泊松方程的案例
CFD學(xué)習(xí)：使用有限差分法求解泊松方程
要點(diǎn)
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續(xù)場(chǎng)問題替換為有限正則模態(tài)的離散場(chǎng)。
最實(shí)用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領(lǐng)域，工程師必須應(yīng)對(duì)各種物理情況。大多數(shù)情況都可以使用數(shù)學(xué)方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴(kuò)散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數(shù)值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進(jìn)一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)建模很常見。大多數(shù)物理現(xiàn)象（當(dāng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)）都會(huì)形成偏微分方程 (PDE)。最實(shí)用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個(gè)橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴(kuò)散問題等的數(shù)學(xué)建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時(shí)間無關(guān)的、與時(shí)間相關(guān)的、線性的或非線性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區(qū)域的問題域。
讓我們看幾個(gè)物理情況的例子，其中數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現(xiàn)象的例子
擴(kuò)散方程 -在擴(kuò)散問題中，通量以化學(xué)溶質(zhì)的量和擴(kuò)散率 (k) 表示。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質(zhì)源：
熱擴(kuò)散方程 -熱擴(kuò)散方程用可能的熱源和熱擴(kuò)散系數(shù)來表示。
展開 泊松方程和拉普拉斯方程
靜磁場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，靜磁場(chǎng)滿足的方程為
式中為傳導(dǎo)電流密度第一式表明靜磁場(chǎng)可引入磁矢勢(shì)A描述：
在各向同性、線性、均勻的磁媒質(zhì)中，傳導(dǎo)電流密度[134-1]0的區(qū)域里，磁矢勢(shì)滿足的方程為
選用庫(kù)侖規(guī)范，·A=0，則得磁矢勢(shì)A滿足泊松方程
式中純數(shù) 為媒質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率， 真空磁導(dǎo)率 =1.257×10(亨／米。在傳導(dǎo)電流密度=0的區(qū)域里,上式簡(jiǎn)化為拉普拉斯方程
靜磁場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個(gè)直角分量滿足的方程與靜電勢(shì)滿足的方程有相同的形式。對(duì)比靜電勢(shì)的解，可得矢勢(shì)方程的解。
展開 COMSOL 軟件 5.4 版本新增“薛定諤-泊松方程“多物理場(chǎng)接口
薛定諤-泊松方程多物理場(chǎng)接口可用于模擬量子阱、量子線和量子點(diǎn)等量子約束系統(tǒng)中的載流子。在本文中，我們將以砷化鎵納米線的基準(zhǔn)模型為例，演示如何使用 COMSOL Multiphysics? 軟件附加的“半導(dǎo)體模塊”提供的這項(xiàng)功能。
薛定諤-泊松方程多物理場(chǎng)接口
自 COMSOL Multiphysics? 5.4 版本起，用戶可以使用全新的薛定諤-泊松方程多物理場(chǎng)接口，在靜電接口和薛定諤方程接口之間創(chuàng)建雙向耦合，借此模擬量子約束系統(tǒng)中的載流子。“靜電”的電勢(shì)使薛定諤方程中的勢(shì)能項(xiàng)增大。“薛定諤方程”特征態(tài)的概率密度的加權(quán)和使“靜電”中的空間電荷密度增大。此接口支持所有空間維度，包括一維、一維軸對(duì)稱、二維、二維軸對(duì)稱以及三維。
求解薛定諤-泊松系統(tǒng)
薛定諤-泊松系統(tǒng)的特殊之處在于，靜電分析需要穩(wěn)態(tài)研究，而求解薛定諤方程需要特征值研究。為了求解雙向耦合系統(tǒng)，我們對(duì)薛定諤方程和泊松方程進(jìn)行迭代求解，直到獲得自洽解。迭代過程包含以下步驟：
第 1 步
為了提供良好的初始迭代條件，求解泊松方程
(1)
從而計(jì)算出電勢(shì) ，其中 是介電常數(shù)， 是空間電荷密度。
在這一初始化步驟中， 取自實(shí)變?cè)淖罴殉跏脊烙?jì)值；比如 Thomas-Fermi 近似的值。
第 2 步
上一步獲得的電勢(shì) 對(duì)薛定諤方程中的勢(shì)能項(xiàng) 有所貢獻(xiàn)
(2)
為載體粒子的電荷，其計(jì)算公式為
(3)
其中 是電荷數(shù)， 是元電荷。
第 3 步
利用基于 Eq. 2 推導(dǎo)出的新勢(shì)能項(xiàng)，對(duì)薛定諤方程進(jìn)行求解，得到一組特征能量 和一組對(duì)應(yīng)的歸一化波函數(shù) 。
展開 218基于matlab的有限差分法求解泊松方程 ￥1
基于matlab的有限差分法求解泊松方程，采用SOR超松弛迭代法。模型采用方形區(qū)域，劃分網(wǎng)格數(shù)為100*100，網(wǎng)格數(shù)可以很方便的更改。程序已調(diào)通，可直接運(yùn)行。
《數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化》
的應(yīng)用)
4.2.8圓柱內(nèi)的溫度場(chǎng)(10的應(yīng)用)
4.2.9電子透鏡(Jo，Io的應(yīng)用)
4.2.10柱體外的電勢(shì)(Ko的應(yīng)用)
4.3泊松方程與格林函數(shù)
4.3.1矩形區(qū)泊松方程
4.3.2球域的格林函數(shù)
4.3.3圓域的格林函數(shù)
第5章熱傳導(dǎo)方程
5.1一維熱傳導(dǎo)問題
5.1.1無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)
5.1.2有限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)
5.1.3輸運(yùn)問題(非齊次方程)
5.1.4第三類邊界條件下的細(xì)桿導(dǎo)熱問題
5.2二維熱傳導(dǎo)問題
5.3三維熱傳導(dǎo)問題
5.3.1球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題之一(jo的應(yīng)用)
5.3.2柱體內(nèi)的熱傳導(dǎo)
5.3.3球體內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題之二(j1的應(yīng)用)
第6章波動(dòng)方程
6.1一維波動(dòng)問題
6.1.1限長(zhǎng)的弦的自由振動(dòng)
6.1.2兩端固定的弦振動(dòng)問題之一(初位移不為零初速為零)
6.1.3兩端固定的弦振動(dòng)問題之二(初位移為零初速不為零)
6.1.4兩端固定的弦振動(dòng)問題之三(有阻尼)
6.1.5兩端固定的弦振動(dòng)問題之四(有驅(qū)動(dòng)力)
6.1.6兩端固定的弦振動(dòng)問題之五(質(zhì)量不均勻的弦)
6.1.7非齊次邊界條件下弦的振動(dòng)
6.1.8桿的縱振動(dòng)
6.2維波動(dòng)問題
6.2.1矩形膜的振動(dòng)
6.2.2圓膜的振動(dòng)
6.3三維振動(dòng)問題
6.3.1柱體內(nèi)的振動(dòng)
6.3.2柱體外的振動(dòng)問題之一
6.3.3柱體外的振動(dòng)問題之二
6.3.4偶極聲源
6.3.5四極聲源
第7章MATLAB的偏微分方程工具箱
7.1偏微分方程工具箱的功能演示
7.1.1泊松方程
7.1.2亥姆霍茲方程
7.1.3最小表面問題
7.1.4區(qū)域分解方法
7.1.5熱傳導(dǎo)方程
7.1.6波動(dòng)方程
7.1.7橢圓型方程自適應(yīng)解法
7.1.8泊松方程快速解法
7.2偏微分方程工具箱的功能
7.2.1可解方程的類型
7.2.2邊界條件
7.3_12具箱的用戶界面窗口
7.4用工具箱解偏微分方程的步驟
7.4.1設(shè)置定解問題
展開 推薦 數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化
目錄
第1章 函數(shù)的圖形
1.1 復(fù)變函數(shù)圖形
1.2 特殊函數(shù)圖形
第2章 傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換
2.1 傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉積分與離散傅里葉變換
2.2 傅里葉變換的例題
2.3 廣義傅里葉級(jí)數(shù)
第3章 本征值函數(shù)系與本征振動(dòng)
3.1 一維本征值問題
3.2 二維本征值問題
第4章 拉普拉斯方程與泊松方程
4.1 二維拉普斯方程
4.2 三維拉普斯方程
4.3 泊松方程與格林函數(shù)
第5章 熱傳導(dǎo)方程
5.1 一維熱傳導(dǎo)問題
5.2 二維熱傳導(dǎo)問題
5.3 三維熱傳導(dǎo)問題
第6章 波動(dòng)方程
6.1 一維波動(dòng)問題
6.2 二維波動(dòng)問題
6.3 三維振動(dòng)問題
第7章 MATLAB的偏微分方程工具箱
7.1 偏微分方程工具箱的功能演示
7.2 偏微分方程工具箱的功能
7.3 工具箱的用戶界面窗口
7.4 用工具箱解偏微分方程的步驟
7.5 用圖形用戶界面窗口的工具欄解方程
7.6 圖形用戶界面窗口的菜單
7.7 工具箱的指令
7.8 例題
第8章 解微分方程的其他方程
8.1 指令bvp4c解本征值問題
8.2 用pdepe解一維初值邊值問題
8.3 差分法
8.4 有限元法
參考文獻(xiàn)
展開 《電氣工程電磁場(chǎng)數(shù)值分析》
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前言
第一章 緒論
參考文獻(xiàn)
第二章 電氣工程中電磁場(chǎng)的基本方程
第一節(jié) 電磁場(chǎng)的基本方程組
第二節(jié) 穩(wěn)態(tài)標(biāo)量位的方程
第三節(jié) 穩(wěn)態(tài)矢量位方程
第四節(jié) 交變電磁場(chǎng)方程
第五節(jié) 電磁場(chǎng)微分和積分方程的通式
第六節(jié) 定解條件
第三章 有限元法原理
第一節(jié) 有限元概念
第二節(jié) 函數(shù)逼近的理論
第三節(jié) 算子方程及變分原理
第四節(jié) 變分方法的離散格式
第五節(jié) 加權(quán)余量法
參考文獻(xiàn)
第四章 二維電磁場(chǎng)有限元法
第一節(jié) 平面非線性磁場(chǎng)有限元法
第二節(jié) 非線性方程組的解法
第三節(jié) 軸對(duì)稱磁場(chǎng)有限元法
第四節(jié) 前處理和后處理技術(shù)
第五章 三維靜電場(chǎng)有限元分析
第一節(jié) 泊松方程的有限元離散格式
第二節(jié) 空間單元分析和代數(shù)方程集合
第三節(jié) 邊界條件征昨簡(jiǎn)單計(jì)算實(shí)例
第四節(jié) 等參元有限元法
參考文獻(xiàn)
第六章 三維靜磁場(chǎng)矢量位有限元分析
第一節(jié) 雙旋度方程和矢量泊松方程
第二節(jié) 雙旋度方程的有限元離散格式
第三節(jié) 空間單元分析
第四節(jié) 非線性方程組的形成和求解
第五節(jié) 邊界條件處理
第六節(jié) 計(jì)算實(shí)例
參考文獻(xiàn)
第七章 三維靜磁場(chǎng)標(biāo)量位有限元分析
第一節(jié) 部分標(biāo)量位和全標(biāo)量位
第二節(jié) 雙標(biāo)量位法
第三節(jié) 恒定電流磁場(chǎng)的積分表達(dá)式
第四節(jié) 單元分析和計(jì)算步驟
第五節(jié) 雙標(biāo)量位等參元法
參考文獻(xiàn)
第八章 永磁場(chǎng)有限元分析
第一節(jié) 永磁磁場(chǎng)基本方程
第二節(jié) 二維及軸對(duì)稱永磁磁場(chǎng)的有限元法
第三節(jié) 三維矢量磁位有限元法
第四節(jié) 三維標(biāo)量磁位有限元法
第五節(jié) 矢量磁位和標(biāo)量磁位結(jié)合方法
第六節(jié) 計(jì)算實(shí)例
參考文獻(xiàn)
第九章 三維渦流場(chǎng)有限元分析
第十章 溫度場(chǎng)有限元分析
第十一章 電磁場(chǎng)無單元方法
第十二章 磁場(chǎng)力的數(shù)值計(jì)算
第十三章 電磁機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性數(shù)值分析
第十四章 電磁場(chǎng)逆問題和優(yōu)化方法
展開 有限元法講解及運(yùn)用常應(yīng)變?nèi)切螁卧鈴椥粤W(xué)平面問題（FORTRAN語言編寫有限元法程序算例）
還有學(xué)者進(jìn)一步研究了加權(quán) 殘值法與有限元方法之間的關(guān)系，對(duì)于一些尚未確定出 能量泛函得復(fù)雜問題，也可以建立起有限元分析的基本方程，這可以將有限元方法德應(yīng)用領(lǐng)域大大的擴(kuò)展，我 國(guó)的胡海昌于1954年提出了廣義變分原理，錢偉長(zhǎng)最先 研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間的關(guān)系。馮 康研究了有限元分析得精度于收斂性問題。
我國(guó)著名力學(xué)家，教育家徐芝綸院士（河海大學(xué)教授）首次將有限元法引入我國(guó)，對(duì)它的應(yīng)用起了很大的推動(dòng)作用。
3.有限元法的基本思想
有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計(jì)算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場(chǎng)中（這類場(chǎng)與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場(chǎng)中，而不再要求這類物理場(chǎng)和泛函的極值問題有所聯(lián)系。
基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。
方法運(yùn)用的基本步驟：
步驟1：剖分
將待解區(qū)域進(jìn)行分割，離散成有限個(gè)元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個(gè)單元的頂點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）。
步驟2：?jiǎn)卧治?進(jìn)行分片插值，即將分割單元中任意點(diǎn)的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值展開，即建立一個(gè)線性插值函數(shù)。
步驟3：求解近似變分方程
用有限個(gè)單元將連續(xù)體離散化，通過對(duì)有限個(gè)單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個(gè)單元：桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個(gè)桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。
展開 有限元雜談之一 -- 有限元基礎(chǔ)（轉(zhuǎn)）
－－求解 PDE(偏微分方程)。 那么PDE是做什么用的呢？－－描述客觀物理世界。我想如果這兩個(gè)問題搞清楚了也就明白了 為什么要用有限元，有限元可以做那些東西。 PDE可以描述很多物理現(xiàn)象，電磁，流體， 換熱， 聲學(xué)，擴(kuò)散，相變，各種力學(xué)，河床變遷，物種競(jìng)爭(zhēng)，股票金融，等等等等。。。。乃 至整個(gè)宇宙，當(dāng)然也不是所有的物理現(xiàn)象都可以用PDE等，所以我一般不建議用有限元方法仿真微觀物質(zhì)現(xiàn)象的原因，但也有PDE應(yīng)用于微觀 物質(zhì)并得到很好的結(jié)果，如泊松方程來解析plasma的物理現(xiàn)象，這在量子物理里用統(tǒng)計(jì)的 方法過于龐大， 泊松方程反而使問題簡(jiǎn)單而且能吻合實(shí)驗(yàn)，這些都是題外話就不多說了。除 了PDE以外， ODE同樣也可以描述客觀世界， ODE相對(duì)簡(jiǎn)單， 多用于控制系統(tǒng)，很有一 些線性PDE的解法也都是將PDE轉(zhuǎn)化為ODE來求解的
1.2 求解PDE
有了PDE以后，問題是如何求解并得到結(jié)果，首先要說明的是不是所有的PDE都有解的， 往往有解的PDE才有實(shí)際工程意義。對(duì)于數(shù)值解法，常用的是有限差分，有限元，有限體 積和譜方法， 還有蒙特卡羅法。 有限差分出現(xiàn)的較早， 計(jì)算精度相對(duì)較高且可控， 但模型形 狀必須規(guī)則， 邊界條件處理困難， 好處是可以比較方便的控制計(jì)算精度， 編程簡(jiǎn)便， 固定節(jié) 點(diǎn)的網(wǎng)格劃分形式適用于流體類的仿真。有限元方法效率高且滿足精度要求， 邊界條件容易 處理，得到了廣大的應(yīng)用，尤其是在固體領(lǐng)域。譜方法由于可以采用高階差值方程和FFT 方法的來求解， 使得程序有著精度高， 收斂快的特點(diǎn)， 也克服了有限元條件下使用高階插值 方程計(jì)算費(fèi)時(shí)的缺點(diǎn)， 常常使用periodicboundarycondition， 但也有越來越多的算法使得一 類二類邊界成為可能，適合微觀尺度的PDE解，譜方法和有限元結(jié)合產(chǎn)生的譜元法取兩者 之優(yōu)點(diǎn)， 使得應(yīng)用前景非常好。
展開 談?wù)劤Ｒ姷膸追NCFD算法－FVM FDM FEM MPS SPH LBM究竟有什么區(qū)別
FDM的基本思路：按時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)將時(shí)間和空間區(qū)域剖分成若干網(wǎng)格，用未知函數(shù)在網(wǎng)格結(jié)(節(jié))點(diǎn)上的值所構(gòu)成的差分近似代替所用偏微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)，從而把表示變量連續(xù)變化關(guān)系的偏微分方程離散為有限個(gè)代數(shù)方程，然后解此線性代數(shù)方程組，以求出溶質(zhì)在各網(wǎng)格結(jié)(節(jié))點(diǎn)上不同時(shí)刻的濃度。
3. FEM-有限元法
有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場(chǎng)中（這類場(chǎng)與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。
FEM的基本思路：把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。
有限元法常應(yīng)用于流體力學(xué)、電磁力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算，使用有限元軟件ANSYS、COMSOL等進(jìn)行有限元模擬，在預(yù)研設(shè)計(jì)階段代替實(shí)驗(yàn)測(cè)試，節(jié)省成本。
4.粒子法
粒子法是近20多年來逐步發(fā)展起來的一種無網(wǎng)格方法。它利用核函數(shù)對(duì)物理問題進(jìn)行近似處理，用離散的粒子來描述宏觀連續(xù)分布微觀仍為粒子的流體，而每個(gè)粒子則攜帶了其所在位置的流體的各種性質(zhì)，如質(zhì)量、密度、速度、能量等。
展開 秒懂二維有限元與程序設(shè)計(jì)_《數(shù)值計(jì)算與程序設(shè)計(jì)》系列課程之二 ￥599
本視頻圍繞二維偏微分方程的數(shù)值求解問題，一步一步詳細(xì)地推導(dǎo)了有限元法在二維空間運(yùn)用，并指出了二維或者更高維度的不同之處與需要注意的地方，展現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯上的統(tǒng)一性。并以一個(gè)泊松方程為例設(shè)計(jì)了基于Matlab平臺(tái)的計(jì)算程序，該法可簡(jiǎn)單的拓展到其他類型的問題，如靜電場(chǎng)問題、靜力學(xué)問題、溫度場(chǎng)問題等等，感受數(shù)學(xué)之美，大統(tǒng)一之美。
視頻主要分為三個(gè)內(nèi)容，1、二維有限元基本原理；2、二維或高維有限元程序設(shè)計(jì)（附代碼）；3、基于MATLAB的有限元后處理方法。
第一部分講述了有限元法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。從一個(gè)單元為出發(fā)點(diǎn)，詳細(xì)推導(dǎo)了單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算方法，以及單元矩陣的組裝方法。
第二部分針對(duì)程序的框架進(jìn)行了講解，包括網(wǎng)格劃分代碼，邊界條件施加代碼，矩陣組裝代碼，后處理代碼（均包含在附件中）。
第三部分介紹了二維有限元的后處理方法，著重分析了數(shù)值解與準(zhǔn)確解的對(duì)比，以及Matlab中三維和二維圖像繪制方法。
希望對(duì)大家有所幫助!同時(shí)歡迎有興趣的同學(xué)一起探討學(xué)習(xí)。
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[問題討論]計(jì)算流體力學(xué)參考書
里面從發(fā)展型方程的有限差分法講起，講到偏微分方程的幾種常用數(shù)值方法（特征線法，有限元法，泊松方程的直接方法，對(duì)流擴(kuò)散方程的有限解析法，發(fā)展方程的譜方法），再轉(zhuǎn)到流場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算（無粘性流體流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算（等熵流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算，Burgers方程及其求解，激波的捕捉，Riemann問題的解和Godunov格式，多維氣體流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算），粘性流體流動(dòng)的數(shù)值計(jì)算（可壓粘性流動(dòng)數(shù)值計(jì)算的MacCormack格式、Beam-Warming格式、反擴(kuò)散和NND格式、通量分裂法和推進(jìn)迭代法；用流函數(shù)-旋度方程、有限解析法、有限差分法、推進(jìn)迭代法、譜方法等求解不可壓粘性流動(dòng)方程）上應(yīng)用；該書總體來講還算是淺顯易懂；通過看這本書我們能學(xué)習(xí)到很多東西，比如各種數(shù)值方法（有限差分法，有限解析法，有限元法，譜方法，邊界元法）的區(qū)別和聯(lián)系小知識(shí)等等。
3. 張涵信，沈孟育，計(jì)算流體力學(xué)-差分方法的原理和應(yīng)用，國(guó)防工業(yè)出版社，2003年。
展開 【仿真技巧】燃料電池中離子交換膜和唐南電位的模擬
由于膜中沒有 A+的濃度梯度，唯一的域方程可以簡(jiǎn)化為拉普拉斯方程
從中我們注意到，由于電中性，可以得到
恒定電解質(zhì)電導(dǎo)率可以通過下式計(jì)算
盡管此方程是對(duì)多個(gè)移動(dòng)離子系統(tǒng)的簡(jiǎn)化，但應(yīng)該注意的是，對(duì)于單離子導(dǎo)體，如聚合物電解質(zhì)燃料電池中的 Nafion（其中質(zhì)子是膜中的唯一移動(dòng)離子），此方程可以正確進(jìn)行解析。
拉普拉斯方程特別適合用 COMSOL? 軟件在電化學(xué)接口中使用的有限元或邊界元方法求解。除了進(jìn)一步降低求解器的自由度和相應(yīng)的內(nèi)存需求外，完全阻塞膜這一假設(shè)還有助于求解器收斂。例如，不再需要像上文所述的那樣，在穩(wěn)態(tài)求解器中使用輔助掃描來提高固定離子濃度。
圖 8 分別對(duì)比了 NPP（使用電中性和唐南條件時(shí)的結(jié)果相同）模型與使用固定膜電荷的模型的 A+濃度和電位。對(duì)于我們的示例問題，完全阻塞模型與原始模型相當(dāng)接近。
圖 8. 假設(shè)為完全阻塞膜的情況下，NPP 模型與簡(jiǎn)化模型的 A+濃度（上）和電位（下）比較。
如何在 COMSOL Multiphysics? 中為離子交換膜建模
三次電流分布 接口中的離子交換膜 域節(jié)點(diǎn)可用于根據(jù)電荷守恒模型的選擇建立正確的域方程。在電中性情況下，此節(jié)點(diǎn)還在鄰近電解質(zhì)域的邊界上自動(dòng)設(shè)置唐南條件。還有一個(gè)離子交換膜 邊界節(jié)點(diǎn)，可用于在不同的物理場(chǎng)接口之間的邊界上設(shè)置唐南條件。
為了建立 NPP 模型，我們可以使用三次電流分布 接口的一個(gè)實(shí)例，其中電荷守恒模型設(shè)為泊松。然后我們可以用電解質(zhì) 域來定義自由電解質(zhì)域，用離子交換膜 節(jié)點(diǎn)來定義膜域。
為了基于電中性和唐南條件建立模型，我們可以按照上述內(nèi)容繼續(xù)操作，但是需要將電荷守恒模型切換為電中性，此操作會(huì)自動(dòng)將唐南條件應(yīng)用到內(nèi)部邊界。
展開 Fidelity Pointwise：“調(diào)整”你的網(wǎng)格！這就是它所需要的
由于用于點(diǎn)插入的 Delaunay 算法的性質(zhì)，這對(duì)于非結(jié)構(gòu)化塊來說是正確的：它比在結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格上求解泊松方程更難預(yù)測(cè)。
文章來源：cadence博客
COMSOL Multiphysics電磁場(chǎng)與多物理場(chǎng)耦合仿真
案例二、電磁線圈優(yōu)化（1）如何對(duì)特定的物理場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化（2）全局控制變量設(shè)定并啟動(dòng)優(yōu)化（3）snopt優(yōu)化求解器使用方法
案例三、磁致伸縮原理的電磁超聲換能器優(yōu)化（1）磁致伸縮材料線性和非線性介紹（2）電磁超聲換能控制方程講解，邊界條件設(shè)定（3）電容式麥克風(fēng)中膜位移轉(zhuǎn)換電信號(hào)（4）后處理和圖形化顯示幫助
案例四、電磁致液體形變和破碎（1）磁流體洛倫茲力設(shè)置，流體兩相流水平集定義（2）靜電射流問題分析（3）靜電-層流水平集-稀物值傳遞多物理場(chǎng)耦合分析（4）相初始化-瞬態(tài)分析及求解器設(shè)置（5）噴霧模擬，泰勒錐
案例五、電磁閥（1）多匝線圈、磁芯、非磁導(dǎo)向機(jī)構(gòu)及磁性柱塞構(gòu)成的電磁柱塞建模（2）聯(lián)合磁場(chǎng)、移動(dòng)網(wǎng)格接口全局常微分和微分代數(shù)方程構(gòu)建模型（3）計(jì)算電磁力及柱塞位移
案例六、電纜電磁熱分析（1）三維電纜建模及模型網(wǎng)格剖分（2）電纜的感應(yīng)效應(yīng)分析（3）電纜的熱效應(yīng)分析
案例七、超導(dǎo)（1）超導(dǎo)線分析（2）本構(gòu)關(guān)系E-J傳導(dǎo)特性
案例八、同軸電纜瞬態(tài)分析（1）麥克斯韋方程組在時(shí)域仿真(2）觀察瞬態(tài)現(xiàn)象（3）模擬相對(duì)于電場(chǎng)或磁場(chǎng)的非線性材料（4）分析不同終端情況下的脈沖傳播（5）理想電導(dǎo)體和磁導(dǎo)體設(shè)置
案例九、靜電除塵（1）電暈?zāi)Ｐ秃?jiǎn)化（2）電荷守恒方程和泊松方程求解電荷載流子的傳輸問題(3)流體流動(dòng)顆粒跟蹤接口求解顆粒軌跡（4）計(jì)算顆粒收集效率隨顆粒半徑的變化情況（5）絕緣子靜電場(chǎng)模擬計(jì)算
案例十 課程拓展（1）課堂協(xié)助學(xué)員解決建模問題（2）創(chuàng)立微信解疑群，發(fā)送案例模型ppt（3）根據(jù)學(xué)員要求拓展講解光學(xué)、等離子體、激光、流體，等其他案例
聯(lián)系人：武老師|電話（VX）：18538137613|郵箱：wutl03@111.com|qq: 1160570044
每人￥3680元 （含報(bào)名費(fèi)，培訓(xùn)費(fèi)、資料費(fèi))
優(yōu)惠一：前十五名報(bào)名繳費(fèi)學(xué)員可享受每人
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