問題描述：已知NURBS曲面，現在想根據x和y坐標的情況下，求z的值。由于 NURBS 曲面是參數曲面，在僅知道(x，y)坐標的情況下無法直接求出該點的矢高值，而是需要先將物理空間坐標值(x，y)轉換成對應參數空間坐標(u，v)，然后再根據(u，v)值求解出該點的物理空間坐標(x，y，z)。由于(x，y)到(u，v)無法求出解析表達式，只能通過迭代求解。

參考文獻：

NURBS自由曲面在光機設計和分析中的應用

The NURBS Book 2nd

迭代算法1：

距離矢量算法：

首先，建立已知的空間坐標(x，y)和待求的參數空間坐標S(u，v)之間的距離矢量公式如下：

當距離矢量 r 取得最小值時，r 和 NURBS 曲面在參數坐標所決定的空間點處的切向量的點積應為零

采用牛頓迭代算法求解方程組，對上式兩端進行偏微分

所以

式中，δi是參數ui和vi的Newton迭代改進步長；

Ji為向量的雅可比矩陣，如下

由于雅可比矩陣比較復雜，該算法進行一次迭代需要計算NURBS曲面兩次一階偏導數和四次二階偏導數。

迭代算法2：

光線追跡法

由于距離矢量法需要計算曲面的二階偏導，速度較慢，因此研究了基于光線曲面求交方法的坐標轉換方法。

為了求取NURBS曲面上橫縱坐標為(x,y)的點的z值，假設有一條光線從點(x,y,0)以方向(0,0,1)出射并與曲面相交，則光線與曲面的交點即為所求的點。

光線矢量定義為兩個空間平面的交線，如下圖

兩個平面分別表示為

Ni為平面的法線向量，是與光線方向垂直的單位向量；

di為原點距平面的距離。

當曲面上點為光線與曲面的交點時應該滿足以下判斷條件R

根據三維空間的牛頓迭法，上述方程可改寫為：

上式中：J為R的雅可比矩陣。

Su (u,v)和Sv (u,v)為曲面方程分別關于u和v的一階偏導，表示曲面沿著u和v向的切線向量。