤差也隨之減小。

由表5可見，在各來流速度（不含2kn）下，改進體積力法1和改進體積力法2的前進合力的平均相對誤差絕對值分別為1.86%和11.65%，較Goldstein分布方法的平均相對誤差絕對值（30.28%）大幅降低。與敞水工況相似，改進體積力法1于艇后仍有較高的精度，優于方法2。總而言之，改進體積力法整體上較好地實現了對艇后導管螺旋槳水動力數值的模擬，其計算精度均較Goldstein分布方法有較大的提升，也優于傳統螺旋槳體積力法，適用于艇體?導管?體積力耦合水動力的數值模擬。

上節提到，在敞水工況下，當進速系數較大（J?0.7）時，采用體積力法模擬導管螺旋槳推力誤差較大（表4），從圖12（a）、圖12（b）和表5可以看出，在艇后工況下，高來流速度（2kn）時亦如此。現將就該問題予以探討。在高進速系數（進速系數大于導管推力變為阻力時對應的進速系數）下，螺旋槳升力會減少，槳?導管之間的“動水動力效應”隨之降低。為便于理解，假設此時螺旋槳停止轉動，靜止于導管內，承受著高速來流的沖擊。體積力法以體積力源代替槳葉，模擬的是螺旋槳的升力效應，而高進速時，槳葉充當的更多的是阻力的角色，槳?導管之間更多地體現為“靜水動力效應”。現行的體積力法暫無法模擬槳的阻塞效應，為此，郁程等[10]針對體積力法中槳葉的阻塞效應進行了修正研究。再者，當進速增大時，需要捕捉導管渦脫落等流動現象以精確評估導管的水動力特性，這相當于對大攻角水翼的仿真，而本文所用RANS方法難以勝任。

但是，導管螺旋槳一般被設計用于重載工況（低進速系數），在重載工況下，推力較大、效率較高。在高進速系數下，導管的流動分離嚴重、效率較低、推力由正轉負（形成阻力）。因此相對來說，對重載工況的模擬是導管螺旋槳水動力性能研究的焦點，也是本文的焦點。

在艇后工況下，基于改進體積力法2的槳推力（或前進合力）相比基于改進體積力法1的槳推力（或前進合力），其偏離實體模型仿真值更多，這與本文對入流面進速的簡化處理有關。基于改進體積力法的艇后導管螺旋槳的速度分布如圖13所示，其中左圖標出了所取入流面的軸向位置，右圖為入流面無量綱軸向速度分布（經速度最大值無量綱化）。由圖可見，基于改進體積力法1（圖13（a））的導管內速度等值線較為疏松，分布相對均勻；而基于改進體積力法2（圖13（b））的導管內速度等值線密集，分布較不均勻。本文取入流面整體的軸向平均速度為螺旋槳進速，因忽略了來流空間不均勻性對導管螺旋槳水動力性能的影響，使得體積力源無法基于當地進速進行分布。在后續的研究中，可取各半徑處的局部速度為進速以分布體積力源，并將外界來流速度的分布考慮在內。而均布式體積力因改善了來流分布的不均勻性，取得了較高的模擬精度，可作為入流面進速簡易處理法的補償方式。

6 結語

本文基于RANS方法，以No.19A+Ka4-70導管螺旋槳和Myring型回轉體模型為研究對象，對Goldstein分布方法在導管螺旋槳水動力性能模擬中的適用性進行了探究。基于機翼理論，分析了導管水動力模擬失真的原因，并以質量流量和體積力分布模型為切入點，提出了修正理論及方法，最后在敞水和艇后這2種工況下對改進螺旋槳體積力模型進行了數值驗證。主要得到如下結論：

1）采用Goldstein分布方法模擬例如導管螺旋槳等的內部流動時，精度較低，水動力數值計算結果不可靠，而本文提出的基于質量流量相等原則的改進體積力法，即引入質量流量修正系數修正導管搭配體積力模型的質量流量，可以使導管搭配體積力的模型與實體導管螺旋槳導管內流場的宏觀特征相同（單位時間內通過導管的流體質量相等），得到了適用于導管螺旋槳的高效而準確的改進體積力法。

2）對于本文所提的適用于導管螺旋槳的改進體積力法，均布式體積力源分布（改進體積力法1）無論是在敞水工況還是在艇后工況中，模擬精度均較高。

3）改進的螺旋槳體積力法因引入了流量修正，能較好地模擬槳（體積力源）?艇的相互作用，獲得了與槳（實體）?艇模型精度相當的艇體阻力和導管槳推力，其精度較Goldstein分布方法有較大的提升。

4）改進的螺旋槳體積力法雖能得到更準確的導管螺旋槳總推力，但較Goldstein分布方法需要更多關于導管槳本身的信息，例如航速和導管內質量流量的關系。然而，該代價在模擬搭配實體導管螺旋槳的航行器的動態操縱性所需高時耗面前微不足道。

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文章來源：中國艦船研究