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該文章提出的一個mesh-free的方案，該方案的主要優勢是不改單元、不加 DOF，只在材料子程序內部，用鄰近積分點的數據做一次局部重構，就算出梯度，該策略對某個積分點 x，附近有一團“鄰居積分點” xI，作者把它們當成 mesh-free 的“節點”，對每個場變量 u(x)（可以是 γ˙a，Fp 的分量）做 MLS 擬合，如下圖所示：權函數使用立方樣條，有緊支撐，距離越近權越大：

注：由于技術鄰排版風格有限，故部分內容顯示不全，感興趣的小伙伴可點擊原文進行閱覽： 有限元計算過程中積分點應力如何外插至節點處？

按照正常的理解，毫無.疑問，abaqus 全積分一定是采用了2x2x2=8個積分點。從后處理結果來看，似乎也是如此，每個單元存在8個積分點。然而，如果自己動手跑一遍程序，就會發現事實遠非如此，采用全積分計算得到的結果與abaqus 存在差異，原因何在？

為此，我們可以使用派生值功能，這是一個有用的后處理功能，用于計算數據集中每個解的積分量。要創建一個派生積分值，首先進入結果 > 派生值 > 積分 > 表面積分 或體積積分。然后，選擇應該進行積分的邊界或體積。最后，輸入要積分的表達式。 派生值功能會生成一個帶有數值的表格；你不能對不同的數值進行數學運算。

? 采樣點是指對空間域中的結果場進行采樣。 ? “方向數”是指整個數值孔徑在角域中的采樣點。 ? 單擊創建結果，顯示電場和能量密度。 ? 近焦平面的電場和能量密度 文件信息 進一步閱讀- - Debye-Wolf積分研究理想的矢量聚焦情況- - 分析高NA物鏡聚焦

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? 采樣點是指在空間域中對結果場進行采樣。 ? 方向數是指角度域中全數值孔徑的采樣點數。 ? 單擊生成結果(Create Result)，顯示電場和能量密度。

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? 采樣點是指對空間域中的結果場進行采樣。? “方向數”是指整個數值孔徑在角域中的采樣點。? 單擊創建結果，顯示電場和能量密度。 ?

可以看出，如果不考慮剛度比例阻尼的話，高頻能量逐漸累積，計算結果整體呈發散狀，而考慮剛度比例阻尼后，高頻能量被耗散，高頻振動被有效控制。圖6 不同阻尼設置下的結構響應3.時間積分方法ETABS中包含了多種時間積分方法，如圖7，均為隱式算法。

如果采用單點積分（積分點在等參元中心），在某些情況下節點位移不為零，即單元有形變，但插值得到的應變卻為零。比如，一個正方體單元變形為等腰梯形，節點位移相等卻方向相反，各點的形函數為零，所以插值結果為零，這樣內能計算結果也為零，即計算認識單元沒有變形，與事實相左。LS-DYNA 里的 Hourglass 現象基本上只發生在單點積分的單元里。舉例來說，考慮一個由四個邊構成的殼單元。

對于低階單元，經過縮減積分處理后，僅有一個積分點，這使得該選項在計算效率上超越了B-bar方法（選擇性減積分）和增強應變公式。 然而，需要注意的是，使用這種方法可能會出現沙漏現象。 【沙漏現象】又稱為零能量模式，特指在采用單一積分點的低階四邊形或六面體單元中，出現的一種特定行為。在這種模式下，當單元發生彎曲變形時，通過積分點的水平線與豎直線的長度并不會發生變化，且其夾角也保持恒定。

wx_fmt=png" width="100%"> </p><p><br></p><p>同理如果在Cell Zone Conditions---Fluid中設置了能量源項（W/m3），則Net results顯示的為添加能量源項計算域的積分值。

在有限單元法的力學分析中，一般以節點的位移作為基本變量，單元內節點的位移以及應變均采用形函數對各點位移進行插值計算得到。應力根據本構方程由應變計算得到，之后就可以計算單元的內能了。如果采用單點積分（積分點在等參元中心），在某些情況下節點位移不為零（即單元有形變），但插值得到的應變卻為零。

有線體積法 有線體積法又稱為控制體積法，是將計算區域劃分為網格，并使每個網格點周圍有一個互不重復的控制體積，將待解的微分方程對每個控制體積積分，從而得到一組離散方程。其中的未知數是網格節點上的因變量。子域法加離散，就是有限體積法的基本思想。有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。

主要假設是： F/# 足夠大，因此標量衍射理論適用; 與從光學系統的出瞳到像面的距離相比，衍射 PSF 具有顯著能量的區域很小; 出瞳相對于入瞳沒有明顯的失真。這意味著入射光瞳上的光線均勻分布在出瞳上; 采樣設置得足夠高，以準確模擬 PSF; 入射到像面的主光線接近法向入射。光學系統的 FFT PSF 計算如下：光線網格從光源點到出瞳進行追跡。

繼上次的推文：有限元計算過程中積分點應力如何外插至節點處？【公式推導篇】，本次分享單元積分點應力外插至節點處的數值實現過程。

J積分 1968年由賴斯 (J．R．Rice) 提出。它反映裂紋頂端由于大范圍屈服而產生的應力、應變集中程度。J積分的定義是： 用于研究平面問題,它代表與裂紋擴展有關的能量。式中右側第一項是與應變能有關的能量，其中，W 是應變能的密度（即單位體積應變能）。在彈塑性情況下，為單調加載過程中試件各處體元所接受的應力變形功密度（包括彈性應變能和塑性變形功）。