摘要

熱力耦合的應用在科學技術中有重要的意義。熱應力和它所引起的強度、剛度問題，在航空、航天和核反應堆工程的設備和構件上的重要性是不言而喻的。所以我們要對其進行研究和求解。

本文采用線性有限元建模技術對熱環境下的梁結構建模，求解一個線性熱彈性問題。在熱彈性狀態下，溫度場與機械場不耦合，而機械場取決于溫度，因為熱彈性本構關系中存在熱應變。這種情況可以描述為弱熱力耦合。本報告將討論瞬態演化問題的完全熱力耦合。在給出溫度場的基礎上，給定彈性力學的邊界條件和初始條件后求解熱彈性運動微分方程，得到熱位移場。然后，再由溫度場和熱位移場，根據應力、應變和溫度關系的本構方程，求出熱應力 場。通過分析得出，由于左右橫向邊界ΔT=+50 的均勻溫升，隨著溫度的增加機械場中的形變量增大，進而使應力增加。

關鍵詞 耦合熱彈性;線性有限元建模;本構方程

隨著人類文明的進步和科學技術的迅速發展，傳統的單一功能材料已經不能滿足科學技術和工程實際的需求。20 世紀以來，許多高性能的新型材料開始

扮演著越來越重要的角色。它們具有輕質、高強、耐久、智能等多重優點而 且，一般而言，材料和結構通常都是在高溫和有限制的環境中使用，在這種

情況下必須考慮材料和結構的熱力學性能。顯然，對這類材料和結構的研究不能完全套用經典的連續介質力學理論，而需要發展相關的理論來合理描述材料的力學性能。

熱彈性力學的應用，在科學技術中有重要的意義。熱應力和它所引起的強度、剛度問題，在航空、航天和核反應堆工程的設備和構件上的重要性是不言而喻的。在一般的工程問題中，例如動力機械中許多零件在熱應力下的強度問題，熱沖擊對強度的影響，熱疲勞對零件壽命的影響;金屬零件在熱處理過程中出現的熱應力，殘余熱變形和殘余熱應力問題;精密切削加工時，工件和機床的熱變形及其對加工精度的影響;冶金設備在溫度荷載和機械荷載聯合作用下的強度和剛度的計算以及與之對應的合理設計問題;熱沖壓加工機械中零件的熱疲勞問題;化工反應裝置在溫度變化時的強度和熱翹曲問題等等，這些亞待解決的重要課題都需要應用熱彈性力學的理論和方法。也正是由于工程上的需要，推動人們深入研究熱彈性力學。

在熱彈性理論的研究中一個引人注意的內容是耦合效應。由熱力學基本定律、材料的本構理論和 Helmholtz 自由能等導出的熱彈性材料的熱傳導方程，除了待定的溫度場函數外，還含有應變率。這表明，物體內的溫度場不僅取決于熱源，以及各有關的熱力學物性系數和換熱邊界條件，而且還受到彈性應變率的影響，或者說，彈性變形的應變率將在一定程度上會改變物體上熱量的傳遞。熱傳導方程中含應變率的項稱為耦合項。這是由于應變率也是待定的，它需要由熱彈性運動方程及力學邊界條件來確定，而熱彈性運動方程中又含有溫

度場函數項。

有許多理論可以描述多扎材料的力學性質;其中最著名的有 Boit 提出的流體飽和多孔固體的固結理論。特別地，當孔隙中不存在液體時，這些理論就退化到經典的彈性理論。此外，應用最廣的可能是由 Hermann 提出的 P-a 模型，該模型中，為了區分由孔洞塌陷引起的體積變化和由基體材料的體積變化引起的體積變化，引進了孔隙度 a，它的定義為多孔材料的比容和基體材料的比容的比值;尸為壓力，它是比容、比內能和孔隙度的函數。該模型描述了多孔材料的動力壓縮特性，因此很多研究者用此作為沉積物的模型。但是，Hermann 的 P-a 模型在描述多孔介質的動力學壓縮特性方面是不完備的，因此需要補充一個孔洞-塌陷的關系來描述 a 的行為。Butcher 認為孔洞一塌陷的過程可能依賴于速率，因此采用了 Maxwellian 型的關系，Carroll 和 Holt 通過應用基體材料的特性和孔洞的初始孔隙度和特征直徑等幾何特征，構造了依賴速率的孔洞一塌陷關系。

這些模型解釋了孔隙度對材料性能方面的影響，并且在同時考慮塑性影響的時候，能夠用來預測受撞擊載荷作用的多孔材料中常見的二波結構的存在。之前的理論，沒有考慮到顆粒材料的兩個(或三個)自然相，因此，得到的結果不依賴于孔隙體積的大小和分布。Cowin 和 Goodman 在研究流動顆粒材料時引入體積分布函數作為一個獨立的動態變量，并在熱力學的框架下導出了流動顆粒材料的本構方程和由嫡不等式給出的各種限制條件，提出了一個顆粒材料 的熱動力學理論，就某種意義來說，這是對 P-a 模型的推廣和一般化。G-C 理

論的基本假設為:材料的體積密度是兩個場，即基體材料密度場和體積百分比場的乘積的形式，這樣，材料體積密度的表達式可由一個獨立的動態變量表示，這個變量就是孔隙體積百分比。此外，該理論還假設，顆粒介質中的應力依賴于體積百分比、體積百分比的時間變化率和空間梯度、基體材料密度和變形張量的變化率。由于依賴于變形張量的變化率，因此該理論描述的是類似流體的行為特征。

由于前面討論的弱耦合，熱問題和力學問題可以分開解決。因此，我們不需要求助于混合函數空間，只需分別定義這兩個問題。

2.1.2熱問題

溫度是下列方程式 div?k?T ? ? 0 ， 其中 k 是導熱系數（此處我們沒有熱源）。由于 k 被假定為均勻的，它不會影響解。因此，我們得到了一個標準的泊松方程，沒有強迫項。溫度變化ΔT 是主要未知因素。

圖 2-1 豎直方向變形量

2.1.3機械問題

線性化熱彈性本構方程如下所示：

?? C : ?????T ? T0 ?l ? ? ?tr???? 2?????3?? 2???T ? T0 ?l

其中?， ?為參數，?為熱膨脹系數。關于目前的問題，對應于熱應變的 最后一項是完全已知的。因此，以下公式可推廣到任何類型的已知初始應力或本征應變狀態，如預應力或相變。

力學問題：力學問題的弱公式是建立在二維線彈性理論的基礎上的。主要區別在于本構關系中存在溫度項，在編寫內力功時，引入了與測試函數 u 有關的線性項。因此，使用左側 lhs 函數提取雙線性形式，而作為荷載項的熱應變項

使用右側 rhs 函數提取，并在定義線性形式時添加到外力功中。

圖 3-1 豎直位移圖 3-2 水平壓力

2.2左右橫向邊界ΔT=+50 的均勻溫升

圖 4-1 豎直方向的位移

圖 4-2 水平方向的位移

2.3左右橫向邊界ΔT=+100 的均勻溫升

圖 5-1 豎直方向的位移

2.4左右橫向邊界ΔT=+200 的均勻溫升

圖 6-1 豎直方向的位移

第 3 章 結論

本文關注一類熱彈性結構動力學的動力學分析即溫度變化問題。這里的熱彈性結構指的是梁。這類結構的共同特點是，由于熱載荷或者軸向(面內)機械載荷的存在，會產生較為明顯的應力剛化或軟化效應，從而明顯影響結構的模態特性。由上可知，熱彈性理論的幾何方程并不會因為溫度場而改變，這是因為應變僅與結構的位移有關。只要結構是連續變形，就必然會得到此幾何方

程。但由于熱彈性理論中結構的幾何變形是由溫度場和外力共同作用的，因此其物理方程與一般彈性理論不同。在熱力狀態下，溫度場與機械場不耦合，而機械場取決于溫度，因為熱彈性本構關系中存在熱應變。數值仿真表明，由于左右橫向邊界ΔT=+50 的均勻溫升，隨著溫度的增加機械場中的形變量增大，進而使應力增加。頂部和底部邊界由于保持在初始溫度T0 ，所以無位移，無應

力。

由此表明，結構的溫度場不僅和熱源以及結構本身的材料屬性有關，而且還與結構應變率有關，這意味著結構彈性變形的應變率將會在一定程度上改變結構的溫度場，從而影響結構變形。