半解析傅里葉變換
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半解析傅里葉變換的視頻教程
1-117基于matlab的短時傅里葉變換（STFT）、小波變換（WT）、同步壓縮變換（SST）、瞬態提取變換（TET）進行時頻分析
基于matlab的短時傅里葉變換（STFT）、小波變換（WT）、同步壓縮變換（SST）、瞬態提取變換（TET）進行時頻分析。程序已調通，可直接運行。 購買后可下載視頻中的源程序文件。
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1-12 基于MATLAB的短時傅里葉變換(STFT),連續小波變換(CWT)
基于MATLAB的短時傅里葉變換(STFT),連續小波變換(CWT),程序已調通，可以直接運行。PS:源程序運行視頻見https://www.bilibili.com/video/BV1Gr4y1o7VZ/ 購買后可下載視頻中的源程序文件。
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半解析傅里葉變換的實例教程
我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號
對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設場|
有兩部分：衍射場
和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場
。假設exp(iψ(ρ))可由其實數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)顯然，在強二次相位情況中，全場
比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知： (3)
通常來說，項
必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復
，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
展開 我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場。假設exp(iψ(ρ))可由其實數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)
顯然，在強二次相位情況中，全場比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
(3)
通常來說，項必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
展開 我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
1.簡介
物理光學建模需要頻繁地從空間轉換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學建模的支柱[1]。FFT技術的數值計算量與場分量復振幅所需采樣點的數量近似成線性關系。在光學中，我們經常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復抽樣導致了大量的數值計算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號對應6個場分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設場有兩部分：衍射場和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場。假設exp(iψ(ρ))可由其實數系數C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)
顯然，在強二次相位情況中，全場比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
(3)
通常來說，項必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
展開 我們想強調的是，方程 5的分解在物理光學中是更一般和純粹的數學方法，我們的目標可以表述如下：我們對不通過采樣波前相位因素來進行傅里葉變換的技術十分感興趣，此時Ψ和是可通過半解析傅里葉變換實現的二次多項式的形式[1]。這里我們想討論一個概念，適用于一般的波前相位，但在強波前相位近似，它使用穩定相位的概念。
2 幾何傅里葉變換理論
穩定相方法的應用在光學中是眾所周知的，例如，用于討論[2]中的衍射積分。我們將其用于快速計算方程2的傅里葉變換積分。為此，我們假設除臨界點附近以外 在通過z的平面內具有比U（ρ，z）高得多的空間頻率。 根據穩定相位的概念，直接導致基本方程（跳過z )
(7)
其中方程7表示k和p之間的映射，我們假設這個映射是開放、雙射和連續的，這意味著它構成了一個同胚，這是波前相位 平滑的數學表達式，并確保k域中的結果場可以在非等距網格上插值。在光學中，當場不在苛性區時，通常滿足這種條件，穩定相位的概念也揭示出來
(8)
由φ(p)的勒讓變換
(9)
復函數
(10)
權重因子取決于φ(p)的二階導數，該結果通過將空間域中的場值映射到具有附加權重因子的k域來表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經開發了一個數值算法來執行幾何傅里葉變換。它利用場的混合采樣。相比于函數 ，波前相位φ(p)本身可以通過少量N(φ)的非等距分布值而參數化。樣條插值的節點是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點N(U)來處理函數U(p)的采樣。
展開 我們想強調的是，方程 5的分解在物理光學中是更一般和純粹的數學方法，我們的目標可以表述如下：我們對不通過采樣波前相位因素來進行傅里葉變換的技術十分感興趣，此時Ψ和是可通過半解析傅里葉變換實現的二次多項式的形式[1]。這里我們想討論一個概念，適用于一般的波前相位，但在強波前相位近似，它使用穩定相位的概念。
2 幾何傅里葉變換理論
穩定相方法的應用在光學中是眾所周知的，例如，用于討論[2]中的衍射積分。我們將其用于快速計算方程2的傅里葉變換積分。為此，我們假設除臨界點附近以外 在通過z的平面內具有比U（ρ，z）高得多的空間頻率。 根據穩定相位的概念，直接導致基本方程（跳過z )
(7)
其中方程7表示k和p之間的映射，我們假設這個映射是開放、雙射和連續的，這意味著它構成了一個同胚，這是波前相位 平滑的數學表達式，并確保k域中的結果場可以在非等距網格上插值。在光學中，當場不在苛性區時，通常滿足這種條件，穩定相位的概念也揭示出來
(8)
由φ(p)的勒讓變換
(9)
復函數
(10)
權重因子取決于φ(p)的二階導數，該結果通過將空間域中的場值映射到具有附加權重因子的k域來表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經開發了一個數值算法來執行幾何傅里葉變換。它利用場的混合采樣。相比于函數 ，波前相位φ(p)本身可以通過少量N(φ)的非等距分布值而參數化。樣條插值的節點是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點N(U)來處理函數U(p)的采樣。
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半解析傅里葉變換的最新內容
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半解析傅里葉變換（Semi-Analytical Fourier Transform，Semi-FT）：嚴格的傅里葉變換方法。除了可以處理光場的橫向偏移以及線性相位，也可以解析的處理二次相位項。當二次相項比較明顯時，其具有明顯的數值優勢。
在VirtualLab Fusion中提供了三種傅里葉算法：快速傅里葉變換（FFT）、半解析傅里葉變換（SFT）和逐點傅里葉變換（PFT）。利用逐點傅里葉變換、逆向快速傅里葉變換和逆向半解析傅里葉變換便可以實現從高數值孔徑物鏡到探測器的廣義德拜積分，如圖4所示。
圖4. 廣義德拜積分設置
結果呈現
高數值孔徑物鏡的光線追跡結果如圖5所示
圖5.
傅里葉變換光譜法是一種光學計量方法，可用于用邁克爾遜干涉儀測量光源的光譜，是一種眾所周知的技術，通常用于從研究空氣或水質到藥物分析的廣泛應用。
為了幫助光學設計師了解在這些設備中可以發揮作用的所有效果，快速物理光學軟件VirtualLab Fusion提供了所有必要的工具，可以在這些系統中進行全面傳播。這自然包括在探測器平面上發生的所有相干和干涉效應。此外，通過我們新的探測器附加組件，用戶可以訪問所有感興趣的物理量
摘要
眾所周知，在干涉儀中，條紋對比度可能取決于光源的相干性。例如，在配有一定帶寬源的邁克爾遜干涉儀中，干涉條紋對比度隨著兩臂之間的光程差的增加而減小。通過測量可移動反射鏡在不同位置的干涉圖對比度，可以得出光源的相干長度。典型的傅立葉變換光譜學通常是基于這類光學裝置。
建模任務
非序列追跡
探測器附加組件
參數運行
總結-組件…
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
(3)
通常來說，項必須進行數值計算處理。另一方面，從數學角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
準確有效地模擬電磁場的自由空間傳播是物理光學建模和設計的基礎。VirtualLab Fusion有一個統一的自由空間傳播概念，它是基于空間-頻率域(k域)分析的。結合不同的傅里葉變換技術，給出了不同自由空間傳播情況下的數值有效解，根據實際情況自動選擇合適的傅里葉變換。
摘要
摘要
準確有效地模擬電磁場的自由空間傳播是物理光學建模和設計的基礎。VirtualLab Fusion有一個統一的自由空間傳播概念，它是基于空間-頻率域(k域)分析的。結合不同的傅里葉變換技術，給出了不同自由空間傳播情況下的數值有效解，根據實際情況自動選擇合適的傅里葉變換。
自由空間傳播算子的概念
VirtualLab
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無需近似的高效重構。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點傅里葉變換(PSF)
- 受靜態相位理論啟發的一種近似方法，但采用純粹的數學形式來表達。
我們想強調的是，方程 5的分解在物理光學中是更一般和純粹的數學方法，我們的目標可以表述如下：我們對不通過采樣波前相位因素來進行傅里葉變換的技術十分感興趣，此時Ψ和是可通過半解析傅里葉變換實現的二次多項式的形式[1]。這里我們想討論一個概念，適用于一般的波前相位，但在強波前相位近似，它使用穩定相位的概念。
幾何傅里葉變換8個月前
我們想強調的是，方程 5的分解在物理光學中是更一般和純粹的數學方法，我們的目標可以表述如下：我們對不通過采樣波前相位因素來進行傅里葉變換的技術十分感興趣，此時Ψ和是可通過半解析傅里葉變換實現的二次多項式的形式[1]。這里我們想討論一個概念，適用于一般的波前相位，但在強波前相位近似，它使用穩定相位的概念。
