薛定諤-泊松方程多物理場接口可用于模擬量子阱、量子線和量子點等量子約束系統中的載流子。在本文中，我們將以砷化鎵納米線的基準模型為例，演示如何使用 COMSOL Multiphysics? 軟件附加的“半導體模塊”提供的這項功能。

薛定諤-泊松方程多物理場接口

自 COMSOL Multiphysics? 5.4 版本起，用戶可以使用全新的薛定諤-泊松方程多物理場接口，在靜電接口和薛定諤方程接口之間創建雙向耦合，借此模擬量子約束系統中的載流子。“靜電”的電勢使薛定諤方程中的勢能項增大。“薛定諤方程”特征態的概率密度的加權和使“靜電”中的空間電荷密度增大。此接口支持所有空間維度，包括一維、一維軸對稱、二維、二維軸對稱以及三維。

求解薛定諤-泊松系統

薛定諤-泊松系統的特殊之處在于，靜電分析需要穩態研究，而求解薛定諤方程需要特征值研究。為了求解雙向耦合系統，我們對薛定諤方程和泊松方程進行迭代求解，直到獲得自洽解。迭代過程包含以下步驟：

第 1 步

為了提供良好的初始迭代條件，求解泊松方程

(1)

從而計算出電勢 ，其中  是介電常數， 是空間電荷密度。

在這一初始化步驟中， 取自實變元的最佳初始估計值；比如 Thomas-Fermi 近似的值。

第 2 步

上一步獲得的電勢  對薛定諤方程中的勢能項  有所貢獻

(2)

 為載體粒子的電荷，其計算公式為

(3)

其中  是電荷數， 是元電荷。

第 3 步

利用基于 Eq. 2 推導出的新勢能項，對薛定諤方程進行求解，得到一組特征能量  和一組對應的歸一化波函數 。

第 4 步

利用概率密度的加權和，計算粒子密度分布 

(4)

其中，權重  是通過對平面外連續狀態下的費米-狄拉克分布進行積分而計算出來的（因此取決于模型的空間維度）。

(5)

(6)

(7)

其中， 為河谷形狀簡并因子， 是費米能級， 是玻爾茲曼常數，  是絕對溫度， 是狀態有效質量的密度， 和  是費米-狄拉克積分。

為簡單起見，Eq. 4 的加權和只包含一個用于求和的索引 。當然，求和可以包含多個索引。比如本文的納米線模型計劃對角量子數和（每個角量子數對應的）特征能級進行求和。

第 5 步

對于給定的粒子密度分布 ，我們重新計算空間電荷密度 ，并重新求解泊松方程，由此獲得新的電勢分布 。新的空間電荷密度的簡明算式為

(8)

此算式往往導致迭代發散。下列公式可以推導出更好的估計值

(9)

其中  是上一次迭代的電勢， 是一個額外調整參數。

上方公式的依據是，我們觀察到粒子密度  是基于  的計算結果，一旦泊松方程重新求解，即可得到新的 ， 也隨之變化。換句話說，Eq. 8 可以更明確地寫成

(10)

因為  是  的計算結果，所以  可用于重新求解泊松方程以得到新的 。

為了獲得自洽解，更優的方程式為

(11)

此時  是未知數，因為它來自下一次迭代時薛定諤方程的解。然而，我們可以使用玻爾茲曼統計進行預測，玻爾茲曼統計描述了勢能  和粒子密度  之間簡單的指數關系。

(12)

當  時，得到 Eq. 9。此公式相當適用于高溫條件，此時玻爾茲曼統計是一個很好的近似值。在較低溫度下，將  設為正數有利于加快收斂。

第 6 步

通過重新求解泊松方程獲得新的電勢分布  后，將其與上一次迭代的電勢  進行比較。如果兩次分布在預期容差范圍內一致，則得到自洽解；否則，回到第 2 步繼續迭代。

專用的薛定諤-泊松 研究類型可以在求解器序列中自動生成上述步驟。

基準示例：納米線模型

砷化鎵納米線教學模型的基礎是 J.H. Luscombe、A.M. Bouchard 和 M. Luban 發表的一篇題為“Electron confinement in quantum nanostructures: Self-consistent Poisson-Schr?dinger theory”的論文。

在幾何無限長并呈圓柱形對稱的假設前提下，選擇一維軸對稱空間維度。然后，在半導體分支下選擇薛定諤-泊松方程 多物理場接口，從而將薛定諤方程 接口及靜電接口與薛定諤-泊松耦合 多物理耦合添加到“模型開發器”中。

選擇適用于納米線模型的 薛定諤-泊松方程接口。

根據論文中的描述，將納米線的半徑設為 50 nm。將電子有效質量設為自由電子質量的 0.067 倍（根據論文中的費米溫度結果），并假設介電常數為 12.9。在模型中，將費米能級設為 0 V，壁上的電勢設為 -0.7 V，使之與研究人員描述的費米能級釘扎邊界條件相匹配。為了比較論文的圖 2 和圖 3，我們在 10K 溫度下對 2- 1018 cm–3 的均勻電離摻雜雜質進行建模。上述數字均作為全局參數被輸入到模型中。

納米線模型的全局參數。

按照論文提供的方法，我們首先求解 Thomas-Fermi 近似解，然后將其作為全耦合薛定諤-泊松方程的初始條件。然后將托馬斯-費米近似的公式作為局部變量輸入到模型中。

納米線模型的局部變量。

定義了全局參數和局部變量后，我們可以在“模型開發器”中直接將它們輸入到幾何、材料和物理場節點下。以下是一些注意事項：

• 如上文所述，角量子數 m被參數化，以便對其值進行掃描與求和，然后輸入到薛定諤方程 物理場節點的設置 窗口中

• 回想關于計算超晶格帶隙的文章，特征值尺度 λscale 與無量綱特征值 λ 相乘，得到特征能量 （ = λscale λ）

• 舉例來說，如果 λscale 等于1 eV，特征值為 1.23，則特征能量等于 1.23 eV

• 如上文所述，在靜電 接口中添加電勢 邊界條件，并設定納米線的線壁的值

• 此外，添加了兩個空間電荷密度 域條件，一個用于電離摻雜雜質，另一個用于 Thomas-Fermi 近似（在薛定諤-泊松研究中應該禁用后一項）

創建薛定諤-泊松多物理場耦合

在薛定諤-泊松耦合 多物理場節點的設置 窗口中展開方程 欄，查看添加到此節點的公式——如果你閱讀了求解薛定諤-泊松系統的篇章，應該很熟悉這些公式。設置中的耦合接口 欄允許選擇兩個耦合的物理場接口。模型輸入 欄設置了系統溫度，如下方截圖所示：

薛定諤-泊松耦合節點的設置窗口的上半部。

粒子密度計算欄（下方截圖）指定了概率密度的統計加權和，參考 Eq. 4。如果選擇費米-狄拉克統計，拋物型帶這一默認選項，則使用 Eq. 5~Eq.7 計算權重 。用戶也可以通過自定義選項輸入不同的權重表達式。

為了考慮到成對的簡并角量子數（m = ±1，±2，以此類推），我們使用公式 1+(m>0) 來計算簡并因子 ，當 m = 0 和 2 且 m > 0 時，計算結果為 1。

薛定諤-泊松耦合節點的設置窗口的下半部。

在電荷密度計算 欄（上方截圖）輸入電荷數  來求解 Eq. 3。如果選擇了修正 Gummel 迭代 默認選項，則使用 Eq. 9 計算新的空間電荷密度 。軟件提供了其他選項，其中包括允許輸入自定義數學表達式的用戶定義選項。

全局誤差變量 的默認表達式  (schrp1.max(abs(V-schrp1.V_old)))/1[V]，計算了兩個最新迭代生成的電勢場之間的最大差值，單位為 V。請注意，前綴 schrp1 應與薛定諤-泊松耦合 節點的名稱 字段一致，變量名稱 V 應與靜電 接口的因變量名稱一致。在更加復雜的模型中，它們可能變成非默認名稱，若名稱不匹配，表達式將變為黃色。遇到這種情況時，需要進行手動修改。

建立薛定諤-泊松研究步驟

“研究 2”下的薛定諤-泊松 研究步驟自動在求解器序列中生成了自洽迭代。上文中介紹求解薛定諤-泊松系統的章節概述了迭代方案。

如果我們處理的是一個全新的問題，那么在研究設置 欄下的特征頻率搜索方法 菜單中，我們通常需要選擇手動 搜索默認選項以查找特征能量的范圍。確定范圍后，我們可以切換為區域 搜索選項，然后正確設置特征值的范圍和數量，確保求解器找到所有重要的特征態。針對本教程，能量估計值的范圍介于 -0.15~0.05 eV 之間。如前文所述，它們分別對應無量綱特征值的 -0.15 和 0.05。

輸入框中的實部和虛部別指代特征值的實部和虛部。為了查找束縛態的特征能量，我們將實部輸入設為預計能量范圍，并使虛部以 0 為基礎小范圍上下浮動，借此捕獲數值噪聲或略微殘缺的準束縛態，如下圖所示：

薛定諤-泊松研究步驟的設置窗口的上半部。

正如我們之前指出的，第二個空間電荷密度 域條件僅適用于“研究 1”中的 Thomas-Fermi 近似解。因此如上方截圖所示，物理場 和變量選擇 欄禁用了該條件。

在迭代 欄下，終止方法 下拉菜單的默認選項是最小化全局變量，它會自動更新結果表，后者記錄了求解過程中每次迭代后的全局誤差變量。內置的全局誤差變量 schrp1.global_err 計算了兩個最新迭代生成的電勢場之間的最大差值，單位為 V，且已配置在薛定諤-泊松耦合 多物理場節點中。（請注意，前綴 schrp1 應該與薛定諤-泊松耦合 節點中的名稱 一致。）因此，將容差設為  1E-6 意味著當最大差值小于 1 uV 時，迭代即結束。相關設置請參考下方截圖。

薛定諤-泊松研究步驟的設置窗口的下半部。

在因變量值 欄下，我們選擇“研究 1”中的 Thomas-Fermi 近似解作為研究的初始條件。然后使用輔助掃描 功能來求解一系列非負角量子數 m。如上文所述，至于負值，我們可以使用公式  1+(m>0)  來計算簡并因子 。專用的求解器序列將自動計算所有本征態的概率密度的統計加權和。

檢查自洽結果

因為 Thomas-Fermi 近似提供了良好初始條件，而且 Eq. 9為空間電荷密度提供了良好的前向估計值，經過八次迭代后求解器便完成了收斂。電子密度、勢能和部分軌道貢獻圖與參考文獻公布的數據相當吻合。

比較電子密度、勢能和部分軌道貢獻與參考文獻中的數據。

下圖顯示了電子密度和勢能分布中的 Friedel 型空間振蕩。

繪圖局部放大了電子密度和勢能分布的 Friedel 型空間振蕩。

下一步

在本篇文章中，我們以砷化鎵納米線基準模型的自洽薛定諤-泊松結果為例，證明了借助薛定諤-泊松 方程接口和薛定諤-泊松 研究類型，用戶可以更輕松地創建并求解薛定諤-泊松系統。要想親自嘗試此模型，請單擊下方按鈕跳轉至“案例下載”頁面，即可下載文檔，如果擁有有效的軟件許可證，還可以下載本教程的 MPH 文件。

希望這些新功能可以幫助到你，歡迎與我們分享你如何在自己的研究中應用這些功能。

來源：COMSOL