泊松方程
關(guān)注創(chuàng)建者：四月的歌。 創(chuàng)建時(shí)間：2022-03-10
泊松方程的實(shí)例教程
要點(diǎn)
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問(wèn)題。
有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線(xiàn)性方程，并使用矩陣求逆來(lái)求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無(wú)限自由度的連續(xù)場(chǎng)問(wèn)題替換為有限正則模態(tài)的離散場(chǎng)。
最實(shí)用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領(lǐng)域，工程師必須應(yīng)對(duì)各種物理情況。大多數(shù)情況都可以使用數(shù)學(xué)方程來(lái)描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴(kuò)散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數(shù)值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進(jìn)一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)建模很常見(jiàn)。大多數(shù)物理現(xiàn)象（當(dāng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)）都會(huì)形成偏微分方程 (PDE)。最實(shí)用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個(gè)橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴(kuò)散問(wèn)題等的數(shù)學(xué)建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問(wèn)題。問(wèn)題可以是與時(shí)間無(wú)關(guān)的、與時(shí)間相關(guān)的、線(xiàn)性的或非線(xiàn)性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問(wèn)題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區(qū)域的問(wèn)題域。
讓我們看幾個(gè)物理情況的例子，其中數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現(xiàn)象的例子
擴(kuò)散方程 -在擴(kuò)散問(wèn)題中，通量以化學(xué)溶質(zhì)的量和擴(kuò)散率 (k) 表示。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質(zhì)源：
熱擴(kuò)散方程 -熱擴(kuò)散方程用可能的熱源和熱擴(kuò)散系數(shù)來(lái)表示。
展開(kāi) 靜磁場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，靜磁場(chǎng)滿(mǎn)足的方程為
式中為傳導(dǎo)電流密度第一式表明靜磁場(chǎng)可引入磁矢勢(shì)A描述：
在各向同性、線(xiàn)性、均勻的磁媒質(zhì)中，傳導(dǎo)電流密度[134-1]0的區(qū)域里，磁矢勢(shì)滿(mǎn)足的方程為
選用庫(kù)侖規(guī)范，·A=0，則得磁矢勢(shì)A滿(mǎn)足泊松方程
式中純數(shù) 為媒質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率， 真空磁導(dǎo)率 =1.257×10(亨／米。在傳導(dǎo)電流密度=0的區(qū)域里,上式簡(jiǎn)化為拉普拉斯方程
靜磁場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個(gè)直角分量滿(mǎn)足的方程與靜電勢(shì)滿(mǎn)足的方程有相同的形式。對(duì)比靜電勢(shì)的解，可得矢勢(shì)方程的解。
展開(kāi) 薛定諤-泊松方程多物理場(chǎng)接口可用于模擬量子阱、量子線(xiàn)和量子點(diǎn)等量子約束系統(tǒng)中的載流子。在本文中，我們將以砷化鎵納米線(xiàn)的基準(zhǔn)模型為例，演示如何使用 COMSOL Multiphysics? 軟件附加的“半導(dǎo)體模塊”提供的這項(xiàng)功能。
薛定諤-泊松方程多物理場(chǎng)接口
自 COMSOL Multiphysics? 5.4 版本起，用戶(hù)可以使用全新的薛定諤-泊松方程多物理場(chǎng)接口，在靜電接口和薛定諤方程接口之間創(chuàng)建雙向耦合，借此模擬量子約束系統(tǒng)中的載流子。“靜電”的電勢(shì)使薛定諤方程中的勢(shì)能項(xiàng)增大。“薛定諤方程”特征態(tài)的概率密度的加權(quán)和使“靜電”中的空間電荷密度增大。此接口支持所有空間維度，包括一維、一維軸對(duì)稱(chēng)、二維、二維軸對(duì)稱(chēng)以及三維。
求解薛定諤-泊松系統(tǒng)
薛定諤-泊松系統(tǒng)的特殊之處在于，靜電分析需要穩(wěn)態(tài)研究，而求解薛定諤方程需要特征值研究。為了求解雙向耦合系統(tǒng)，我們對(duì)薛定諤方程和泊松方程進(jìn)行迭代求解，直到獲得自洽解。迭代過(guò)程包含以下步驟：
第 1 步
為了提供良好的初始迭代條件，求解泊松方程
(1)
從而計(jì)算出電勢(shì) ，其中 是介電常數(shù)， 是空間電荷密度。
在這一初始化步驟中， 取自實(shí)變?cè)淖罴殉跏脊烙?jì)值；比如 Thomas-Fermi 近似的值。
第 2 步
上一步獲得的電勢(shì) 對(duì)薛定諤方程中的勢(shì)能項(xiàng) 有所貢獻(xiàn)
(2)
為載體粒子的電荷，其計(jì)算公式為
(3)
其中 是電荷數(shù)， 是元電荷。
第 3 步
利用基于 Eq. 2 推導(dǎo)出的新勢(shì)能項(xiàng)，對(duì)薛定諤方程進(jìn)行求解，得到一組特征能量 和一組對(duì)應(yīng)的歸一化波函數(shù) 。
展開(kāi) 基于matlab的有限差分法求解泊松方程，采用SOR超松弛迭代法。模型采用方形區(qū)域，劃分網(wǎng)格數(shù)為100*100，網(wǎng)格數(shù)可以很方便的更改。程序已調(diào)通，可直接運(yùn)行。
的應(yīng)用)
4.2.8圓柱內(nèi)的溫度場(chǎng)(10的應(yīng)用)
4.2.9電子透鏡(Jo，Io的應(yīng)用)
4.2.10柱體外的電勢(shì)(Ko的應(yīng)用)
4.3泊松方程與格林函數(shù)
4.3.1矩形區(qū)泊松方程
4.3.2球域的格林函數(shù)
4.3.3圓域的格林函數(shù)
第5章熱傳導(dǎo)方程
5.1一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題
5.1.1無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)
5.1.2有限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)
5.1.3輸運(yùn)問(wèn)題(非齊次方程)
5.1.4第三類(lèi)邊界條件下的細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題
5.2二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題
5.3三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題
5.3.1球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題之一(jo的應(yīng)用)
5.3.2柱體內(nèi)的熱傳導(dǎo)
5.3.3球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題之二(j1的應(yīng)用)
第6章波動(dòng)方程
6.1一維波動(dòng)問(wèn)題
6.1.1限長(zhǎng)的弦的自由振動(dòng)
6.1.2兩端固定的弦振動(dòng)問(wèn)題之一(初位移不為零初速為零)
6.1.3兩端固定的弦振動(dòng)問(wèn)題之二(初位移為零初速不為零)
6.1.4兩端固定的弦振動(dòng)問(wèn)題之三(有阻尼)
6.1.5兩端固定的弦振動(dòng)問(wèn)題之四(有驅(qū)動(dòng)力)
6.1.6兩端固定的弦振動(dòng)問(wèn)題之五(質(zhì)量不均勻的弦)
6.1.7非齊次邊界條件下弦的振動(dòng)
6.1.8桿的縱振動(dòng)
6.2維波動(dòng)問(wèn)題
6.2.1矩形膜的振動(dòng)
6.2.2圓膜的振動(dòng)
6.3三維振動(dòng)問(wèn)題
6.3.1柱體內(nèi)的振動(dòng)
6.3.2柱體外的振動(dòng)問(wèn)題之一
6.3.3柱體外的振動(dòng)問(wèn)題之二
6.3.4偶極聲源
6.3.5四極聲源
第7章MATLAB的偏微分方程工具箱
7.1偏微分方程工具箱的功能演示
7.1.1泊松方程
7.1.2亥姆霍茲方程
7.1.3最小表面問(wèn)題
7.1.4區(qū)域分解方法
7.1.5熱傳導(dǎo)方程
7.1.6波動(dòng)方程
7.1.7橢圓型方程自適應(yīng)解法
7.1.8泊松方程快速解法
7.2偏微分方程工具箱的功能
7.2.1可解方程的類(lèi)型
7.2.2邊界條件
7.3_12具箱的用戶(hù)界面窗口
7.4用工具箱解偏微分方程的步驟
7.4.1設(shè)置定解問(wèn)題
展開(kāi) 
泊松方程的相關(guān)專(zhuān)題、標(biāo)簽、搜索
泊松方程的最新內(nèi)容
FDTD被譽(yù)為微納光子器件仿真的黃金標(biāo)準(zhǔn)；MODE是面向平面光波導(dǎo)類(lèi)器件開(kāi)發(fā)的瑞士軍刀；CHARGE求解載流子的漂移擴(kuò)散方程和泊松方程，能夠精確模擬半導(dǎo)體器件中的電學(xué)特性；HEAT則專(zhuān)注于器件熱效應(yīng)的分析，能夠準(zhǔn)確計(jì)算電致發(fā)熱或光吸收引起的溫升；INTERCONNECT作為線(xiàn)路級(jí)仿真工具，可對(duì)整個(gè)光子集成電路系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域及頻域分析。
作品名稱(chēng)：有直流偏磁PWM波電壓勵(lì)磁磁心損耗的有限元仿真
作者：福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院 | 秦家正/汪晶慧/江盛凌
關(guān)鍵詞：磁心損耗、有限元仿真、有直流偏磁的PWM波電壓
作者說(shuō)
Ansys Maxwell 有限元仿真軟件利用有限元分析求解已知邊界條件的泊松方程或者麥克斯韋方程獲得磁性元件的磁矢位分布，進(jìn)而得到磁通密度分布，其可精確地獲得磁心內(nèi)磁通密度分布
FDTD被譽(yù)為微納光子器件仿真的黃金標(biāo)準(zhǔn)；MODE是面向平面光波導(dǎo)類(lèi)器件開(kāi)發(fā)的瑞士軍刀；CHARGE求解載流子的漂移擴(kuò)散方程和泊松方程，能夠精確模擬半導(dǎo)體器件中的電學(xué)特性；HEAT則專(zhuān)注于器件熱效應(yīng)的分析，能夠準(zhǔn)確計(jì)算電致發(fā)熱或光吸收引起的溫升；INTERCONNECT作為線(xiàn)路級(jí)仿真工具，可對(duì)整個(gè)光子集成電路系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域及頻域分析。
Ansys Lumerical | 基于氮化物的微型LED10個(gè)月前
步驟1：從CHARGE模擬中提取載流子密度和電場(chǎng)分布
在第一步中，我們使用CHARGE求解器模擬uLED，該求解器自一致地求解漂移-擴(kuò)散和泊松方程，以返回載流子密度和電場(chǎng)分布。我們進(jìn)行了兩次模擬，第一次模擬不包括極化效應(yīng)，而第二次模擬同時(shí)考慮了自發(fā)和應(yīng)變誘導(dǎo)的極化。材料極化效應(yīng)表現(xiàn)為表面電荷密度，使用表面電荷密度邊界條件應(yīng)用于有源區(qū)域的界面。表面電荷濃度的值是通過(guò)腳本解決方案預(yù)先計(jì)算的。
弱形式到底是什么？為什么有限元離不開(kāi)它？11個(gè)月前
強(qiáng)形式 vs 弱形式
為了說(shuō)明“強(qiáng)形式”和“弱形式”的區(qū)別，我們從一個(gè)最簡(jiǎn)單的一維邊值問(wèn)題出發(fā)，這樣更容易理解其背后的邏輯結(jié)構(gòu)：
例子：一維泊松方程
考慮以下邊值問(wèn)題：
這是一個(gè)非常基礎(chǔ)的微分方程，描述了例如一根受力桿的穩(wěn)態(tài)變形問(wèn)題，其中 u(x) 是位移， f(x) 是分布載荷。
什么是“強(qiáng)形式”？
在靜電場(chǎng)中，泊松方程僅在半導(dǎo)體區(qū)域中求解。鈮酸鋰的大能隙和可忽略的載流子濃度確保不會(huì)發(fā)生電荷傳輸，只會(huì)使用靜電場(chǎng)計(jì)算。電極尖角周?chē)倪吘壭?yīng)會(huì)放大電場(chǎng)強(qiáng)度。在實(shí)際制程中，不會(huì)存在類(lèi)似的尖銳結(jié)構(gòu)，電極邊緣為弧形，我們將看不到如此高的峰值電場(chǎng)。這不應(yīng)該是一個(gè)重要的問(wèn)題，射頻場(chǎng)將對(duì)TE模式的有效折射率產(chǎn)生最大的影響，主要集中在光模場(chǎng)的核心區(qū)域。
下圖反映了一個(gè)2D泊松方程的迭代求解過(guò)程中殘差分布的變化（初始隨機(jī)分布），模型分辨率為100 × 100個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，使用的迭代方法為高斯-賽德?tīng)柕ā？梢园l(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)波長(zhǎng)(低頻)殘差的衰減速度要比短波長(zhǎng)(高頻)殘差慢得多。
因此，我們得到了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的泊松方程，沒(méi)有強(qiáng)迫項(xiàng)。溫度變化ΔT 是主要未知因素。
圖 2-1 豎直方向變形量
2.1.3機(jī)械問(wèn)題
線(xiàn)性化熱彈性本構(gòu)方程如下所示：
?? C : ?????T ? T0 ?l ? ? ?tr???? 2?????3?? 2???T ? T0 ?l
其中?， ?為參數(shù)，?為熱膨脹系數(shù)。關(guān)于目前的問(wèn)題，對(duì)應(yīng)于熱應(yīng)變的 最后一項(xiàng)是完全已知的。
基于matlab的有限差分法求解泊松方程，采用SOR超松弛迭代法。模型采用方形區(qū)域，劃分網(wǎng)格數(shù)為100*100，網(wǎng)格數(shù)可以很方便的更改。程序已調(diào)通，可直接運(yùn)行。
CHARGE 可自洽求解描述靜電勢(shì) (泊松方程) 和自由載流子密度(漂移- 擴(kuò)散方程) 的方程組。
