本示例問題是使用非線性穩定的非線性屈曲和后屈曲分析。該問題使用一個承受均勻外壓力的環肋圓柱來說明如何找到非線性屈曲載荷，在屈曲后階段實現收斂，并解釋結果。

簡介

屈曲分析對于成功的結構設計和仿真至關重要，尤其是當涉及薄殼和梁等結構時。雖然線性屈曲分析相對簡單，但它受到近似值的限制，無法模擬后屈曲現象。非線性屈曲分析沒有這些局限性，因此是首選的，即使它稍微復雜一些，需要一些試錯實驗。

通過類比，在物理世界中也很難確定屈曲的開始。“從科學和工程的角度來看，當肉眼可見結構未變形時，屈曲現象的有趣階段通常發生在變形非常大之前或僅輕微變形”。為了進行非線性屈曲分析，需要特殊的非線性分析技術來克服收斂困難，通常需要進行一些試驗。

以下技術可用于解決不穩定性或屈曲問題：

• 非線性穩定

該能力處理屈曲的局部和全局不穩定性，可用于除弧長法以外的任何其他非線性技術。

• 弧長法

該方法僅處理施加力時的整體失穩或屈曲，并可以模擬載荷-位移曲線的負斜率區域

• 將靜態問題作為“慢動態”分析

該技術使用動態效果來防止發散，但可能很難使用。

本示例使用外部靜水壓力下的環形加緊圓柱來演示如何預測屈曲載荷并借助非線性穩定來模擬后屈曲現象。將數值模擬結果與參考實驗結果進行了比較。

問題描述

一個由裸露的2024-T3鋁合金制成的圓柱體內部用五個Z形環加固。它的兩端用厚鋁隔板封閉。在頂板和頂環以及底板和底環之間存在鉚接的L形截面。

圓柱承受外部壓力差。壓力導致局部屈曲現象，其特征是加強環之間的蒙皮屈曲，最終導致坍塌。對屈曲壓力、屈曲和坍塌模式、圓柱體屈曲的波數以及荷載-位移曲線進行了檢查，并與參考結果進行了比較。

下表顯示了圓柱尺寸、環間距以及圓柱和Z-截面環的厚度。所選尺寸基于參考模型。

建模

環肋圓柱的有限元模型由26796個SHELL281單元組成，單元尺寸為10 mm。屈曲分析需要精細網格，并且需要完整的360度模型，因為屈曲發生后變形不再是軸對稱的。

所有殼單元具有均勻的厚度。在模型中創建了五個沒有偏移的截面，因此默認情況下，殼截面偏移到中間平面。

下圖顯示了殼網格（/ESHAPE）的網格（a）和展開實體表示（b）：

該圖顯示了圓柱、板和Z形環的45度圓柱扇形

材料參數

圓柱、環和板由2024-T3薄板鋁合金制成，并具有以下材料性能（根據AMS 4037性能數據）：

使用von Mises屈服標準和各向同性硬化（TB，BISO）對材料的塑性部分進行建模，用雙線性應力-應變曲線描述，該曲線具有以下常數：

切線模量是假設的，因為參考文獻中沒有提供該特性的數據。由于參考文獻并未提供所有必要的材料數據，一些材料數據是從其他出版物中獲得的，其中詳細說明了相同材料的特性。

邊界條件和加載

用于該問題的圓柱體廣泛用于支持潛艇船體和航空航天應用中的外部壓力載荷；因此，參考實驗將圓柱體建模為自由漂浮物體進行測試。

對于該數值分析，唯一需要的邊界條件是防止剛體運動的六個邊界條件。因此，總共六個位移被施加到位于頂板上0度、90度和270度的三個節點上；節點受到限制，使得圓柱體不可能進行所有剛性平移和旋轉。

載荷由均勻分布的外部壓差組成：Pext=0.24 MPa

分析和求解控制

在大多數情況下，線性屈曲分析僅為實際結構的屈曲行為提供上限。因此，通常優選進行非線性屈曲分析，這可以考慮非線性材料行為和大撓度響應的影響。

進行非線性屈曲分析

獲得環肋圓柱非線性屈曲和坍塌的方法基于以下操作順序：

1. 進行線性（特征值）屈曲分析

2. 生成缺陷

3. 進行非線性屈曲分析

進行線性（特征值）屈曲分析

該初步分析預測了理想線性彈性結構（完美圓柱體）的理論屈曲壓力以及下一步中用于產生缺陷的屈曲模態形狀。這也是檢查建模完整性和正確性的有效方法。

為了進行線性屈曲分析，必須獲得具有預應力效應的靜態解，然后使用Block Lanczos方法和模態展開法獲得特征值屈曲解，如以下示例輸入所示：

生成缺陷

如果一個結構是完全對稱的（也就是說，它的幾何形狀-包括網格樣式-和載荷都是對稱的），則在數值上不會發生非對稱屈曲，并且非線性屈曲分析會失敗，因為無法觸發非對稱屈曲響應。

在這個問題中，幾何、單元和壓力都是軸對稱的。因此，不可能用初始模型模擬非軸對稱屈曲。為了克服這個問題，必須引入小的幾何缺陷（類似于制造真實結構引起的幾何缺陷）來觸發屈曲響應。

盡管也可以引入小擾動載荷以達到相同的目的，但這不是一種理想的方法，因為很難確定載荷的大小以及在何處施加載荷。此外，過大的擾動負載可以完全改變問題。

幾何缺陷可以以屈曲模態的形狀或具有隨機振幅的給定形狀產生。

• 通過運行初步線性屈曲分析，然后將有限元模型的幾何結構更新為變形結構，可以獲得屈曲模式形狀中的缺陷。這項技術是通過添加按比例因子減少的振型位移來實現的。添加一些模態形狀是安全的，以避免缺陷中的任何偏差。

• 通過用隨機數修改節點坐標（使用RAND參數函數）引入偽隨機缺陷。

缺陷大小通常取決于幾何形狀，且應與制造公差在相同范圍內（通常小于1%），以便在分析過程中不會改變問題。

對于該問題，將缺陷添加為初步屈曲分析中提取的前10個模態形狀的總和。（雖然也可以使用隨機缺陷，但它們的缺點是不能重復；因此，每次運行分析時，結果都會不同。）

由于圓柱體的半徑為355.69 mm，而振型的最大位移為1 mm，因此在使用振型更新幾何圖形時應用系數0.1。該系數假定半徑的制造公差約為0.1。以下輸入示例顯示了如何添加缺陷：

進行非線性屈曲分析

非線性屈曲分析是在添加具有大撓度主動（NLGEOM，ON）的缺陷后進行的靜態分析，延伸到加筋圓柱可以達到其極限載荷的點。

為了進行分析，必須允許載荷以非常小的時間增量增加，以便準確預測預期的臨界屈曲載荷。

以下示例輸入運行非線性屈曲分析：

在屈曲時或屈曲后，預計會出現一些收斂困難，因此，使用所有重啟動文件恢復非線性穩定分析是很有用的。最好在每個子步驟（RESCONTROL,DEFINE,ALL,1）或至少每隔幾個子步驟都有重啟文件，因為幾乎不可能確定何時開始屈曲，因此何時通過重啟激活穩定。

后屈曲分析

非線性靜力分析的未收斂解可能意味著發生了屈曲，但并非總是如此。當結構未變形或僅輕微變形時，在變形變得非常大之前開始發生屈曲

通過肉眼觀察很難檢測到屈曲開始，但可以通過繪制載荷-位移曲線或通過監控文件檢查來觀察。要檢測屈曲起始時刻，請仔細研究此階段的監控文件，如圖所示：

從監控文件中，可以進行以下觀察，以幫助確定屈曲是否開始發生以及何時發生，如下所示：

• 收斂出現困難。程序將加載步長增量平分，并在較小的加載下嘗試新的解

• 監測的最大位移具有瞬時值變化。對于特定于屈曲的較小載荷增量，這是大位移發生的好指標。

• 監測到的最大位移在符號上有瞬時變化。這是開始發生屈曲的另一個好指標。

在該示例中，時間（或載荷）增量和位移值的變化發生在子步驟10和11之間，這對應于時間=0.51781和時間=0.53806，并且對應于0.124MPa和0.129MPa之間的壓力。因此，此時很可能發生屈曲；可以肯定的是，分析仍在繼續。目的是通過獲得更大范圍內的載荷-位移特性來驗證本階段所做的評估。

如果收斂困難是由屈曲引起的，則恢復分析意味著開始屈曲后分析。由于后屈曲狀態不穩定，因此需要特殊技術進行補償。在靜態分析中，非線性穩定是最佳選擇。當存在局部屈曲或時間相關材料時，這是唯一的選項。

通常應避免在初始運行中遇到收斂困難的子步驟（在這種情況下為13）作為重新開始的子步驟；因此，為了繼續進行屈曲后分析，從子步驟10開始激活穩定。如果在該子步驟中出現收斂，并且假設穩定能量最小，則可以接受該解。

以下示例輸入運行屈曲后分析：

如果沒有收斂，則應嘗試更早的子步。

施加非線性穩定

有兩種方法可用于控制穩定力：

• 應用阻尼系數（STABILIZE，，damping，，，）

• 應用能量比（STABILIZE，，energy，，）

選擇使用哪種方法，然后為能量或阻尼因子選擇正確的值，都是非常重要的決定。要使用的最佳選項和值取決于不穩定性的類型、模型中使用的單元類型和大小以及加載步的結束時間和子步數。在大多數情況下，決策是基于試錯糾正過程。目標是以最小的穩定力實現收斂，該穩定力可以通過能量比或阻尼系數進行控制。

阻尼法

第一次試驗通常使用能量選項進行，因為：

• 它具有可使用的特定值范圍（介于0和1之間），以及

• 運行后，在下一子步開始時計算阻尼系數，為可使用的阻尼系數提供參考值（如果選擇阻尼作為穩定方法）。

嘗試的第一個能量值提供了0.1e-2的阻尼因子，這有助于收斂，但不會產生顯著的屈曲。然后，阻尼值逐漸減小到0.1e-5，即使在每種情況下都實現了收斂，但由于屈曲導致的坍塌也沒有發生。0.1e-6的值不會導致收斂，應用阻尼系數法的試驗停止。

觀察到的是由于該問題固有的局部化現象。當應用阻尼時，所有單元都使用指定值。當施加的阻尼值太大時，結構上施加的穩定力太大，因此系統剛度太大，容易收斂，不會產生太大變形。相反，當施加的阻尼太小時，不穩定單元不會從足夠的穩定力中受益，因此解會發散。

結論是，阻尼選項對于涉及顯著局部屈曲的問題并不理想。

能量法

由于該問題的特點是局部不穩定性而非全局不穩定性，因此穩定化的能量方法更為有用。能量法對不同的單元使用不同的阻尼值，因此不穩定性大的單元具有較高的阻尼值而不穩定性小的單元具有較小的阻尼值。因此，可以補償不穩定性而不會使系統剛度變得過大。

在確定該問題應通過能量法進行穩定后，使用0.001至0.0001范圍內的能量比進行了幾次試驗。試驗表明，較大的能量比會導致收斂，但不會產生顯著變形和過度穩定能量，較小的能量比導致不收斂。

發現提供收斂的最小穩定能量比為0.000143。利用該值，分析收斂并達到滿載，同時觀察到顯著的屈曲，并將整體穩定能量保持在盡可能低的水平。

下圖顯示了剛度和穩定能量的時間歷程圖：

結果和討論

在下圖中，線性屈曲分析結果顯示了屈曲時的40周向全波：

波數大于參考實驗中獲得的、理論預測的或當前非線性屈曲分析和后屈曲分析中獲得的波數。

所有提取的特征值都聚集在0.63的臨界值附近，這相當于0.15 MPa的屈曲壓力。這種行為是預期的，并且是高度對稱系統的特征，例如靜水壓力下的環形加強圓柱。正如這個問題中的情況一樣，眾所周知，完全對稱的系統對缺陷非常敏感，因為許多不同的模態與相同的特征值或緊密間隔的特征值相關。

一般而言，具有穩定性的非線性屈曲分析結果與參考結果一致，如下所示：

預期的屈曲行為

屈曲發生在TIME=0.5178和TIME=0.559之間，轉化為壓力介于

0.124和0.134 MPa。這些值與0.121MPa的參考屈曲壓力密切相關。

結果可以從位于第一環下方的節點的施加壓力與軸向縮短的關系圖中驗證。下圖顯示了（a）一個節點的施加載荷與軸向縮短的關系，以及（b）同一節點的軸向縮短與時間的關系，但使用了較短的應變范圍（最高0.002）：

上圖中曲線（b）中使用的應變范圍較短，可以很容易地觀察曲線斜率的變化，并且可以很容易預測屈曲時間（壓力）。當載荷-位移曲線（在這種情況下為壓力-軸向縮短曲線）的斜率變為零或突然顯著減小時，就會發生屈曲。

位移在時間0.5178和0.559之間幾乎恒定，其中載荷-位移斜率為零或略負。當載荷接近最大值時，變形速率會非常快地增加，直到圓柱失效。

從TIME=0.98到TIME=1，總變形從11.2 mm增加到47.7 mm，此時環和環之間的蒙皮失效。曲線與實驗結果吻合較好。

注意：

參考文獻中未報告某些材料特性，用于獲得參考結果的圓柱體可能存在幾何缺陷之外的缺陷。材料數據中的任何其他缺陷或差異當然會影響與實驗結果的比較。

下圖提供了一個更好的屈曲現象視圖，由具有最大變形的節點的施加壓力與徑向位移曲線給出：

一個復雜的屈曲機制是顯而易見的。當位移不再是線性的且斜率與其方向相反時，在大約0.129 MPa時，屈曲明顯開始發生。位移隨著斜率符號（從負到正）的變化而繼續，對應于屈曲的向內和向外位移，最大為0.22 MPa。此時，位移急劇增加并導致失效。

下圖顯示了當屈曲開始時，TIME=0.5178（屈曲壓力0.124 MPa）時的總變形；通過肉眼觀察幾乎無法檢測到變形，但已經發生屈曲：

下圖顯示了TIME=0.559（壓力0.134 MPa）時的變形，對應于施加壓力-軸向縮短曲線上的零斜率平臺。結果與參考數據和觀察結果相當。

壓垮數量減少

如以下動畫所示，在整個模擬過程中，壓垮數會減少（在參考實驗結果中也觀察到這種行為）：

壓垮（20）的數量與理論（20）一致，并且接近參考結果（19）。

壓垮尺寸和行為與參考結果一致

最深的壓垮由兩個波合并而成，位于第二環和第三環之間。塌陷時最深的壓垮尺寸為260 mm（接近300 mm的參考尺寸）。

第一和第二環以及第三環和第四環之間的壓垮尺寸為140mm，與參考結果中的相應壓垮尺寸140mm一致。

圓柱一側形成的壓垮在另一側之前，這與參考觀察結果一致。

塑性對屈曲結果影響不大

沒有觀察到塑性影響參考結果和模擬結果。von Mises應力低于屈曲時的屈服應力（269 MPa），如圖所示：

只有局部高應力區域存在于環之間的失效位置，如圖所示：

建議

在進行類似的非線性屈曲和屈曲后分析時，應考慮以下提示和建議：

屈曲分析指南

進行非線性屈曲分析時，應考慮以下提示和建議：

• 了解非線性屈曲分析可能很復雜。

非線性屈曲或屈曲后分析不是一次運行分析，而是一組分析。靜態分析中需要一些先進的非線性技術，如穩定化，這可能需要反復試驗。

• 首先做一個線性屈曲分析

最好從線性屈曲分析開始，以驗證模型的正確性和完整性，并大致了解屈曲載荷可能有多大。在線性分析中，可以擴展振型以預測屈曲振型（用于稍后引入幾何缺陷）。

• 應引入幾何缺陷或擾動載荷。

建議采用線性屈曲分析模式引入幾何缺陷。缺陷的大小應在制造公差范圍內。

• 檢查監控文件

當非線性分析因收斂困難而停止時，應仔細檢查監控文件。子步中的許多等分表示不穩定，位移值的顯著變化可能意味著開始發生屈曲。

• 使用非線性穩定重啟分析

為了驗證非線性屈曲荷載并進行屈曲后分析，應使用一些先進的非線性技術重新開始分析，以檢查更大范圍載荷的載荷位移行為。在靜態分析中，非線性穩定是首選，并且是存在局部屈曲或時間相關材料的唯一選擇。

• 確定最佳位移，以在載荷-位移曲線上找到屈曲載荷

屈曲載荷是載荷-位移曲線斜率顯著減小的載荷。應選擇哪個節點和哪個方向的位移取決于所解決的問題，可能需要進行一些試驗以找到最佳位移。一些位移比其他位移更清楚地顯示了屈曲的開始。

非線性穩定指南

為了在屈曲后分析中應用非線性穩定以實現收斂，請考慮以下準則：

• 確定存在哪種類型的屈曲（局部或全局）。

屈曲類型有助于確定使用哪種穩定方法（阻尼或能量）。對于局部屈曲，能量法是唯一的選擇。對于整體屈曲，可以使用能量法或阻尼法。

• 總是先嘗試使用小值的能量法。

如果阻尼是控制穩定的理想方法，則獲取阻尼系數值并將其用作參考值。

能量法是后屈曲分析的首選方法。然而，由于能量比的范圍僅為0至1，因此必要時可以使用阻尼來獲得穩定力的非常精細的控制。阻尼系數可以是任何正數，但不應偏離參考值太遠。

當嘗試不同的能量比時，不要改變子步數或時間，因為這會影響比較，從而影響決定應該使用哪種穩定方法。

• 盡可能使用最小的阻尼系數或能量比。

規定的能量比或阻尼系數應足夠大以避免發散，足夠小以避免過大的剛度。最好的解應該是使用最小能量比或阻尼因子收斂的解。

• 通過多幀重啟激活穩定。

盡管您可以在解決方案開始時激活非線性穩定，但在大多數情況下，在多幀重新啟動時激活穩定更為有效和準確。如果這樣做，請保存重新啟動文件并從最后一個收斂子步之前的子步重新啟動。如果子步有許多等分或大量迭代，請在之前嘗試一個子步，或者監測位移顯示出顯著變化的子步（因為它可能是屈曲開始的點）。

• 應用穩定后檢查結果。

如果穩定阻尼或能量值過大，精度可能會受到影響。穩定能應遠小于應變能。結果檢查可以在POST1（/POST1）或POST26（/POST26）后處理器中進行。

參考文獻

Bushnell, D. (1985). Computerized Buckling Analysis of Shells. Springer, New York.

Dow, D. A. (November, 1965). Buckling and postbuckling tests of ring-stiffened circular cylinders loaded by uniform external pressure. NASA Technical Note NASA TN D-3111. Langley Research Center.