Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**

*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena

**Wyrowski Photonics UG

mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de

 

在系統(tǒng)的不同平面上，電磁場(chǎng)分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學(xué)建模中的頻繁操作。我們介紹一個(gè)場(chǎng)所謂的幾何區(qū)域，在該區(qū)域中傅里葉變換可以在不進(jìn)行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數(shù)值方式得到。在幾何場(chǎng)域中，場(chǎng)由波前相位控制，因此允許我們將穩(wěn)定相位的概念應(yīng)用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項(xiàng)技術(shù)被證明是快速物理光學(xué)的基礎(chǔ)支柱。

 

1.光學(xué)傅立葉變換

 

在物理光學(xué)中，我們處理電磁場(chǎng)的六個(gè)復(fù)數(shù)場(chǎng)分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為

    

其中 ，傅立葉變換到k域定義為

（2）

其中，我們使用符號(hào)

 (3)

  

方程2中積分的數(shù)值評(píng)估需要對(duì)a和k域中的場(chǎng)進(jìn)行取樣，我們用N表示采樣點(diǎn)的數(shù)量，所得的離散傅里葉變換構(gòu)成了N2運(yùn)算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學(xué)建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學(xué)中，我們通常有強(qiáng)梯度的相位函數(shù)，從而導(dǎo)致很大的N值，只有在十分對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學(xué)上遇到N太大而不能進(jìn)行快速計(jì)算傅里葉變換的問(wèn)題，這是快速物理光學(xué)概念的嚴(yán)重阻礙。

 

為了進(jìn)一步研究，我們用波前相位Ψ將分解（跳過(guò)ω）為

 (4)

   

對(duì)于所有分量都是一樣的。 顯然，方程 4中的分解是模糊的，其依賴于從源場(chǎng)出發(fā)建模中恰當(dāng)?shù)南辔惶幚矸绞健Ｓ啥x得分解結(jié)果

 (5)

  

類似地，我們可以得到

 (6)

    

其中波前相位在k域上。應(yīng)該提到的是，根據(jù)方程 5與 在幾何光學(xué)上是已知的，然后，S為光程函數(shù)。我們想強(qiáng)調(diào)的是，方程 5的分解在物理光學(xué)中是更一般和純粹的數(shù)學(xué)方法，我們的目標(biāo)可以表述如下：我們對(duì)不通過(guò)采樣波前相位因素來(lái)進(jìn)行傅里葉變換的技術(shù)十分感興趣，此時(shí)Ψ和是可通過(guò)半解析傅里葉變換實(shí)現(xiàn)的二次多項(xiàng)式的形式[1]。這里我們想討論一個(gè)概念，適用于一般的波前相位，但在強(qiáng)波前相位近似，它使用穩(wěn)定相位的概念。

 

2 幾何傅里葉變換理論

穩(wěn)定相方法的應(yīng)用在光學(xué)中是眾所周知的，例如，用于討論[2]中的衍射積分。我們將其用于快速計(jì)算方程2的傅里葉變換積分。為此，我們假設(shè)除臨界點(diǎn)附近以外 在通過(guò)z的平面內(nèi)具有比U（ρ，z）高得多的空間頻率。 根據(jù)穩(wěn)定相位的概念，直接導(dǎo)致基本方程（跳過(guò)z )

 (7)

 

其中方程7表示k和p之間的映射，我們假設(shè)這個(gè)映射是開(kāi)放、雙射和連續(xù)的，這意味著它構(gòu)成了一個(gè)同胚，這是波前相位 平滑的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并確保k域中的結(jié)果場(chǎng)可以在非等距網(wǎng)格上插值。在光學(xué)中，當(dāng)場(chǎng)不在苛性區(qū)時(shí)，通常滿足這種條件，穩(wěn)定相位的概念也揭示出來(lái)

(8)

由φ(p)的勒讓變換

 (9)

  

復(fù)函數(shù)

 (10)

 

權(quán)重因子取決于φ(p)的二階導(dǎo)數(shù)，該結(jié)果通過(guò)將空間域中的場(chǎng)值映射到具有附加權(quán)重因子的k域來(lái)表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執(zhí)行場(chǎng)分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。

 

我們已經(jīng)開(kāi)發(fā)了一個(gè)數(shù)值算法來(lái)執(zhí)行幾何傅里葉變換。它利用場(chǎng)的混合采樣。相比于函數(shù) ，波前相位φ(p)本身可以通過(guò)少量N(φ)的非等距分布值而參數(shù)化。樣條插值的節(jié)點(diǎn)是可能的候選項(xiàng)。

 

而且，我們必須用等距分布的采樣點(diǎn)N(U)來(lái)處理函數(shù)U(p)的采樣。一般來(lái)說(shuō)，我們有，幾何傅里葉變換的數(shù)值主要基于 中的線性運(yùn)算，因此速度非常快；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免。總之，當(dāng)幾何傅立葉變換足夠精確時(shí)，由此產(chǎn)生的數(shù)值算法能夠?qū)崿F(xiàn)非常快速的傅里葉變換，對(duì)于強(qiáng)波前相位來(lái)說(shuō)就是這種情況。

 

對(duì)于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數(shù)值上對(duì)于非常弱的波前相位有效的常規(guī)FFT，我們獲得了一個(gè)強(qiáng)大的三元組來(lái)處理所有相關(guān)傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術(shù)更新中得以實(shí)現(xiàn)，構(gòu)成了其快速物理光學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)[3]，例如古伊相移就是用這個(gè)概念來(lái)研究的[4]。

 

3 衍射、幾何和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域

我們來(lái)考慮平面z中的一個(gè)場(chǎng)，它可以通過(guò)幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)指定）進(jìn)行變換。那么我們說(shuō)該平面位于幾何區(qū)域（GFZ），否則場(chǎng)在其衍射區(qū)（DFZ） 。自然地，衍射場(chǎng)區(qū)域位于焦點(diǎn)區(qū)域附近，而GFZ出現(xiàn)在距焦點(diǎn)區(qū)域較遠(yuǎn)處。如果場(chǎng)進(jìn)一步傳播，則可達(dá)到形成幾何區(qū)域子集的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)。在幾何區(qū)域中，我們不限制波前相位 ，這意味著我們也包括像差。如果幾何傅立葉變換為球面的 提供準(zhǔn)確的結(jié)果，則已經(jīng)達(dá)到遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，如表1中概括。對(duì)于一個(gè)衍射受限場(chǎng)，幾何場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)是相同的，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，在每個(gè)平面上，場(chǎng)的區(qū)域特征可以通過(guò)幾何傅里葉變換來(lái)研究，這構(gòu)成了一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)概念。事實(shí)證明，在場(chǎng)的幾何區(qū)域中的物理光學(xué)建模可以很快地執(zhí)行，因?yàn)閿?shù)值上其主要涉及相對(duì)較小的波前相位樣本數(shù)量 。

 

表1  場(chǎng)域的定義

 

參考文獻(xiàn)

[1] Z. Wang, S. Zhang, and F. Wyrowski, "The semi-analytical Fast Fouruer Transform," in Proc. DGaO, vol. 118, p. P2 (2017). 

[2] J. J. Stamnes, Waves in focal regions. Propagation, diffraction and focusing of light, sound and water waves (Adam Hilger, Bristol and Boston, 1986). 

[3] Fast physical optics software "Wyrowski VirtualLab Fusion", developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH, Jena, Germany. 

[4] O. Baladron-Zorita and F. Wyrowski, "The Role of the Gouy Phase Anomaly in the Unification of the Geometric and Physical Models for the Propagation of Focussed Fields, " in Proc. DGaO, vol. 118, p. P3 (2017).