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2.5 總結(jié)本文總結(jié)了屈曲分析的三種方法：（1） 非線性屈曲分析（2） 基于特征值的線性屈曲（3） 基于歐拉應(yīng)力理論修正的線性屈曲在實(shí)際工程中，線性屈曲更適合于工程問題，同時(shí)，由于線性屈曲理論和試驗(yàn)的差異，部分行業(yè)實(shí)際上更多采用基于歐拉應(yīng)力理論修正的線性屈曲。同時(shí)說明屈曲的本質(zhì)還是縱向加壓后橫向剛度變小，導(dǎo)致橫向抗力能力的下降，導(dǎo)致失穩(wěn)彎折。

2.2 特征值屈曲分析 特征值屈曲分析預(yù)測(cè)了理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度。該方法與教科書中的彈性屈曲分析方法相一致。歐拉柱的特征值屈曲分析與經(jīng)典歐拉解相匹配。缺陷和非線性行為阻礙了大多數(shù)現(xiàn)實(shí)世界結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)其理論彈性屈曲強(qiáng)度。因此，特征值屈曲通常產(chǎn)生非保守結(jié)果，因?yàn)樗鼪]有考慮到這些影響。

,結(jié)構(gòu)行為受屈曲主宰，即屈曲為結(jié)構(gòu)最可能的失效模式，此時(shí)結(jié)構(gòu)屈曲分析就具有了特殊的意義。當(dāng)然，歐拉屈曲應(yīng)力是按彈性理論推導(dǎo)的，并不適用于塑性結(jié)構(gòu)，故柱的實(shí)際屈曲載荷與細(xì)長(zhǎng)比的關(guān)系如圖中的虛線所示，對(duì)短柱而言，歐拉屈曲理論誤差較大，但長(zhǎng)柱屈曲理論值與實(shí)驗(yàn)值則相當(dāng)吻合(見圖1). 穩(wěn)定性分析分為兩個(gè)不同的階段，第一階段中，將在結(jié)構(gòu)上施加一組外載荷，然后計(jì)算相應(yīng)的內(nèi)力。

Workbench之22 Eigenvalue Buckling 特征值屈曲分析特征值屈曲分析系統(tǒng)，預(yù)報(bào)理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度，此方法使用彈性屈曲分析的書本方法，例如，柱體的特征值屈曲分析與經(jīng)典歐拉方法匹配。然而，缺陷和非線性導(dǎo)致實(shí)際結(jié)構(gòu)達(dá)不到其理論彈性屈曲強(qiáng)度。特征值屈曲分析通常求解快速，但結(jié)果不保守。

圖1 鋼柱截面尺寸（來源：ABAQUS結(jié)構(gòu)工程分析及實(shí)例詳解） 圖2 鋼柱幾何模型（2） 材料屬性：鋼柱材料采用 Q345 鋼材，其彈性模量為 210GPa，泊松比為 0.3，屈服強(qiáng)度為 345MPa。在有限元模型中，材料本構(gòu)關(guān)系采用理想彈性模型，因?yàn)樘卣髦?em>屈曲分析主要關(guān)注結(jié)構(gòu)在彈性階段的屈曲行為。

特征值屈曲分析預(yù)測(cè)一個(gè)理想線彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度，缺陷和非線性行為阻止大多數(shù)實(shí)際結(jié)構(gòu)達(dá)到理想的彈性屈曲強(qiáng)度，特征值屈曲一般產(chǎn)生非保守解, 使用時(shí)應(yīng)謹(jǐn)慎。!3、特征值屈曲分析的理論計(jì)算及有限元計(jì)算 （公式顯示好奇怪，做成圖片，有興趣私信聯(lián)系發(fā)word） !

2 波紋管的特征值屈曲分析特征值屈曲分析用于預(yù)測(cè)理想狀態(tài)線彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度。該方法與教科書中的彈性屈曲分析一致，如立柱的特征值屈曲分析結(jié)果與經(jīng)典歐拉方法一致[6]。但是，實(shí)際結(jié)構(gòu)的不完美和非線性特性會(huì)導(dǎo)致臨界載荷小于理論彈性屈曲強(qiáng)度，故特征值屈曲分析會(huì)導(dǎo)致不保守的計(jì)算結(jié)果[7]。但是對(duì)于研究屈曲載荷隨波紋管的變化的規(guī)律是足夠的，也是方便的。

2.ABAQUS 的線性屈曲分析ABAQUS 中提供兩種分析方法來確定結(jié)構(gòu)的臨界荷載和結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲響應(yīng) 的特征形狀：線性屈曲分析(特征值屈曲分析)、非線性屈曲分析。線性屈曲分析用于預(yù)測(cè)一個(gè)理想的彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度。它是預(yù)期的線 性屈曲荷載的上限，可以作為非線性屈曲分析的給定荷載，在漸進(jìn)加載達(dá)到此荷 載前，非線性求解必然發(fā)散；它還可以作為施加初始缺陷或擾動(dòng)荷載的依據(jù)。

要理解非線性屈曲分析，首先要了解特征值屈曲。特征值屈曲分析預(yù)測(cè)一個(gè)理想線彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度，缺陷和非線性行為阻止大多數(shù)實(shí)際結(jié)構(gòu)達(dá)到理想的彈性屈曲強(qiáng)度，特征值屈曲一般產(chǎn)生非保守解, 使用時(shí)應(yīng)謹(jǐn)慎。 非線性屈曲分析時(shí)考慮結(jié)構(gòu)平衡受擾動(dòng)（初始缺陷、載荷擾動(dòng)）的非線性靜力分析，該分析時(shí)一直加載到結(jié)構(gòu)極限承載狀態(tài)的全過程分析，分析中可以綜合考慮材料塑性、幾何非線性、接觸、大變形。

<p>在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)中，很多地方都用到了板的彈性屈曲臨界應(yīng)力，比如：截面等級(jí)S4限值的計(jì)算、S5級(jí)截面屈曲后強(qiáng)度計(jì)算過程中所用到的均一化長(zhǎng)細(xì)比λ_np。</p><p>因此對(duì)板的彈性屈曲分析的了解，可以更好的幫助我們理解規(guī)范中寬厚比限值以及屈曲后強(qiáng)度計(jì)算。

計(jì)算壓縮支柱的臨界載荷（如歐拉屈曲案例）就是這樣一個(gè)例子。 在 COMSOL Multiphysics 中，有一種特殊的研究類型稱為“線性屈曲”。在研究時(shí)，需要添加任意大小的外部荷載。它可以是一個(gè)單位載荷或預(yù)期的工作負(fù)荷。這個(gè)研究包括兩個(gè)研究步驟： 穩(wěn)態(tài)研究步驟，計(jì)算所施加載荷的應(yīng)力狀態(tài)。 線性屈曲研究步驟。

例如，對(duì)于簡(jiǎn)單形狀的煤氣罐，可以利用經(jīng)典的彈性力學(xué)理論，如薄板理論、薄殼理論等，推導(dǎo)出相應(yīng)的屈曲計(jì)算公式。然而，這種方法往往需要對(duì)煤氣罐的結(jié)構(gòu)進(jìn)行大量的簡(jiǎn)化假設(shè)，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的煤氣罐，計(jì)算結(jié)果可能與實(shí)際情況存在較大偏差。而且，理論計(jì)算過程通常較為繁瑣，需要具備深厚的力學(xué)和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于一般的工程技術(shù)人員來說，實(shí)施難度較大。

這種行為通常由彈性材料的歐拉屈曲公式控制，但它可能涉及彈性屈曲或非彈性屈曲，具體取決于材料的屬性和構(gòu)件的幾何形狀。02-橫向扭轉(zhuǎn)屈曲（Lateral - Torsional Buckling）橫向扭轉(zhuǎn)屈曲主要發(fā)生在受彎梁中，這種屈曲模式會(huì)引起構(gòu)件橫向位移和扭轉(zhuǎn)。

采用abaqus對(duì)其進(jìn)行線性屈曲分析，模型約束條件為:對(duì)撐支座處設(shè)置為鉸接，桿件交匯處設(shè)置支座使其不發(fā)生重力方向的移動(dòng)，并施加水平彈簧支座，模擬立柱對(duì)對(duì)撐提供的側(cè)向剛度，具體屈曲模態(tài)結(jié)果見圖4所示。通過計(jì)算得到的臨界承載力，采用歐拉公式反推對(duì)撐的計(jì)算長(zhǎng)度，最終結(jié)果匯總見表2所示。

再次，彈性力學(xué)中，對(duì)于剪應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定不同于材料力學(xué)。材料力學(xué)中，剪應(yīng)力規(guī)定使微元體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力為正，而將使微元體發(fā)生逆時(shí)針選擇的剪應(yīng)力規(guī)定為負(fù)，如圖 7 所示。 彈性力學(xué)希望構(gòu)建一套只依賴于坐標(biāo)，而不依賴于具體觀察者位置的理論體系。

進(jìn)行非線性屈曲分析 進(jìn)行線性（特征值）屈曲分析 該初步分析預(yù)測(cè)了理想線性彈性結(jié)構(gòu)（完美圓柱體）的理論屈曲壓力以及下一步中用于產(chǎn)生缺陷的屈曲模態(tài)形狀。這也是檢查建模完整性和正確性的有效方法。

此外，如果考慮壓縮下整個(gè)微晶的屈曲（圖2e），則使用彈性理論進(jìn)行理論計(jì)算得出的微觀結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)抗壓強(qiáng)度將超過真實(shí)的碳纖維抗壓強(qiáng)度，從而使該理論失效。最后，根據(jù)理論計(jì)算和實(shí)際值之間的關(guān)系，提出碳纖維抗壓強(qiáng)度受限于不受支撐區(qū)域彎曲單個(gè)微晶平面所需的應(yīng)力，如圖2f所示參考碳纖維的微觀結(jié)構(gòu)，亂層石墨結(jié)構(gòu)包圍有大量孔隙。