CAE工程師必學：斷裂力學的一些知識點附斷裂力學中的數值計算方法及工程應用下載

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2022年5月7日 14:09

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斷裂力學是近幾十年才發展起來了的一門新興學科，主要研究承載體由于含有一條主裂紋發生擴展（包括靜載及疲勞載荷下的擴展）而產生失效的條件。斷裂力學應用于各種復雜結構的分析，并從裂紋起裂、擴展到失穩過程都在其分析范圍內。由于它與材料或結構的安全問題直接相關，因此它雖然起步晚，但實驗與理論均發展迅速，并在工程上得到了廣泛應用。斷裂力學研究的方法是：從彈性力學方程或彈塑性力學方程出發，把裂紋作為一種邊界條件，考察裂紋頂端的應力場、應變場和位移場，設法建立這些場與控制斷裂的物理參量的關系和裂紋尖端附近的局部斷裂條件。

國內外相關研究現狀

目前，斷裂力學總的研究趨勢是：從線彈性到彈塑性；從靜態斷裂到動態斷裂；從宏觀微觀分離到宏觀與微觀結合；從確定性方法到概率統計性方法。所以就斷裂力學本身而言，根據研究的具體內容和范圍，它又被分為宏觀斷裂力學（工程斷裂力學）和微觀斷裂力學（屬金屬物理范疇）。宏觀斷裂力學又可分為彈性斷裂力學（它包括線性彈性斷裂力學和非線性彈性斷裂力學）和彈塑性斷裂力學（包括小范圍屈服斷裂力學和大范圍屈服斷裂力學及全面屈服斷裂力學）。工程斷裂力學還包括疲勞斷裂、蠕變斷裂、腐蝕斷裂、腐蝕疲勞斷裂及蠕變疲勞斷裂等工程中重要方面。如今在斷裂力學研究方法中，又引入可靠性理論，稱為概率斷裂力學，使斷裂力學的研究內容更加豐富，也使斷裂力學的理論得到進一步的發展和完善，并在工程實際中發揮出越來越大的指導作用。

1. 格里菲斯理論

為研究材料內部含有裂紋對材料強度有多大影響，上世紀20年代的格里菲斯首先研究了含裂紋的玻璃強度，并得出斷裂能量的關系：

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這就是著名的格里菲斯斷裂判據，其中，G 為裂紋尖端能量釋放率，γs 是表面自由能（材料每形成單位裂紋面積所需能量）。由此關系可得格里菲斯裂紋應力和裂紋尺寸關系：

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式中，a為裂紋長度。若G>2γs，裂紋將擴展；若G<2γs，裂紋不會擴展；若G=2γs，為極限狀態。又，若裂紋擴展，且dG/da>0，可以確定為失穩擴展；若裂紋擴展，且dG/da<0，則裂紋止裂。

2. 應力強度因子K

裂紋頂端區域彈性應力場強度因子的簡稱，是線彈性力學中反映裂紋頂端區域彈性應力場強弱的力學參數，以符號KI 表示。對裂紋頂端附近區域應力場的研究可知：靠近裂紋頂端的應力，在趨近于裂紋頂端處，其數值以某種方式趨向于無窮大，即具有奇異性。因此，不能用此處應力來衡量其強度。而KI 值能反映裂紋頂端區域彈性應力場的強度，它的數值大小與所受荷載的大小、裂紋尺寸及幾何形狀有關，格里菲斯裂紋的數學表達式為：

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其中，σ 為應力，a 為裂紋長度，按裂紋擴展的三種形式有KI、KII、KIII，分別表示 I 型，II 型和 III 型裂紋的應力強度因子。其中，對于 I 性裂紋：

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式中，E 為平面應力。

注：應力強度因子適用于裂紋尖端塑性區比 K 場區小幾倍，也比裂紋長度小幾倍，如韌性材料。

3. J積分

1968年由賴斯 (J．R．Rice) 提出。它反映裂紋頂端由于大范圍屈服而產生的應力、應變集中程度。J積分的定義是：

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用于研究平面問題,它代表與裂紋擴展有關的能量。式中右側第一項是與應變能有關的能量，其中，W 是應變能的密度（即單位體積應變能）。在彈塑性情況下，為單調加載過程中試件各處體元所接受的應力變形功密度（包括彈性應變能和塑性變形功）。第二項是ds 上面力分量；ds 是路徑Γ 上的弧元。

J積分有以下各性質：

J積分與路徑無關；
J積分能決定裂紋頂端彈塑性應力應變場；
J積分與形變功功率有如下關系：

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式中，B 為試件厚度，U 為試件的形變功，▽為給定位稱。上式是 J 積分得以實驗測定的基礎。

4. 阻力曲線

斷裂力學中表示裂紋在材料中發生穩定擴展行為的曲線（下圖所示）。縱坐標為裂紋擴展的阻力，用 J 積分、CTOD的δ 或應力強度因子K 表示，橫坐標為裂紋擴展量△a。裂紋未擴展時曲線與縱軸重合，一旦擴展則△a≠0，曲線便偏離縱軸，拐點即為起裂點。再后面表示穩定擴展過程。當曲線上某點的切線能通過水平負軸上表示裂紋長度的點時，表示將發生失穩擴展。失穩時裂紋擴展推動力與裂紋擴展阻力隨裂紋尺寸的變化率相同，不需加載裂紋即會自行快速擴展而斷裂。阻力曲線可以用試樣測試，可用于確定起裂值（δi 或JIC）或條件起裂值（δ0.005或J0.005等），也可用以預測構件中裂紋發生亞臨界擴展的過程。

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5. 數值計算方法

隨著斷裂力學研究的日益深入，需要求解的問題日趨復雜化和多樣化，使得如何建立高效、高精度的計算方法成為學者們研究的熱點。由于計算機科學、計算數學和力學等學科的不斷發展，用于解決斷裂力學問題的數值計算方法不斷涌現，從早期的有限差分法、有限元法、邊界元法到現在的無網格法、數值流形法、小波數值法、非連續變形分析等，它們正成為推動斷裂力學研究不斷發展的重要工具。

有限元法：

在有限元解的情況下，通過應力恢復、誤差估計和新網格自動劃分，進而再進行有限元求解，重復這一過程直至得到滿意的有限元解。另外，隨機分析是斷裂力學發展的一個重要方向，也是結構可靠性評估的基礎。隨機有限元法在有限元法的基礎上，采用隨機參數來描述工程實際問題，主要研究內容包括隨機變分原理、隨機有限元控制方程的建立及其求解。

邊界元法：

這是繼有限元法之后發展起來的一種求解力學問題的數值方法。其構成包含如下三個主要部分：

基本解的特性及其應用；
離散化和邊界單元的選取；
疊加法與求解技術。

這種方法的優點是應用Guass定理使問題降階，將三維問題化為二維問題，將二維問題化為一維問題，使數據的準備大為簡化，網格的劃分和重新調整更為方便，最后形成的代數方程組的規模也小得多。

無網格法：

也叫無單元法。該方法將整個求解域離散為獨立的節點，而無須將節點連成單元，它不需要劃分網格，從而克服了有限元法在計算過程中要不斷更新網格的缺陷。計算過程中可以實時跟蹤裂紋尖端區域進行局部細化，將連續的裂紋擴展過程看作多個線性增量，每一個增量內裂紋擴展角根據應力強度因子確定。通過在裂紋尖端細化節點引入外部基函數提高計算精度。

數值流形法：

該方法的基本思想是將微分幾何的流形原理引入材料分析，以拓撲流形與微分流形為基礎，同時吸收有限元中插值函數構造方法與非連續變形分析中塊體運動學理論兩方面的優勢，把連續和非連續變形力學問題統一起來。

小波數值法：

該方法利用了小波具有的良好局部化特性，用小波函數對位移場進行逼近，建立了小波數值計算格式，模擬了裂紋尖端的奇異性問題并求解出裂紋尖端的應力強度因子。

存在的問題及技術關鍵

上述方法或理論均源于格里菲斯的斷裂理論，是建立在奇異性基礎上的，即均基于裂紋頂端應力與應變為無限大的模式展開的。Inglis數學尖裂紋模型的彈性力學解釋斷裂理論的基礎，這種數學尖裂紋上下表面間距為零，裂紋頂端曲率半徑也為零，因而有彈性力學求出的應力分量在裂紋頂端處為無限大，這種現象稱為奇異性。

奇異性理論一直延續至今，但奇異性斷裂力學在物理上存在本質的缺陷，這主要表現在兩方面：