作為一名技術(shù)支持工程師，我收到的最常見的一個技術(shù)問題是：”我怎樣計算流體流動仿真的質(zhì)量守恒或共軛傳熱仿真的能量平衡？” 這通常是為了研究和確保仿真的準(zhǔn)確性而提出的要求。本文將演示如何在 COMSOL Multiphysics? 軟件中進行這些計算，并介紹一些可以用來對能量平衡方程的能率項進行后處理的預(yù)定義變量。

讓我們從質(zhì)量守恒開始

為了演示文中所涉及的不同主題，我將以一個 鋁制散熱器 為例，這個散熱器通常用于通過散熱來冷卻電氣設(shè)備。如果你有 傳熱模塊 或  CFD 模塊 ，可以在 COMSOL Multiphysics 案例庫中找到這個教程模型的穩(wěn)態(tài)版本。

該散熱器由鋁制成，集成了大量用于冷卻的支柱，并安裝在由硅玻璃材料制成的芯片上。在模型設(shè)置中，散熱器位于一個矩形通道內(nèi)，有一個氣流的入口和出口。芯片作為一個熱源，產(chǎn)生 1W 的熱量。

基本散熱器的幾何形狀

在流體力學(xué)中，由質(zhì)量守恒得到一個著名的局部連續(xù)性方程：

對該方程在流體域積分，應(yīng)用 散度定理 ，得到質(zhì)量守恒的全局公式：

因此，

我們來仔細(xì)看一下上面的方程。當(dāng)你對流體流動進行建模時，可以計算這個方程，來檢查你的模型的質(zhì)量守恒準(zhǔn)確性。在任何穩(wěn)態(tài)分析中，這個方程簡化為  ，并指出，質(zhì)量進入系統(tǒng)的速度等于質(zhì)量離開系統(tǒng)的速度。換句話說，入口和出口的質(zhì)量流動必須平衡。

一個常見的錯誤是假設(shè)是，質(zhì)量守恒可以簡化為體積流動速率  守恒。如果流體密度是恒定的，如不可壓縮流，連續(xù)性方程簡化為  ,即流速的散度消失。在不可壓縮流的情況下，這個假設(shè)是正確的。然而，在大多數(shù)工程問題中，這一假設(shè)是不成立的。粗略地說，在無運動邊界的情況下，只要密度不依賴于任何可能導(dǎo)致密度沿流線變化的變量（如絕對壓力、溫度、濃度等），我們就可以考慮它。

也就是說，我們在 COMSOL Multiphysics 中檢查流體流動仿真的質(zhì)量守恒精度。為此，我們可以使用派生值功能，這是一個有用的后處理功能，用于計算數(shù)據(jù)集中每個解的積分量。要創(chuàng)建一個派生積分值，首先進入結(jié)果 > 派生值 > 積分 > 表面積分 或體積積分。然后，選擇應(yīng)該進行積分的邊界或體積。最后，輸入要積分的表達(dá)式。

派生值功能會生成一個帶有數(shù)值的表格；你不能對不同的數(shù)值進行數(shù)學(xué)運算。因此，例如，如果你想用一個數(shù)值減去另一個數(shù)值或計算比率，在定義 > 組件耦合 中定義積分運算符也很方便。這樣，這些運算符就可用于數(shù)學(xué)表達(dá)式，并可在變量列表中的變量定義中自由使用。這樣做以后，你就可以在派生值列表中展示它們。

這里，進口和出口質(zhì)量流量的表達(dá)式都被寫成 spf.rho*(u*nx+v*ny+w*nz)，如下圖所示。spf.rho表示用于定義流體密度的變量；(u,v,w) 是速度場矢量；(nx,ny,nz) 是由 COMSOL Multiphysics 自動計算的選定邊界的法向量。密度變化率可以表示為 d(spf.rho,t)。運算符 d 的目的是對一個變量相對于另一個變量進行求導(dǎo)。在這里，我們?nèi)〉氖橇黧w密度的時間導(dǎo)數(shù)。

對質(zhì)量守恒方程中的每個質(zhì)量流率項進行分步驟計算。

在散熱器模擬的靜態(tài)情況下，進口和出口邊界的質(zhì)量流動速率描述如下。入口和出口之間的相對質(zhì)量差約為1e-5，小于求解器的相對容差設(shè)置，即設(shè)置為 0.001。因此，質(zhì)量守恒是相當(dāng)準(zhǔn)確的。

穩(wěn)態(tài)研究的質(zhì)量守恒結(jié)果。

我們還可以對同一模型進行穩(wěn)態(tài)分析。仿真的總時間被設(shè)定為 20 分鐘，在整個仿真時間內(nèi)，散熱器的底座承受了 1W 的熱通量。求解器的相對容差被設(shè)置為 0.001。仿真結(jié)果可以在下面的動畫中看到。我們將仿真時間設(shè)定為足夠長，以達(dá)到熱和流體流動的穩(wěn)定狀態(tài)。

流體流線用速度模著色，繪制了邊界上的溫度。

下圖給出了瞬態(tài)分析的質(zhì)量守恒結(jié)果。

穩(wěn)態(tài)研究的質(zhì)量守恒結(jié)果。

精確性依然很好。

計算能量守恒

由熱力學(xué)第一定律和力學(xué)定律，可以得出著名的全局熱平衡方程。

這里，  指換熱率，考慮傳導(dǎo) 熱通量  ；輻射 熱通量，  和額外的熱源  ；如電磁熱源( 焦耳熱 )， 感應(yīng)加熱 ，或任何用戶定義的熱源。  代表由力學(xué)應(yīng)力引起的應(yīng)力功率，  是內(nèi)部能量。

該方程中涉及的應(yīng)力功率被轉(zhuǎn)換為熱耗散。應(yīng)力功率表達(dá)式來自連續(xù)體力學(xué)理論，可寫為

式中，  是柯西應(yīng)力張量，  是應(yīng)變率張量。

對于流體，應(yīng)力張量可以分為壓力部分和黏性部分  。然后，應(yīng)力功率變?yōu)閴毫ψ兓龅墓宛ば院纳㈨椀目偤停缦滤荆?/span>

在 COMSOL Multiphysics 中，我們可以選擇添加這些效應(yīng)中的一種、兩種，或者都不添加。通過非等溫流 多物理場節(jié)點，每個效應(yīng)都有一個復(fù)選框，默認(rèn)情況下是不被選中的。

包括壓力變化做的功和包括黏性耗散的特征。

對于共軛傳熱分析，即傳熱方程與 納維-斯托克斯方程 和連續(xù)性方程一起求解時，以下總能量通量成為守恒量。

式中，  是總內(nèi)能。

總能量通量包括對流、傳導(dǎo)和輻射熱通量。它包含了代表對流動能的附加項  ，以及對流應(yīng)力能  。能量平衡方程的形式如下：

在穩(wěn)態(tài)研究中，這個表達(dá)式簡化為

對于這個方程的每個量，都有一個預(yù)定義的全局變量可供后處理。得出的全局計算值可用于計算變量。下表總結(jié)了不同的相關(guān)預(yù)定義變量的名稱。

因此，使用 COMSOL Multiphysics 中的預(yù)定義變量編寫的能量守衡方程為：

使用派生的全局計算值來計算預(yù)設(shè)變量的能量率。

在穩(wěn)定狀態(tài)下，總的累積能率消失了。總凈能率和總熱源必須平衡。穩(wěn)態(tài)研究的結(jié)果顯示如下。相對誤差又遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于相對求解器的容差。

穩(wěn)態(tài)分析的能量守衡。總凈能率和總熱源必須平衡。

下面是瞬態(tài)分析的能率圖。總凈能率逐漸增加，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，這平衡了散熱器上施加的通量 1W。另一方面，總累積能率最初平衡了總的熱源，一旦達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)就會消失。此外，粉紅色的線表示能量平衡的絕對誤差

 

也就是說，在最好的情況下，它應(yīng)該是零。結(jié)果顯示出良好的一致性。

能率與時間的關(guān)系。

結(jié)語

這篇文章，我們討論了穩(wěn)態(tài)以及瞬態(tài)共軛傳熱問題的質(zhì)量和能量守恒理論。還研究了如何用 COMSOL Multiphysics 計算能量和質(zhì)量守衡，來檢查仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。為此，我們介紹了一些有用的派生值功能。預(yù)定義的能率變量很容易使用，可以避免自己手動進行能率表達(dá)式的計算。

我們使用了一個特定的例子來演示文中所涉及的主題，但所演示的方法可以擴展到任何共軛傳熱問題。關(guān)于 COMSOL Multiphysics 中能量守衡的更多閱讀內(nèi)容，請查看傳熱模塊的用戶指南。

本文來自 ：COMSOL博客